Тема урока: "Число е и непрерывный рост капитала"

Цели:

• обеспечить применение учащимися полученных знаний о сложных процентах, числе е при многократном начислении процентов в течение одного года;
• создать условия для развития у школьников умений сравнивать, обобщать, делать выводы;
• содействовать развитию у школьников умений использовать научные методы познания: наблюдение, гипотеза;
• побудить к активному познанию окружающей действительности, к осмыслению и нахождению причинно – следственных связей, к развитию логики, мышления, коммутативных способностей.

Необходимое оборудование:

• плакат с формулами;
• раздаточный материал;
• формула сложных %;
• портрет Эйлера;
• инженерные калькуляторы.

ХОД УРОКА

1. Организация класса.

2. Постановка целей урока.

Задачи, которые будут рассмотрены сегодня, взяты из жизни. Наша цель – научиться анализировать реальные ситуации с помощью того математического аппарата, которым вы, ребята, владеете. Очень важно, чтобы вы не только получили ответ, но и могли его истолковать, соотнести с реальностью.

А рассмотрим мы жизненную актуальную тему: “Непрерывный рост капитала”, но так же нашей задачей будет выяснить, с какой темой в курсе алгебры это связано и каким образом.

Учащиеся записывают часть темы урока в тетрадь “… и непрерывный рост капитала”.

3. Актуализация ЗУН

1. Вспомнить из курса экономики понятие непрерывного процентного роста;

2. Задача. В банк внесен вклад 10000 руб. под сложные проценты по ставке 100% годовых. Какая сумма будет на счете вкладчика через год, если начисления производятся:

а) 2 раза в год;
б) ежеквартально;
в) каждый месяц;
г) каждую неделю.

Во сколько раз полученная сумма будет больше первоначальной?

Подвести итоги. Сделать вывод. Создать проблемную ситуацию. Действительно ли, если проценты в течение одного года начислять ежедневно, каждый час, каждую минуту и т.д. конечная сумма вклада будет увеличиваться до бесконечности?

4. Изучение нового материала

(Учащимся предлагается самостоятельно изучить данный материал, либо разобрать вместе с учителем (в зависимости от степени подготовленности класса)).

Будем считать, что если за год банк выплачивает вкладчику p%, то за полугодие он выплатит p%, за один месяц - p% и вообще за часть года p%. Выясним, как изменяется счет вкладчика, если проценты начисляются несколько раз в течение года.

Рассмотрим частный случай, например, когда банк выплачивает 100% годовых. Пусть вкладчик внес на свой счет в банке сумму S₀ р. сроком на 1 год. Тогда через год на счете вкладчика окажется сумма 2 S₀ р. Если банк будет начислять проценты на вклад через полугодие, т.е. два раза в год, то через год на его счете окажется сумма больше, чем 2 S₀ р. Действительно, за первое полугодие банк выплатит 50%, т.е. р. и на счете вкладчика окажется сумма . За второе полугодие банк начислит р.

Оказывается, что за 2 полугодия, т.е. за один год, банк начислит вкладчику сначала р., а затем еще р., т.е. величину, числовое значение которой равно (1)

Вместе с первоначальным вкладом р. наш вкладчик в конце года оказался обладателем суммы S₂ р., где

(2)

Теперь видно, что сумма оказалась на больше 2S₀, которую готов был выплатить банк по прошествии одного года.

Формулы (1) и (2) показывают, что за первое полугодие вклад увеличился в 1,5 раза, а затем новая, увеличенная сумма еще раз увеличилась в 1,5 раза, т.е. начальный вклад увеличился в 1,5²=2,25 раза.

Выясним, как будет меняться величина вклада, если банк начнет начислять проценты, например, ежеквартально, т.е. 4 раза в год, по 25% за каждый квартал. В конце первого сумма на счете вкладчика увеличится на р. и будет равна р. Это значит, что начальный вклад р. увеличится за один квартал в раза. В конце второго периода уже новая сумма увеличится в раза и на счете окажется р. Аналогично, в конце третьего – р., а в конце четвертого квартала, т.е. через год, на счете вкладчика окажется S₄ р., где . Видно, что сумма в 1,22 раза больше 2S₀, которую готов был выплатить вкладчику банк через год. Дальнейшее рассуждения вкладчика очевидны: пусть банк начисляет проценты ежемесячно, т.е. 12 раз в год по в месяц. Тогда после 12 начислений, т.е. через год, на счете вкладчика окажется S₁₂ р., При ежедневном начислении процентов, т.е. при начислении 365 раз в год по в день, на счете вкладчика через год окажется сумма

Если проценты будут начисляться каждый час, т.е раз в год, по в час, то на счете вкладчика через год окажется сумма

Если n раз в год по ставке , то на счете через год окажется сумма (3)

Вопрос: какой множитель из формулы (3) является определяющим?

Ответ: из формулы (3) видно, что определяющим является множитель

Учащимся предлагается заполнить таблицу I.

Таблица I

Учитель: если бы мы захотели продолжить таблицу I далее, то получили бы:

при n=100 000

а при n=1 000 000

Вопрос: какой вывод можно сделать, проанализировав таблицу I?

Ответ: из таблицы I следует, что с ростом числа n члены последовательности возрастают, неограниченно приближаясь к числу, обозначенному в математике буквой е, и равному

е=2,718281828459045….

Учитель: при этом для всех значений n справедливо

неравенство < . (4)

Из формулы (3) и неравенства (4) следует, что

< , n=1,2,3,… (5)

Вопрос: в чем состоит экономический смысл полученных результатов?

Ответ: экономический смысл полученных результатов состоит в том, что чем чаще в течение года банк начисляет проценты, тем больше становится сумма денег, лежащая на счете вкладчика.

Вопрос: что показывает неравенство (5)?

Ответ: неравенство (5) показывает, что как бы часто в течение одного года банк не начислял проценты на вклад S₀, величина S_n неограниченно возрастать не может – по сравнению с S₀ величина S_n больше чем в е раз увеличиться не может.

(Дописать в тетради тему занятия).

5. Выступление учащегося о развитии числа е.

6. Закрепление. Ребятам предлагается решить следующую задачу.

Вкладчик на один год положил в банк 405 руб. под 100%

годовых, собираясь накопить к концу года не менее 1000 руб. путем n – кратного начисления процентов за равные промежутки времени. Удастся ли вкладчику добиться поставленной цели? При каких значениях n это произойдет? (Искомое значение найдите подбором.)

7. Подведение итогов.

8. Рефлексия.

Литература

1. Дорофеев Г.В. Процентные вычисления. 10 – 11 кл.: Учебно – метод. Пособие / Г.В. Дорофеев, Е.А. Седова. – М.: Дрофа, 2003. – 144 с.: ил. – (Темы школьного курса).
2. Симонов А.С. Экономика на уроках математики. – М.: Школа – Пресс, 1999. – 160 с.