Дидактические цели:
-
углубленное изучение решения квадратных уравнений;
- творческий перенос знаний в нестандартные ситуации: изучение новых свойств квадратных уравнений.
Развивающие задачи: Развитие культуры устных и письменных вычислительных навыков.
Воспитательные задачи: Способствование выработке у учащихся желания и потребности обобщения изучаемых фактов; развивать самостоятельность и творчество.
Оборудование: Опорные схемы, компьютер, магнитофон, карточки с заданиями.
Ход урока
I. Организация.
II. Звучит магнитофонная запись с историческими сведениями о возникновении квадратных уравнений (тексты читаются разными голосами).
а) Квадратные уравнения в Индии.
Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499 г. В древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач.
В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее:
«Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Часто они были в стихотворной форме. Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII века.
Бхаскары:
Обезьянок резвых стая
Всласть поевши, развлекались.
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялись.
А 12 по лианам …
Стали прыгать, повисая.
Сколько было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?
Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений. (х/8)2+12=х. Решая, получил корни.
б) Квадратные уравнения в Европе XIII-XVII в.в.
Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи.
Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы.
Многие задачи из этой книги переходили почти во все европейские учебники XIV-XVII в.в. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х2+вх+с=0 было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. Штифелем.
Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем, виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудом Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.
в) Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне.
Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне.
Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и полные квадратные уравнения.
Правило решений этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает с современными, однако неизвестно, каким образом дошли они до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.
Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.
III. Математический диктант.
(Один сильный ученик работает на обратной стороне доски, остальные – в тетрадях).
Сильные учащиеся в это время работают по карточкам.
Диктант:
Вычислите дискриминант квадратного уравнения:
3x2-8x-3=0
(Д/4=16+9=25; Д=64+36=100)
Найдите корни квадратного уравнения:
3x2-8x-3=0 (x1=3; х2= - 1/3)
При каком условии полное квадратное уравнение имеет единственный корень?
(Д=0)
При каком условии полное квадратное уравнение не имеет корней?
(Д<0)
Решите уравнение: х2-4х+9=0
(Д/4=4-9= -5; Д/4<0, корней нет)
Карточка 1.
Решить уравнение: х2-5х+4=0
(Д=9; х1=4; х2=1)
При каком значении m можно представить в виде квадрата двучлена?
выражение: а) х2+mx+9
б) х2-2х-m (а) m=6; б) m= -1)
Карточка 2.
1. Решить уравнение: 3х2-х-2=0
(Д=25; х1=1; х2= -2/3)
2. При каком значении а уравнение имеет один корень?
х2+ах+16=0
(Уравнение имеет один корень, когда Д=0, т.е.)
Д=а2-64=0 => а2=64=> а=±8
После диктанта ребята меняются тетрадями, проверяют, сверяя с диктантом, выполненным на обратной стороне доски, выставляют отметки соседям. Работавшие по карточкам сдают работы на проверку учителю.
IV. Актуализация знаний.
Устные упражнения: решение квадратных уравнений разными способами:
а) х2+х-56=0 (х1=7; х2= -8)
б) 2х2+6х=0 (х1=0; х2= -3)
в) 7х2-14=0 (х1=√2, х2= -√2)
г) х2-8х+16=0 (х1,2=4)
д) 4х2+7х+3=0 (Д=1; х1= -3/4; х2= -1)
(Уравнения демонстрируются с помощью компьютера)
V. Мотивация.
Ребята, мы с Вами решали квадратные уравнения различными способами: выделением квадрата двучлена, по формуле корней с помощью теоремы Виста и каждый раз убеждались в том, что уравнение можно решить легче и быстрее.
Сегодня мы познакомимся еще с новыми способами решения, которые позволят устно и быстро находить корни квадратного уравнения.
1) Проблема: как решить уравнение: 1999х2-1997х-2=0
На экране проецируются квадратные уравнения сумму коэффициентов в которых учащиеся должны назвать
| Сумма коэффициентов | Корни уравнени | |
| х2+х-2=0 | 0 | х1=1; х2= -2 |
| х2+2х-3=0 | 0 | х1=1; х2= -3 |
| х2-3х+2=0 | 0 | х1=1; х2=2 |
| 5х2-8х+3=0 | 0 | х1=1; х2= -3/5 |
Учащиеся отмечают, чему равны корни квадратного уравнения.
Ребята, а сейчас посмотрите на эти уравнения и их корни.
Попробуйте найти какую-то закономерность:
-
в корнях этих уравнений;
-
в соответствии между отдельными коэффициентами и корнями;
-
в сумме коэффициентов.
Ученики отвечают, то, что они заметили:
-
первый корень равен 1;
-
второй корень равен с или с/а;
-
сумма коэффициентов равна 0.
Ребята делают выводы, придумывают правило.
Вывод учителя: Если в уравнениях ах2+вх+с=0, а+в+с=0, то один из корней равен 1, а другой (по теореме Виста) равен с/а.
Запись этого свойства в тетрадях имеет вид:
ах2+вх+с=0
а+в+с=0
х1=1; х2=с/а (если а=1, то х1=1; х2=с)
Учитель: Ребята! Очень часто при поступлении в вуз и даже на олимпиадах учащиеся сталкиваются с уравнениями, где коэффициенты – слишком большие числа и при нахождении дискриминанта в уравнении учащиеся получают такие большие числа, из которых трудно извлечь квадратный корень.
В уравнении 1 учащиеся сами находят корни: т.к. 1999+(-1997)+(-2)=0, следовательно, х1=1; х2= - 2/1999.
2) Рассмотрим еще одну маленькую хитрость:
если а-в+с=0, то х1=-1, х2= -с/а.
Например, 4х2+11х+7=0;
х1=-4; х2=-7/4 .
3) Если а±в+с≠0, то квадратное уравнение можно решить способом перекида, т.е. можно устно решить уравнение х2+вх+ас=0 и его корни разделить на а.
Например:
а) 2х2-11х+5=0 (а±в+с≠о)
Решаем устно х2-11х+10=0. Его корни 10 и 1, и делим на 2.
Ответ: 5;1/2.
б) 6х2-7х-3=0=> х2-7х-18=0
Корни 9 и -2. Делим числа 9 и (-2) на 6: х1=9/6, х2=-2/6. Ответ: 3/2; -1/3.
4) Используя пункты 1) -3), можно придумывать уравнения с рациональными корнями. Например, возьмем уравнение х2-13х+36=0.
Корни 4 и 9). 36 делится на 1,2,3,4,6,9,12,18,36.
| 36=1•36 | 36=6•6 | 36=18•2 |
| 36=2•18 | 36=9•4 | 36=36•1 |
| 36=3•12 | 36=12•3 | |
| 36=4•9 |
Отсюда уравнения:
| х2-13х+36=0 | х2+13х+36=0 |
| 36х2-13х+1=0 | 36х2+13х+1=0 |
| 2х2-13х+18=0 | 2х2+13х+18=0 |
| 18х2-13х+2=0 | 18х2+13х+2=0 |
VI. Закрепление: Составить самостоятельно остальные 13 уравнений из 17.
VII. Учитель проверяет задания учащихся (выборочно).
VIII. Подведение итогов.
IX. Задание на дом:
1. Всем: решить уравнения:
х2+15х-16=0
5х2+х-6=0
1/4х2+3•3/4х-4=0
2. Для желающих: придумать три уравнения вида (1), (2), (3) и решить их.