В психологии и методике установлено, что при изучении математики школьник должен усвоить не только содержание знаний, но и способы их получения. Возникает вопрос: как организовать обучение математике, чтобы усвоение математических понятий, аксиом, теорем, алгоритмов и познавательных средств происходило в комплексе, одновременно? Здесь, прежде всего, следует обратиться к психолого-педагогической теории развивающего обучения. Психологи утверждают, что воспитание и обучение формируют развивающуюся личность в том случае, если педагог организует собственную деятельность ребенка по усвоению накопленного человеческого опыта. В.В. Давыдов считает: обучение в школе нужно вести так, чтобы оно в сжатой, сокращенной форме воспроизводило действительный исторический процесс рождения и становления знаний. В процессе выполнения такой деятельности «школьники осуществляют мысленные действия, адекватные тем, посредством которых вырабатывались эти продукты духовной культуры». С точки зрения зарождения, развития и становления математического знания, математическая деятельность не сводится лишь к воспроизведению полученных кем-то знаний, а включает в себя процесс поиска, открытия новых фактов и закономерностей.
Попытаемся проследить путь познания в математической науке. Конечно, путь познания в математике шел разными путями. Мы выделяем тот, который важен с точки зрения организации процесса познания в математике школьниками. Он может быть представлен схемой 1 (Приложение1).
Эта схема может иметь непосредственное реальное воплощение в процессе обучения, и будет выглядеть так, как показано на схеме 2 (Приложение1, схема2).
Для разработки технологии РО учителю важно знать, какие методы научного познания характерны для каждого этапа. Они отражены в схеме 3 (Приложение2).
К числу эвристических методов науки, прежде всего, относятся наблюдения и сравнение, эксперимент и обобщение, неполная индукция, аналогия и заключение по аналогии. Все эти методы позволяют выдвигать гипотезы, которые требуют установления их истинности или ложности. В то же время, к открытию математических фактов приводят и дедуктивные рассуждения. Эвристические методы науки позволяют включать учащихся в самостоятельный поиск новых фактов, правил, формул, теорем. Проиллюстрируем сказанное на примерах.
Неполная индукция – это умозаключение, которое делается на основе рассмотрения некоторых фактов, причем число рассматриваемых фактов не охватывает всего их множества. Естественно, что полученное таким образом умозаключение может быть только гипотезой. В курсе математики деятельность учащихся по выдвижению гипотез организуется через моделирование, измерение, вычисление. Моделирование – подходящий прием при изучении такой темы как «Площади многоугольников». Измерением целесообразно воспользоваться в теме «Признаки равенства треугольников», чтобы помочь учащимся сформулировать соответствующую гипотезу. Теорему Виета учащиеся могут «открыть» путем правильно направленных учителем вычислений. А вот то, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, ребята могут увидеть на чертеже. Для развития гибкости и критичности мышления важно варьировать ситуации, проводить их сравнение.
Аналогия – в переводе с греческого означает «соответствие», «сходство». Умозаключение по аналогии переносит знание, полученное из рассмотрения одних объектов, на другие объекты, менее изученные, но сходные с первыми по некоторым свойствам.
Наблюдение, сравнение, интуиция. В основе догадок нередко лежит интуиция. Но интуитивное познание – результат ранее приобретенных знаний, навыков, а также умений переносить эти знания на новые ситуации. Умению строить такие догадки школьников следует обучать.
Покажем, как можно построить систему вопросов при «открытии» формулы площади треугольника S = 0,5 ab sin C.
На доске изображены три треугольника. Учитель говорит: «Известно, что площадь треугольника вычисляется по формуле 
(рис.а) (Приложение3). Какой вид имеет эта формула в случае прямоугольного треугольника? Учитель переходит к рис.б (Приложение3) и делает под ним сначала одну запись, а затем – после обсуждения с учащимися – вторую. Далее учитель задает классу следующие вопросы по рис.в: «Можно ли построить треугольник по двум сторонам а и b и углу между ними? Сколько таких треугольников можно построить?» В ходе беседы выясняется, что по двум сторонам a и b и углу С между ними треугольник однозначно определен. Значит, определена и его площадь. Но частным случаем этой ситуации является прямоугольный треугольник, где 
и 
.
Учитель просит сравнить случаи а) и б) учитывая, что в случае б) , а в случае в) формула площади должна зависеть от угла С. Теперь можно определить главную проблему: «Постарайтесь сформулировать гипотезу относительно формулы площади треугольника через две стороны и угол между ними».
Конечно, можно сказать, что такие рассуждения слишком длинные, но это зависит от цели урока и от имеющегося резерва времени. Понятно, что существенным недостатком развивающего обучения является то, что оно требует значительных затрат времени.
Дедуктивные умозаключения. Указанные выше приемы приводят только к умозаключениям вероятности и развивают, прежде всего, эвристические интеллектуальные умения. Однако, заботясь о развитии мышления, важно в процессе обучения подводить школьников к «открытию» теорем на основе дедуктивных умозаключений.
Для разработки технологии РО важно учитывать и то, как происходит процесс усвоения. Педагогическая психология выделяет в этом процессе ряд последовательных этапов (Приложение 4, схема4).
На этапе поиска доказательства теоремы также важно использовать приемы аналогии и неполной индукции. Однако чаще всего поиск ведется аналитическим путем или аналитико-синтетическим. Важно обучать школьников, как общим методам доказательства, так и частным приемом. Нужно показывать новизну метода или приема и владеть методикой обучения школьников этим методам. Приобщение школьников к методам научного познания в математике позволяет приобщить их и к человеческой культуре в целом, служит важным средством реализации принципа гуманизации образования. Технология РО позволяет формировать в комплексе все основные интеллектуальные умения: эвристические, логические и речевые, развивает качественные характеристики мышления – гибкость, глубину ума, критичность. Улучшение качественных характеристик умственной деятельности благотворно влияет на всю психологическую деятельность человека.
Посмотрим, как можно разрабатывать технологию изучения конкретной темы. Тема: «Числовые неравенства. Основные свойства числовых неравенств».
Напомним основное содержание материала:
- Определение отношений: a > b, a < b.
- Теоремы и их доказательства:
1. если a > b, b > c, то a > c;
2. если a > b, c – число, то a + c > b + c;
3. если a < b, c – число, то ac < bc;
4. если a > b, c < 0, то ac < bc. - Здесь учащиеся практически впервые встречаются с теоремами и доказательствами в алгебре. Поэтому следует обратить внимание на то, что строение теоремы, сущность доказательства в алгебре то же, что и в геометрии. Имеется возможность обратить внимание на единую логическую основу построения различных математических дисциплин.
- В процессе доказательства учащиеся должны уметь выполнять два основных логических действия, связанных с определением понятия. В доказательстве каждой из этих теорем выполняются оба этих действия одновременно: из того, что a > b, на основании определения следует, что a – b > 0; из утверждения, что a – c >0, заключаем, по определению, что a > c. Таким образом, при несложном доказательстве первой теоремы имеется возможность целенаправленного формирования у учащихся умения пользоваться определениями математических понятий.
- Содержание материала позволяет обучать школьников выдвижению гипотез. Так, первое свойство учащиеся смогут подметить или на частных примерах, или по аналогии со свойством верных числовых равенств. Возможен и такой вариант, когда свойство подмечается на частных примерах, а учитель подсказывает аналогию, предлагая сравнить его с соответствующим свойством верных числовых равенств. Выдвигается гипотеза относительно любых трех чисел, связанных рассматриваемыми отношениями.
- Имеется возможность включить учащихся в самостоятельный поиск доказательства всех трех теорем. На примере доказательства первой теоремы целесообразно вести поиск синтетического способа, что и приводит сразу к доказательству. Доказательство второго и третьего свойств учащиеся могут сами найти по аналогии.
Выявим имеющиеся в этом содержании предпосылки для развития интеллектуальных способностей школьников.
После доказательства первой теоремы можно предложить учащимся вспомнить еще два свойства верных числовых равенств:
если a = b, c – число, то a + c = b + c;
если a = b, c – число, то ac = bc.
Повторяя первое свойство, учитель побуждает учащихся высказать аналогичное утверждение для свойств числовых неравенств. Появляется гипотеза, что если a > b, c – число, то a + c > b + c.
Аналогично выдвигается гипотеза, что если a > b, c – число, то ac > bc.
Наблюдения показывают, что небольшой по объему и сравнительно простой теоретический материал имеет хорошие предпосылки для целенаправленной деятельности учителя по умственному развитию школьников.