Цели урока:
- создать условия для развития у школьников умений формулировать проблемы и предлагать пути их решения;
- развивать умение доказывать теоремы (теорему Виета);
- воспитать любовь к предмету.
I. Организационный этап.
II. Актуализация знаний.
Слово учителя: Занимаясь квадратными уравнениями, вы уже заметили, что информация об их корнях скрыта в коэффициентах. Кое-что “скрытое” для нас уже открылось.
От чего зависит наличие или отсутствие корней квадратного уравнения?
По какой формуле находятся корни квадратного уравнения?
Как ещё связаны между собой корни и коэффициенты квадратного уравнения?
Чтобы раскрыть эти связи, раскрыть закономерности между ними предлагаю вам заполнить таблицу.
| Уравнения | Исследование cуществования корней | X1 | X2 | X1+X2 | X1•X2 |
| 1. x2 – x – 6 = 0 | |||||
| 2. x2 – x + 6 = 0 | |||||
| 3. x2 + x + 6 = 0 | |||||
| 4.x2 +5x + 6 = 0 | |||||
| 5.x2 - 5x + 6 = 0 | |||||
| 6.x2 – 7x + 6 = 0 | |||||
| 7.x2 +7x + 6 = 0 | |||||
| 8.x2 +8x + 6 = 0 |
- Сравните свои выводы о связях между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения с выводами содержащимися в следующей теореме.
III. Объяснение нового материала.
Пусть и X1 и X2 - корни уравнения
x2 + px + q = 0
Тогда числа x1, x2, p и q связаны между собой равенствами
x1 + x2 = –p;
x1 • x2 = q.
Другими словами, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену уравнения.
Доказательство: Рассмотрим уравнения
x2 + px + q = 0
Пусть D > 0 и x1 и x2 – корни уравнения, тогда
x1 = 1/2 (-p+
D)
и x2= 1/2 (-p-D)
Найдём сумму и произведение корней:
x1 + x2 = 1/2 (-p+D) + 1 (-p-D)
= -2p/2 = -p
x1• x2 = 1/2 (-p+D) • 1/2 (-p-D) =4q/4=q
Теорема дает возможность записать любое квадратное уравнение в виде
x2 + px + q = 0
или
x2 - (x1 + x2)• x + x1• x2 = 0
Что полезного можно извлечь из такого представления приведенного квадратного уравнения?
Рассмотрите уравнения и для каждого (не решая его) запишите сумму и произведение его корней :
x2 + 7x + 12= 0
x2 - 8x + 12 = 0
x2 -13x + 12 = 0
2x2 + 14x + 24 = 0
x2 + 6x + 12 = 0
x2 + 14x + 24 = 0
x2 - 9x + 12 = 0
x2 -29 x - 36 = 0
Для каких уравнений этого сделать нельзя?
Для каждого уравнения попытайтесь подобрать два числа, сумма которых равна числу противоположному второму коэффициенту уравнения, а произведение равно его свободному члену. С чего вы предполагаете начать поиск этих чисел с произведения или с их суммы?
Для каких уравнений вам не удалось найти корней? Почему?
В каких уравнениях вы перешли к приведенному, а затем воспользовались теоремой Виета?
Какая связь существует между коэффициентами и корнями полного квадратного уравнения, аналогичной той, которая установлена в теореме Виета?
Предлагаю вам доказать теорему.
Теорема: Числа X1 и X2 являются корнями квадратного уравнения
ax2+bx+c=0 тогда и только тогда, когда
x1 + x2 = - b/a , x1 • x2 = c/a
Вывод этой теоремы запомним ещё лучше, если заполним пропуски в следующем стихотворении:
По праву достойна в стихах быть воспета
О свойстве корней теорема ____________
Что лучше, скажи, постоянства такого?
Умножишь ты корни, и дробь уж готова:
В числителе “_________”, в знаменателе “а”.
И сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь эта, что за беда
В числителе “_________”, в знаменателе – “______”.
IV. Закрепление материала.
Проанализируйте данные высказывания. Зачеркните в таблице буквы, которыми обозначены ложные высказывания. Из оставшихся букв получится слово.
(Л) В уравнении x2 – x + 6 = 0 произведение
корней равно 6
(Н) Корнями уравнения . x2 – 100x + 99 = 0 являются
числа 1 и 99
(И) В уравнении . 7x2 +3x - 12 = 0 корней нет.
(П) Числа X1 и X2 изображенные на
чертеже, являются корнями уравнения x2 +5x –
500 = 0
(Р) Уравнения (x – 5)•(x+7) =0 и x2+2x – 35 = 0
являются равносильными
(К) Числа -1 и 9 являются корнями уравнения x2
+8 x – 9 = 0
(М)В уравнении x2 – 4x – 5 = 0 сумма корней
равна -4
(В) В уравнении x2 - xv3 = 0 один из корней
является иррациональным числом.
(Ю) Уравнение x2 – 10x +25 = 0 имеют два корня.
| И | Л | П | А | К | Р | О | М | Ш | Ю | Е | Л | Ь |
Ла-Рошель – крепость в близи, которой родился Франсуа Виет – французский математик, который разработал почти всю элементарную алгебру; ввел в алгебру буквенные обозначения и построил первые буквенные исчисления; до него в математике не было формул.
Составьте квадратное уравнение, имеющее следующие корни:
| X1 | X2 | X1•X2 | X1+X2 | Уравнение |
| 2 | 5 | |||
| 2 | 0,8 | |||
| 8 | -6 | |||
| 8 | 6 | |||
| 4 | -3 | |||
| 12 | 0,5 | |||
| 5 | 4 | |||
| 2 | -5 | (x -…)•(x-…) =0 |
V. Подведение итогов урока, задание на дом:
Сделайте сообщение на одну из предложенных тем:
“Применение теоремы Виета”.
“Утверждения, следующие из теоремы Виета”.
“Что нового я узнал благодаря теореме Виета”.
VI. Рефлексия проводится с помощью графика “Мои умения и навыки на уроке” ( Ось ОХ – умения правильно работать с формулами; ось ОУ- умения анализировать, делать выводы).
Литература:
- “Алгебра – 8” Ю.Н. Макарычев Н.Г. Миндюк под редакцией С.А. Теляковского, “Просвящение” 2005 г.
- “Квадратные уравнения -8 класс” издательство Томского Государственного Университета Москва 1997 г.
- Энциклопедия для детей Математика (Главный редактор М. Д. Аксёнова – Москва: Аванта +, 1997 г.
- Алгебра – 8 класс Лебединцева Е.А. Беленкова Е.Ю. (задания для обучения и развития учащихся) Москва: Интеллект –центр, 2007 г.