Кинематический метод решения геометрических задач

В настоящее время коренных преобразований всех структур нашего общества и глобальных изменений в системе народного образования неизмеримо возрастают требования к повышению качества обучения школьников. В этой связи объективно актуализируется проблема решения математических задач различными способами: методом геометрических построений, кинематическим, алгебраическим методами и т.д.

Данная статья посвящена применению кинематического метода при решении математических задач. Этот метод основан на свойствах векторов и скоростей. Кинематический метод позволяет сэкономить время, дает более короткий путь решения по сравнению с аналитическим, помогает расширить пространственное представление и воображение школьников, повысить их математическую грамотность, эрудицию и интерес к геометрии, а также увидеть связь геометрии с другими науками.

Изучение научной теории показывает, что в большинстве источников этот метод рассматривается лишь косвенно. Работы, посвященные конкретно данному вопросу, это преимущественно статьи, доклады, методические рекомендации и т.д.

Некоторые физические величины (время, масса, работа) могут быть охарактеризованы одним числом, которое выражает отношение этой величины к единице измерения: такие величины называются скалярными.

Другие величины (сила, перемещение точки, ускорение, скорость) характеризуются числом и направлением, эти величины называются векторными. Для геометрического изображения физических векторных величин служат векторы.

С векторами вы уже знакомы, поэтому мы рассмотрим более детально скорость и ее свойства.

Возьмем на плоскости произвольную точку О – полюс. Для произвольной точки М вектор r =OM называется ее радиус-вектором относительно полюса О. Точка и ее радиус взаимно определяют друг друга.

Если точка движется, описывая некоторую траекторию, то ее радиус-вектор изменяется в зависимости от времени; он является функцией от времени. Это обозначается так:

r = r(t) (t – время).

Если точка покоится, то ее радиус-вектор во все моменты времени будет одним и тем же: r =const .

Рассмотрим промежуток времени [t₀, t₁ ] (t₀ < t₁), начинающийся в момент времени t_0, и кончающийся в момент времени t_1. длительность этого промежутка равна t = t₁ - t₀.

Если в момент времени t₀ радиус-вектор движущейся точки М равен r₀ (r₀= r(t₀)), а в момент времени t₁ он равен r₁ (r₁= r(t₁) ), то вектор r = r₁ - r₀ показывает перемещение точки М за промежуток времени [t₀, t₁ ].

Чтобы получить перемещение точки за единицу времени, скорости, нужно разделить ?r на длительность промежутка времени. При этом получится вектор, который называется средней скоростью точки за данный промежуток времени:

V_ср = r/ t .

Этот вектор направлен так же, как вектор перемещения r , но его абсолютная величина равна расстоянию М₀М₁ , деленному на t , т.е. пути, проходимому точкой за единицу времени.

Точка М в течение промежутка времени [t₀, t₁] движется неравномерно, т.е. за равные части этого промежутка она проходит неравные пути. Она движется не по прямой М₀М₁, а по кривой, соединяющей те же точки. Вектор перемещение r характеризует результат этого движения, но не его промежуточные стадии. То же относится и к вектору средней скорости. Если длительность промежутка времени очень мала, то средняя скорость является достаточно точной характеристикой движения. Для получения точной характеристики нужно устремить время t к нулю, то есть фиксируя начало t₀ промежутка времени, устремить t₁ к t_{0 .} При этом средняя скорость V_ср будет стремится к некоторому пределу V:

Вектор V называется (мгновенной) скорость движения в момент t_{0 .}

Пусть p(s) – функция числового аргумента s, принимающая числовые значения и lim p(s) = 0, что соответствует фразе: “функция p(s) стремится к нулю при s, стремящемся к нулю”. Это значит, что каким бы малым ни было число E>0, найдется столь малое число >0, что неравенство |p(s)|<E, будет выполнятся при всех |s|<.

Пусть а(s) – векторная функция аргумента s. Вектор b называется пределом для а(s) при s, стремящемся к нулю (b = lim a(s)), если скалярная функция p(s)= |а(s)-b| стремится к нулю при s, стремящемся к нулю.

Основные теоремы теории пределов для векторных функций аналогичны теоремам для скалярных функций.

Теорема 1. Двух различных пределов у одной и той же функции быть не может.

Теорема 2.

 

(предел суммы равен сумме пределов).

Теорема 3. Если b= a(s), то пи любом фиксированном числе будет b = =a(s).

(предел произведения на число равен произведению предела на это число).

Теорема 4. Если a(s)= b, то для любого фиксированного угла будет Ua(s)= Ub.

Физически очевидна следующая

Теорема 5. Скорость неподвижной точки равна нулю.

Доказательство. Действительно, если точка неподвижна, то для любого промежутка времени вектор ее перемещения равен нулю, т.е. r =0. Следовательно, V_ср = = 0. Но тогда и V= V_ср = 0 в каждый момент времени.

Справедлива и обратная теорема.

Теорема 5'. Если скорость точки все время (в течение которого рассматривается движение этой точки) равна нулю, то точка остается неподвижной.

Теоремы 5 и 5^| говорят о том, что равенство r = 0 равносильно равенству V = 0.

Теорема 6. Пусть r₁ = r₁(t), r₂ = r₂(t), r = r(t) – радиус-векторы точек М₁, М₂, М соответственно. Если точки движутся так, что все время

r = r₁ + r₂ ,

то их скорости связаны аналогичным соотношением:

V = V₁ + V₂.

Аналогичная теорема справедлива и для разности.

Теорема 6'. Если скорости точек М₁, М₂, М все время связаны соотношением

V = V₁ + V₂.

То все время

r = r₁ + r₂ + const.

Аналогично теоремам 6 и 6^' может быть доказана (с помощью теоремы 3) следующая пара теорем.

Теорема 7 . Пусть r₁ = r₁(t), r₂ = r₂(t) – радиус-векторы точек М₁, М₂, соответственно. Если точки движутся так, что все время

r₂ =r₁,

где – постоянное число, то их скорости связаны аналогичным соотношением

V₂ = V_1.

Теорема 7'. Если скорости точек М₁, М₂, все время связаны соотношением

V₂ =V_1,

то все время

r₂ = r₁ + const.

Для угловых скоростей справедливы следующие теоремы, аналогичны теоремам о скоростях точек.

Теорема 8. Угловая скорость луча все время равна нулю тогда и только тогда, когда луч все время неподвижен.

Теорема 9. Угловые скорости двух лучей ОМ и ОМ все время равны тогда и только тогда, когда угол между лучами остается постоянным.

Решая геометрическую задачу, полезно представить себе, что будет происходить с элементами рассматриваемой фигуры, если некоторые ее точки начнут двигаться. Зависимость одних элементов от других может стать при этом наглядно очевидной, и решение задачи бросится в глаза.

Связи между величинами углов, отрезков и т.п. в геометрических фигурах обычно являются более сложными, чем связи между скоростями изменения этих величин в процессах деформации фигур. Поэтому при решении геометрических задач может быть полезна теория скоростей – кинематика.

Рассмотрим применение кинематического метода при решении задач.

Задача 1.

На сторонах произвольного треугольника АВС построены вне него равносторонние треугольники АВC, ВСА', АСВ'. Доказать, что центры О₁, О₂, О_3, этих треугольников сами являются вершинами равностороннего треугольника (рис.1).

Решение:

Закрепим вершины А и В АВС и будем двигать вершину С.

Пусть V_с - скорость этой точки. При этом АВС' будет оставаться неизменным , а А' и В' будут каким-то определенным образом двигаться.

Рис.1.

Рассмотрим AC и AO₂ . Очевидно, |AO₂ | = |AC|.

Угол между AC и AO₂= /6.

Поэтому, если повернуть AC на /6 и умножить полученный вектор на , то получим AO ₂ :

AO₂ =U _{/ 6} AC .

По теореме 7 V_о2 = U _{/ 6} V_с.

Аналогично V_о3 = U _{-/ 6} V_с.

Отсюда V_с = U _{/ 6} V_о3.

Следовательно V_о2 = U _{/ 6} U _{/ 6} V_о3.

V_о2 = U _{/ 3} V_о3

Примем неподвижную точку О₁ за полюс . Тогда по теореме 7' имеем

O₁O₂= U _{/ 3} O₁O₃+ R, где R = const, т.е. R не зависит от положения подвижной точки С. R можно найти, выбирая одно какое-нибудь положение точки С, которое принято называть определяющим положением.

Рис.2.

Пусть точка С принимает такое положение, в котором АВС - равносторонний. Здесь имеет место симметрия: конфигурация совмещается сама с собой при повороте на угол 2/3 вокруг центра АВС. Поэтому О₁О₂О₃ является равносторонним и следовательно O₁O₂ = U _{/ 3} O₁O₃, т.е. R = 0.

 Задача 2.

На сторонах произвольного параллелограмма ABCD вне его построены квадраты. Доказать, что их центры M,P,Q и S сами являются вершинами квадрата.

Решение.

Закрепим точки А и D и будем двигать отрезок ВС параллельно самому себе. При этом точки В и С будут двигаться с одной и той же скоростью. Эту же скорость будет иметь точка Q - центр квадрата, построенного на отрезке ВС

Рис.3.

Подсчитаем скорость точки S - центра квадрата, построенного на отрезке CD. Так как

DS = U_/4, то V_S = U_/4 V_с.

Аналогично, V_р = U _-/4V_в.

Так как V_в = V_с = V_{Q ,}

то

V_S = U_/4V_Q, V_р = U _-/4V_Q .

Следовательно,

MS= U_/4 MQ + R_1, MP= U _-/4 MQ+ R_2,

где R_1, R₂ = const.

В качестве определяющего возьмем то положение отрезка ВС, в котором четырехугольник ABCD является квадратом. Тогда окажется R_1, = R₂ = 0.

Таким образом, уже не только в этом положении, но и всегда

MS= U_/4 MQ _, MP = U _-/4MQ.

а эти равенства означают, что четырехугольник MPQS – квадрат.

На основании статьи был разработан электронный помощник, в котором отображены главные теоретические сведения по данной теме: понятия, формулы, теоремы, рисунки.

Электронный помощник состоит из теоретической и практической частей, содержания и титульного листа. В теоретической части три параграфа:

§1. Векторы и их свойства.

§2. Поворот вектора.

§3. Кинематика.

В §1 введено понятие вектора и рассмотрены линейные операции над векторами: сложение (вычитание) векторов, умножение (деление) вектора на число, деление вектора в заданном отношении.

§2.посвящен повороту векторов, т.е. понятию данной операции (|U₀а| = |а|, U₀а = а, Uа = -а, U₂ а = а).

Операция U_? линейная, она обладает свойствами:

U(а+b) = Uа+ Ub.

U(а ) = Uа ( – любое число) ).

В § 3 представлены теоремы теории скоростей, которые используются для решения геометрических задач кинематическим способом.

В практической части рассмотрено решение задач №1 и №2 с объяснениями, а также представлены программы наглядного решения этих задач, написанных на языке Borland Pascal и Maple 7.

Для быстрого перехода из титульного листа к содержанию существует гиперссылка. Также гиперссылки есть для перехода из содержания в любую часть или параграф электронного помощника. Для этого необходимо, удерживая клавишу Ctrl, правой кнопкой мышки нажать на название интересующего вас параграфа.

Просматривая решение задачи в любой момент можно просмотреть выполнение программы (для этого достаточно правой кнопкой мышки нажать Далее , удерживая Ctrl). Программа к задаче №1 поворачивает фигуры (на сторонах треугольника АВС вне него построены равносторонние треугольники) на угол вокруг центра АВС и видно, что при этом конфигурация данных фигур совмещается сама с собой. И поэтому оказывается, что О₁О₂О₃ , где точки О₁ , О₂ ,О₃ – центры равносторонних треугольников, построенных на сторонах АВС, оказывается равносторонним, ч.т.д.

Программа для решения задачи №2 параллелограмм, на сторонах которого вне него построены квадраты, преобразует его в квадрат путем движения стороны ВС. Т.о. получаем наглядную видимость того, что четырехугольник, вершинами которого являются центры квадратов, построенных на сторонах параллелограмма, является квадратом, что и нужно доказать в задаче.