Цель урока: сосредоточить внимание учащихся на решении разнообразных задач, в условии которых встречается понятие сложные проценты.
Задачи урока:
- Ознакомить школьников с основными положениями, формулами, теоретическими обоснованиями и методическими комментариями к решению задач на сложные проценты.
- Сформировать умения решения задач на сложные проценты.
- Показать различные способы решения этих задач.
- Научить анализировать условие задачи в плане выбора оптимального способа решения.
- Проверить степень приобретенных навыков через обучающую самостоятельную работу.
ХОД УРОКА
I. Организационный момент
II. Актуализация знаний учащихся
А) Объясните на примерах смысл каждой из фраз:
- цена на товар снижена на 20%;
- производительность труда повысилась на 8%.
Б) Найти число, если 2% его равны: 12; 44; 2,8; 0,4.
В) Рабочий получил путевку в санаторий со скидкой
70% и уплатил за нее 2400р. Сколько стоит путевка в
санаторий без скидки?
III. Объяснение нового материала
Учитель: Говорят, что имеем дело со
«сложными процентами» в том случае, когда
некоторая величина подвержена поэтапному
изменению. При этом каждый раз ее изменение
составляет определенное число процентов от
значения, которое эта величина имела на
предыдущем этапе. Рассмотрим 2 случая.
Случай 1. В конце каждого этапа величина
изменяется на одно и то же постоянное количество
процентов – р%. Тогда в конце п-го этапа
значение некоторой величины А, исходное
значение которой равнялось А0,
определяется формулой:
Задача 1. Сберкасса выплачивает 3 % годовых. Через сколько лет внесенная сумма удвоится?
Решение.
Пусть первоначальная величина вклада
составляет А0 рублей. Тогда через п
лет эта величина равняется 2А0 рублей.
Ответ: через 23 года вклад удвоится.
Случай 2. Прирост величины А на
каждом этапе различный.
Пусть величина А в конце 1-го этапа
испытывает изменение на р1%, а в конце 2-го
этапа – на р2% и т.д. Если рк > 0, то
величина А возрастает; если рк < 0, то
величина А убывает. Тогда в конце п-го
этапа значение величины А, первоначальное
значение которой равнялось А0, будет
определяться формулой:
Случай 3. Иногда в задачах встречается
понятие «средний процент прироста». Под этим
понимают такой постоянный процент прироста,
который за п этапов давал бы такое же
изменение величины А, которое она получает в
действительности, при неравных поэтапных
процентах изменения.
Средний процент прироста q% определяется
формулой:
Задача 2. Число 51,2 трижды увеличивали на одно и то же число процентов, а затем трижды уменьшали на тоже же самое число процентов. В результате получилось число 21,6. На сколько процентов увеличивали, а затем уменьшали это число?
Решение.
Пусть на х% увеличивалось, а затем уменьшалось это число в каждом случае. Тогда в конце третьего увеличения значение нового числа определится по формуле сложных процентов:
Затем происходит уменьшение на х% тоже
троекратно, т.е. 
Следовательно, после трехкратного уменьшения мы
получим число, равное 
а по условию оно равно 21,6.
Получим уравнение:
Ответ: на 50 % сначала увеличивали данное число, а затем уменьшали.
Задача 3. Акционерное общество «МММ-лимитед» объявило котировку своих акций на ближайшие 3 месяца с приростом в процентах последовательно по месяцам на 243 %, 412 % и 629 % по отношению к каждому предыдущему месяцу. Каков ожидаемый средний ежемесячный рост котировок акций за указанный период?
Решение.
Пусть А0 – первоначальный вклад.
После 1-го месяца 
После 2-го месяца 
После 3-го месяца 
При среднем ежемесячном росте – х%, будем
иметь 
– за 3
месяца.
Следовательно, можно составить уравнение:
Ответ: 404 % – средний ежемесячный рост котировок акций.
IV. Закрепление материала. Решение задач
Задача 4. Цена товара за последние три квартала возрастала соответственно на 25 %, 116 % и 629 % по отношению к каждому предыдущему кварталу. Каков средний ежеквартальный процент роста цены за это время?
Решение.
Пусть Аруб – первоначальная цена, тогда в
конце I квартала цена будет равна 
руб., в конце II квартала – 
руб., а в конце III
квартала – 
руб.
При среднем ежеквартальном росте в х% будем
иметь в конце III квартала 
. Следовательно, можно составить
уравнение:
Ответ: 170 % – средний ежеквартальный процент роста цен.
Задача 5. Производительность труда на заводе трижды увеличивалась на одно и то же число процентов. В результате число производимых за сутки станков увеличилось с 64 до 125 штук. На сколько процентов каждый раз увеличивалась производительность труда?
Решение.
–
количество станков после 1-го увеличения.
– количество
станков после 3-го увеличения.
Следовательно, можно составить уравнение:
Ответ: на 25 % увеличивалась производительность каждый раз.
Задача 6. Предприятие увеличивало объем выпускаемой продукции ежеквартально на одно и то же число %. На сколько % ежеквартально увеличился объем продукции, если за 2 квартала он увеличился на 156 %?
Решение.
Ответ: на 60 % ежеквартально увеличивался объем продукции.
Задача 7. Себестоимость изделия понизилась за 1 полугодие на 10 %, а за второе – на 20 %. Определить первоначальную себестоимость изделия, если новая себестоимость стала 576 руб.
Решение:
А0 – исходная себестоимость товара
Ответ: исходная себестоимость 800 руб.
Задача 8. Вклад, положенный в сбербанк 2 года назад, достиг суммы, равной 1312,5 тыс. руб. Каков был первоначальный вклад при 25 % годовых?
Решение:
Ответ: 840 тыс. руб.
Задача 9. Цена товара была понижена на 20 %. На сколько % ее нужно повысить, чтобы получить исходную цену?
Решение:
Ответ: на 25 %.
V. Самостоятельная работа обучающего характера
Реши любые три задачи на выбор:
1. Пусть вкладчик положил на счет в банке 25000р. и
в течение 3-х лет не будет снимать деньги со
счета. Подсчитаем, сколько денег будет на счете
вкладчика через 3 года, если банк выплачивает 30% в
год, и проценты после каждого начисления
присоединяются к начальной сумме 25000р., т.е.
капитализируются.
2. Зарплата служащему составляла 20000р. Затем
зарплату повысили на 20%, а вскоре понизили на 20%.
Сколько стал получать служащий?
3. На товар снизили цену сначала на 20%, а затем еще
на 15%. При этом он стал стоить 23,8 тыс.р. Какова была
первоначальная цена товара?
4. Завод увеличивал объем выпускаемой продукции
ежегодно на одно и то же число процентов. Найти
это число, если известно, что за 2 года объем
выпускаемой продукции увеличивался на 21%.
5. Цену товара первоначально понизили на 20%, затем
новую цену снизили еще на 30% и, наконец, после
пересчета произвели снижение на 50%. На сколько
процентов всего снизили первоначальную цену
товара?
VI. Подведение итогов урока
Список литературы:
1. Литвинова И.Н., Ткаченко Е.Н., Гаврилова М.А./
Под ред. кандидата пед. наук М.А. Гавриловой.
– Пенза: ПГПУ, 2004.-32с.
2. Симонов А.Я., Бакаев Д.С., Эпельман А.Г.
и др. Система тренировочных задач и упражнений по
математике. – М.: Просвещение, 1991. – 208с.