Использование свойства монотонности функции при решении уравнений

Петрова Ирина Георгиевна

Разделы: Математика

Цели:

научить учащихся использовать монотонность функции, при решении уравнений;
научить умению анализировать, творчески подходить к поставленной задаче;
воспитывать культуру и оперативность мышления, познавательный интерес к математике;
помочь учащимся подготовиться к ЕГЭ.

Задачи:

систематизировать теоретические знания учащихся;
научить применять эти знания при решении практических задач;
помочь в подготовке к ЕГЭ.

Оборудование: карточки с заданиями для каждого ученика.

ХОД УРОКА

Организационный момент: сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

I. Устно.

Проводится фронтальный опрос учащихся:

Какие функции называются возрастающими (убывающими)?
Какие функции называются монотонными?
Какие свойства монотонных функций вы знаете?

Ответы учащихся:

Свойство 1. Если y=g(x) – монотонно возрастает на промежутке I и y=f(x) – монотонно возрастает на промежутке I, то y=g(x)+f(x) – монотонно возрастает на промежутке I.

Свойство 2. Если y=f(x) возрастает (убывает) на промежутке I, то уравнение f(x)=a имеет на I не более одного корня.

Свойство 3. Если y=f(x) возрастает на I, а y=g(x) убывает на I, то уравнение f(x)=g(x), имеет не более одного корня.

Определите промежутки возрастания (убывания) следующей функции:

II. Решение уравнений

( Этот этап урока проходит в форме беседы учителя с учениками. Ученики, основываясь на прошлом опыте решения уравнений, предлагают свои решения. Учитель показывает им более рациональные способы решения этих уравнений)

Пример 1. Решите уравнение: x⁵+x³+2x-4=0.

Решение: Функция f(x)=x⁵+x³+2x-4 возрастает как сумма трех возрастающих функций y=x⁵, y=x³ и y=2x-4 на R.

Тогда уравнение f(x)=0 имеет не более одного корня. Испытывая делители свободного члена, находим, что x=1.

Ответ: 1.

Пример 2. Решите уравнение .

Решение: Функция - возрастает на своей области определения, как сумма двух возрастающих функций и . Следовательно, уравнение f(x)=2 имеет не больше одного корня на [-1,45; 26]. Непосредственно проверкой убеждаемся что f(1)=0. Уравнение решено: мы нашли корень и доказали, что других корней нет.

Ответ: 1.

Учащимся предлагается решить это уравнение дома с помощью возведения в квадрат лавой и правой частей уравнения, и убедится что решение будет очень громоздким.

Пример 3. Решите уравнение log₂(x+2)=1-x.

Решение: Функция y=log₂(x+2) – возрастает на (-2; +). Функция y=1-x убывает на R. Тогда уравнение log₂(x+2)=1-x имеет единственное решение при x (-2; +).

Непосредственно проверкой убедимся, что x=0 является корнем этого уравнения.

Ответ: 0.

Каким еще способом можно решить это уравнение? (графически)

Пример 4. Определите число корней уравнения .

Решение: Рассмотрим функцию эта функция возрастает на области определения , тогда , т.е. f(x)4, где x D(f). Значит множеством значений функции f(x) является промежуток [+4;+).