В условиях Модернизации Российского образования важное место отводится профильной школе. Неотъемлемой частью всего обучения в старшей школе являются реализуемые элективные курсы..
Работая над темой исследования по формированию и развитию комбинаторно-логического мышления старшеклассников, мы предлагаем серию элективных курсов по математике, которые не только направлены на получение предметных знаний, но и несут главную для себя функцию в рамках экспериментальных исследований, а именно, направленных на развитие комбинаторно-логического мышления.
Под развитием комбинаторно-логического мышления будем понимать мышление, направленное на развитие логических законов, операций при конечной вариативности рассматриваемых явлений, понятий.
В важности такого рода мышления убеждает нас и новая форма итоговой аттестации учащихся школы - форма ЕГЭ. Раздел “А” по математике единого государственного экзамена предусматривает выбор правильного варианта ответа. Необходимость поиска новых эффективных средств развития комбинаторно-логического мышления у школьников обусловлена его значимостью для дальнейшей самореализации личности в современном обществе.
Формирование комбинаторно-логического мышления предполагает процесс получения субъективно новых знаний, который может быть осуществлен различными путями организации учебной деятельности, связанными с изучением внепрограммного материала.
Средством формирования элементов такой деятельности учащихся служат разработанные нами материалы, где учитываются:
1) повышенный уровень трудности через систему задач, через структуру задач (Л.В. Занков);
2) развитие мышления учащихся в “зоне ближайшего развития” (Л.С. Выгодский);
3) теория поэтапного формирования умственных действий, выражающих современные принципы теории обучения (П..Я. Гальперин);
4) концепция учебной деятельности, строящейся на изменении содержании образования (В.В. Давыдов- Д.В. Эльконин);
5) стадии творческого процесса (В.П. Зинченко).
Уточним каждое из них.
Теория взаимосвязи обучения и развития, разработанная Л.В. Занковым и его последователями, в качестве исходного утверждает объективную связь между построением обучения и характером общего развития школьников.
Определённую и регулирующую роль играют дидактические принципы:
- обучение на высоком уровне трудности;
- обучение при ведущей роли теоретических знаний;
- изучение программного материала быстрым темпом;
- осознание школьниками процесса учения.
Развивающим является такое обучение, которое ориентировано на “зону ближайшего развития” (Л. С. Выготский). Поэтому обучение должно вестись на максимальном уровне трудности, соответствующем реальным возможностям ученика (“трудно, но посильно”), а, следовательно, задания, предъявляемые учащимся, по возможности, должны быть индивидуализированы, чтобы обучение имело максимальный развивающий эффект.
П.Я. Гальперин [1] выделяет четыре типа действия:
- физическое действие. “Особенность и ограниченность физического действия в том, что в неорганическом мире механизм, производящий действие, безразличен его результатам, а результат не оказывает никакого, кроме случайного, влияния на сохранение породившего его механизма”;
- уровень физиологического действия. На данном этапе “находим организмы, которые не только выполняют действия во внешней среде, но и заинтересованы в определённых результатах этих действий, а следовательно, и в их механизмах”;
- уровень действия субъекта. “Новые, более или менее изменённые значения объектов используются без их закрепления, только для одного раза. Но зато каждый раз процедура может быть легко повторена, действие приспособлено к индивидуальным, единичным обстоятельствам”;
- уровень действия личности. “Здесь субъект действия учитывает не только своё восприятие предметов, но и накопленные обществом знания о них и не только их естественные свойства и отношения, но также их социальное значение и общественные формы отношения к ним”. П.Я. Гальперин отмечает, что “каждая более высокая ступень развития действия обязательно включает в себя предыдущие” [1]
В.В. Давыдов утверждает, что “основой развивающего обучения служит его содержание, от которого производны методы (или способы) организации обучения”. Данное понимание обучения характерно и для Л.С. Выготского, Д.Б. Эльконина. В результате учебной деятельности школьники воспроизводят “реальный процесс создания людьми понятий, образов, ценностей и норм” [3] Как отмечает Э.В. Ильенков [3], “в сжатой, сокращённой форме воспроизводило действительный исторический процесс рождения и развития … знаний”
Целесообразно также рассмотреть стадии творческого мыслительного процесса, представленные у В.П. Зинченко [4]
“А. Возникновение темы. На этой стадии возникает чувство необходимости начать работу, чувство направленной напряжённости, которая мобилизует творческие силы.
Б. Восприятие темы, анализ ситуации, осознание проблемы. На этой стадии создаётся интегральный целостный образ проблемной ситуации, образ того, что есть и предощущение будущего целого….
В. На этой стадии осуществляется часто мучительная работа над решением проблемы. Возникает ощущение, что проблема во мне, а я в проблеме….
Г. Возникновение идеи (равно образ-эйдос) решения (инсайт). На наличие и решающее значение этой стадии имеется бесчисленное множество указаний, но сколько-нибудь содержательные описания отсутствуют, и её природа остаётся неясной.
Д. Исполнительная, по сути, техническая стадия”.
Рассмотрим систему элективных курсов, которые могут реализовываться как в отдельности, так и в единой цепочки (всё зависит от желания и степени развития комбинаторно-логических способностей старшеклассников):
– “Математика рассуждений”, элективный курс, рассчитанный на 17 часов. Данный курс формирует первоначальные навыки вариативности логических рассуждений, учит выстраивать аналогичные варианты математических, логических задач и осуществлять поиск их решений.
- “Четыре типичных задачи комбинаторно-логического мышления”, элективный курс, рассчитанный на 17 часов, позволяющий учащимся усвоить основные типы задач, направленных на развитие комбинаторно-логического мышления.
- “Основные методы решения математических задач”, 17-часовой элективный курс.
Цель системы элективных курсов состоит в повышении уровня творческого мышления, направленных на формирование и развитие комбинаторно- логического мышления, формирование устойчивого интереса к математике.
Задачи системы элективных курсов:
- расширить область познаний у учащихся в области математики, логики, комбинаторики;
- сформировать у учащихся навыки конечных выборов при поиске решения как математических задач, так и “жизненных”, помогающих осуществить правильный выбор, в том числе и выборе индивидуальной траектории профессионального роста;
- сформировать навыки вариативности логических рассуждений;
- сформировать у учащихся представления о научных и логических методах решения математических задач;
- развивать навыки коллективных решений, публичных выступлений, проектной деятельности.
Структура системы элективных курсов.
На изучение системы курсов по формированию и развитию комбинаторно-логического мышления, на наш взгляд, следует отвести по 17 часов на каждый, что позволит подойти комбинаторно к их реализации. В зависимости от подготовленности учащихся можно будет варьировать в вариантах выбора курсов. Кроме этого, мы предлагаем на этапе предпрофильной подготовки учащихся реализовать пропедевтический курс “Логические методы доказательства” (17 часов), который позволит учащимся получить начальные навыки при построении логических рассуждений.
В представленной нами системе элективных курсов целесообразно распределить предлагаемое количество часов следующим образом:
“Математика рассуждений”, 17 часов:
- входное тестирование (1 час);
- педагогическая мастерская построения знаний “О, сколько нам открытий чудных…” (мотивационный этап, 2 часа);
- логические упражнения на материале математики (6 часов);
- учебный проект “Дерево решений математических задач”(5 часов);
- решение математических задач с применением различных способов решения (2 часа);
- выбор индивидуальных проектов в рамках темы элективного курса (1 час);
“Четыре типичных задачи комбинаторно-логического мышления”, 17 часов.
Разрабатывая новое содержание, во взаимопереплетении логики и комбинаторики мы предлагаем рассмотреть четыре варианта учебных задач:
- логические задачи, которые предполагают несколько вариантов решения. Поиск способов решения и разработка аналогичных задач на данном этапе для ученика будет ведущей учебной деятельностью (2 часа);
- комбинаторные задачи практической направленности (комбинаторные сюжетные задачи), рассматривающие ситуации выбора, с которыми предстоит ученику столкнуться в ближайшем будущем (4 часа);
- задачи комбинаторно-логического содержания, для решения которых необходимо будет пройти все этапы творческого процесса (В.П. Зинченко) (2 часа);
- задачи математического содержания, при решении которых используются комбинаторные, логические методы решения (6 часов);
- выбор индивидуальных проектов в рамках темы элективного курса (1 час).
Замечание: начать изучение данного элективного курса целесообразно с педагогической мастерской мотивационного характера “Поиск подхода к решению задачи (искусство ставить вопросы)” [8], 2 часа.
“Основные методы решения математических задач”, 17- часовой элективный курс:
- педагогическая мастерская “Блуждания: поиски подхода” [8], 2 часа;
- общенаучные методы решения математических задач (8 часов):
- анализ в различных его формах (восходящий, нисходящий, анализ в форме расчленения);
- синтез;
- аналогия;
- обобщение;
- конкретизация;
- логические методы решения математических задач (4 часа):
- индукция (полная и неполная);
- дедукция (прямое и косвенное доказательство, в последнем случае - методы доказательства от противного, альтернативное косвенное доказательство, сведение к абсурду).
- учебный проект “Комбинаторные методы решения задач” (2 часа);
- итоговое тестирование, подведение итогов (1 час).
Рассмотрим один из примеров задач представленной нами типологии:
Задачи комбинаторно-логического содержания
Для решения данного типа задач необходимо будет пройти все этапы творческого процесса (В.П. Зинченко).
Задача №1
5 студентов сдают зачёт по плаванию. Зачёт сдан, если студент проплывает 100 метров (время любое). Если же студента приходится вылавливать, то зачёт не сдан. Сколькими способами может окончиться заплыв?
А. Возникновение темы.
Учитель предлагает учащимся текст задачи.
Б. Восприятие темы, анализ ситуации, осознание проблемы.
На данном этапе учащиеся самостоятельно или при помощи учителя вычленяют условие задачи, её заключение, проводят рассуждения по поиску решения.
В. На этой стадии осуществляется часто мучительная работа над решением проблемы. Возникает ощущение, что проблема -во мне, а я -в проблеме….
На данном этапе учащиеся, работая в группах, разрабатывают стратегические пути решения данной задачи.
Г. Возникновение идеи (равно образ-эйдос) решения (инсайт). На наличие и решающее значение этой стадии имеется бесчисленное множество указаний, но сколько-нибудь содержательные описания отсутствуют, и её природа остаётся неясной.
Происходит обсуждение разработанных каждой группой вариантов решений и выбирается более рациональный способ решения.
Д. Исполнительная, по сути, техническая стадия”.
Оформление решения задачи.
Введём обозначения для 5 студентов по первой букве их вымышленных имён.
И рассмотрим различные варианты успешности или неуспешности заплыва для каждого из них в виде таблицы. За “1” будем обозначать успешный заплыв, “0”- неуспешный.
При решении применим известный уже нам метод перебора.
Возможен и более короткий путь решения, так как
задача в итоге свелась к рассмотрению следующей
ситуации: сколько последовательностей длины 5
можно составить из цифр 0 и 1? Решить задачу можно
при использовании правила произведения,
поскольку на каждом месте последовательности у
нас выбор из двух возможностей. Таким образом,
общее число исходов равно 
После решения данной задачи учащимся предлагается самим составить текст аналогичных задач с другим числом элементов.
Рассмотрев аналогичные задачи, учащиеся
приходят к выводу, что “Если множество N содержит
n элементов, то оно имеет
подмножеств”.
Замечание: учитель уточняет, что обобщенный вид такой формулы (для n- элементов) требует доказательства. И для этого существует особый приём доказательства - метод математической индукции.
При реализации любого элективного курса важную роль играет не только изменённое содержание, но и технология реализации. На одном из главных этапов - мотивационном, будем использовать одну из инновационных педагогических технологий, в основе деятельности которой рассматривается диалог - “Технология педагогических мастерских”.
Организация коллективной творческой деятельности в мастерской имеет свои закономерности, свой алгоритм, позволяющий последовательно продвигаться к цели.
Обращаем внимание на то, что мастерская как одна из диалоговых технологий, требует постоянного обсуждения той или иной ситуации, предложенной или вычлененной самостоятельно проблемы, а значит, требует обязательного использования групповой формы работы. Группы могут формироваться как хаотично, так и по предусмотренному в сценарии мастерской алгоритму. Например, учащиеся входят в класс и вытягивают из мешка фишки разного цвета, и соответственно выбранному цвету происходит формирование групп.
Алгоритм построения мастерской”[9]:
- Индуктор – “наведение” на тему (ключевые слова или словосочетания, фотография или набор фотографий, предмет, музыка, иллюстрация, модель и т. д).
- Самоконструкция – простое, доступное задание. Каждый участник группы должен выполнить посильное для себя задание: нарисовать, написать, начертить, слепить, придумать сценарий и т.п. (индивидуальная деятельность, не обсуждается с другими участниками группы).
- Социоконструкция – сравнение опыта своего с опытом другого (В парах, в группах).
- Социализация – всей группой участники мастерской обсуждают, размышляют, разрабатывают мини-проект, небольшое представление и т.д.
- Афиширование – представление результатов деятельности группы.
- Обсуждение. Обязательное условие – нельзя оценивать представления других. Лозунг данного этапа и всей мастерской: “Каждая точка зрения имеет право на существование, какой бы парадоксальной и неудачной она ни была”.
- Рефлексия.
В процессе социализации должна у участников мастерской возникнуть ситуация “разрыва” между новым и старым знанием.
Задача мастера (организатора мастерской)- объяснить, отправить к справочной литературе, дать дополнительную “порцию” материала и т.д.
На этапах изучения нового материала, отработки знаний важнейшее место отведём проектной технологии, или как часто описываемый метод проектов.
Родившись из идеи свободного воспитания, метод проектов в настоящее время становится интегрированным компонентом системы образования.
Суть остается прежней – стимулировать интерес ребят к определенным проблемам, предполагающим владение некоторой суммой знаний и через проектную деятельность показать практическое применение полученных знаний.
В основе метода проектов лежит развитие познавательных навыков учащихся, умений самостоятельно конструировать свои знания и ориентироваться в информационном пространстве, развитие критического мышления.
Метод проектов всегда ориентирован на самостоятельную деятельность учащихся – индивидуальную, парную, групповую, которую выполняют в течение определенного отрезка времени.
В опытно-экспериментальной работе были определены три этапа: констатирующий, формирующий, обобщающий.
На констатирующем этапе проводились исследования по определению уровня комбинаторно-логического логического мышления, изучалась философская, психологическая, методическая, специальная литература по изучению рассматриваемого вопроса. Кроме этого были рассмотрено и проанализировано более 30 авторефератов и диссертаций, в которых представлены новейшие открытия по данной проблеме.
Задачами констатирующего этапа являлись:
- изучение философской, психологической, методической, специальной литературы по проблеме исследования;
- исследования организации и методического обеспечения учебного процесса, направленного на формирование комбинаторно-логического мышления;
- определение уровня развития комбинаторно-логического мышления учащихся.
На втором, формирующем этапе проверяли дидактическую модель развития комбинаторно-логического мышления на фоне специально-созданных педагогических условий.
Задачи формирующего этапа:
- методически обеспечить развитие комбинаторно-логического мышления через реализацию элективных курсов на основе специально подобранных технологий, методик, максимально способствующих разрешению поставленной проблемы;
- экспериментально проверить отбор педагогических условий, способствующих формированию комбинаторно-логического мышления;
- опытно подтвердить эффективность влияния разработанных элективов на развитие комбинаторно-логического мышления учащихся;
- опытно подтвердить влияние разработанных педагогических условий на формирование комбинаторно-логического мышления учащихся;
Третий этап - обобщающий. На данном этапе подведены итоги предшествующих этапов. Осуществлялись теоретические, практические выводы, внедрялись результаты исследования в практику работы средней общеобразовательной школы. Использовались методы наблюдения, математической статистики.
Основные выводы
1. Общие показатели развития комбинаторно-логического мышления старшеклассников неравномерны, в них отражены особенности индивидуального развития каждого ребёнка и выборам профильного направления.
Ярко выражена способность к комбинаторно-логическому рассуждению у учащихся склонных к точным наукам.
Более половины учащихся старшей школы, а в классах физико-математического и информационно-технологического направлений более 70% демонстрируют нормативно ожидаемый уровень.
2. Необходимым условием для формирования и развития комбинаторно-логического мышления выступает разработанная нами система элективных курсов.
3. Для успешного овладения навыками комбинаторно-логического мышления нами предложена специальная система задач, система уроков, разработаны методические рекомендации для учителя.
4. Экспериментально доказано положительное влияние на общее развитие старшеклассника предложенной методики формирования комбинаторно-логического мышления: интеллектуальному тесту Р. Амтхауэра, задачам Дж. Гилфорда для оценки дивергентного мышления.
5. Благодаря усвоению комбинаторно-логических действий, учащиеся свободно осуществляли перенос различных интеллектуальных, практических, “жизненных” заданий в аналогичные и даже нестандартные ситуации.
Литература
- Гальперин П.Я. Введение в психологию, издательство Московского университета, 1976 г.
- Гусев В.А. Психолого-педагогические основы обучения математике – М.: ООО “Издательство “Вербум-М”, ООО “Издательский центр “Академия”, 2003.
- Давыдов В.В. Проблемы развивающего обучения: опыт теоретического и экспериментального исследования М., Педагогика, 1986, с.111.
- Зинченко В.П. Психологические основы педагогики (Психолого-педагогические основы построения системы развивающего обучения Д.Б. Эльконина- В.В. Давыдова): Учеб. Пособие. - М.: Гардарики, 2002.- 431с., с.110-111).
- Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования. Утверждена Приказом Министра образования №2783 от 18.07.2002 г, Москва 2002.
- Кузьмин О.В. Комбинаторные методы решения логических задач: учебное пособие, М.: Дрофа, 2006
- Кузьмин О.В. Перечислительная комбинаторика: учебное пособие. М.: Дрофа, 2005
- Окунев А.А. Как учить не уча.- СПб: Питер Пресс, 1996.
- Попова Т.Г. Педагогическая мастерская на уроках математики. Сборник научных трудов “Вопросы преподавания математики и информатики в школе и ВУЗе”, филиал ИГПУ, 2005 г., 5 стр.
- Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Обучение математике в школе/ Укрупнение дидактических единиц. Книга для учителя-2 изд. испр. и доп. - М.: АО “Столетие”, 1996.