Работа с учащимися показывает, что решение комбинированных уравнений и неравенств представляет определенные трудности для их понимания. Предлагаемый материал поможет разобраться в сложных вопросах теории, продемонстрирует оригинальные методы решения уравнений и неравенств с использованием свойств функций, с применением комбинаций нестандартных приемов.
Предлагаемые задачи собраны из разных источников, они будут полезны школьнику, абитуриенту, учителю математики, их можно использовать на факультативах, на уроках в профильных классах, для самостоятельного решения.
Умение решать нестандартные (да и “обычные”) задачи с помощью свойств функций, т.е. анализа областей определения функций, применение монотонности функции, оценки левых и правых частей уравнения или неравенства, всегда свидетельствует о хорошей подготовке школьника.
Комбинации различных приёмов при решении уравнений и неравенств
Рассмотрим уравнения и неравенства смешанного типа. При решении этих уравнений и неравенств приходится применять комбинации различных приёмов. Решение уравнений требует, как правило, некоторых преобразований, после которых оно сведётся к простейшему уравнению, линейному или квадратному. При проведении преобразований мы изменяем внешний вид уравнения (упрощаем уравнение), но при этом можем изменить множество его решений, так как проводим, как правило, неравносильные преобразования.
Изменение множества решений исходного уравнения может происходить по двум причинам:
-проводимые с уравнением действия (умножение на функцию, деление, прибавление – вычитание функции, возведение в степень и другие преобразования);
-изменение ОДЗ исходного уравнения за счёт использования в преобразовании новой функции с другой ОДЗ. Здесь возможно как приобретение корней за счёт расширения ОДЗ, так и потеря корней за счёт сужения ОДЗ исходного уравнения.
Уравнение после преобразований, конечно, может оказаться равносильным. Дать общие рекомендации здесь трудно, нужно в каждом конкретном случае следить за тем, чтобы не потерять корни и не приобрести посторонние решения.
Пример 1. Решить уравнение
Решение.
Рассмотрим это уравнение сначала как показательное.
u = 4sin x,
2u2 – 3u + 1 = 0,
u1 = 1, u2 = 
4sinx = 1 или 4sinx = 
sin x = 0, sin x = -
x = 
. x =
(-1)n+1
Ответ: 
,
(-1)n+1
Пример 2. Решить уравнение
lg cos x + log0,1 sin 2 x = lg 7.
Решение.
Рассмотрим сначала это уравнение как логарифмическое.
log0,1 sin 2 x = log(0,1) -1 (sin 2 x)-1 = -lg sin 2 x,
lg cos x – lg sin 2 x = lg 7,
lg cos x = lg (7sin 2 x),
cos x = 7 sin 2 x,
так как по смыслу заданного уравнения cos x>0,
то cos x 
0.
14 sin x cos x = cos x,
sin x = 
x = (-1)k arcsin 
Проверка:
| ОДЗ: |  |
cos x > 0, sin 2x > 0; |
 |
cos x > 0, sin x > 0. |
Значит, корни уравнения принадлежат I четверти, т. е.
x= arcsin 
Ответ: arcsin 
Пример 3. Решить уравнение
(
) = 
.
Решение.
| ОДЗ: | |
x2 - 3 0, x |
x |
; 
- 6) = 3( - 6),
(- 3) ( - 6) = 0.
- 3 = 0 или - 6 = 0,
= 3, 
= t, t>0,
x = 9. t2 – t – 6 = 0,
t1 = -2, t2 = 3,
=-2. = 3,
Нет корней. 
=
1,
x2 – 3 = 1,
x2 = 4,
x = 
.
9 и 2 удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: 2; 9.
Пример 4. Решить уравнение
Решение.
| ОДЗ: | |
sin x>0, cos x> 0. |
cos x + 
= 3 sin x,
= sin x,
sin (x-
) = 
x = (-1)k
ОДЗ удовлетворяют числа
Ответ: 
Пример 5. Решить уравнение
(tg x)sin x = (ctg x)cos x.
Решение.
Сначала рассмотрим это уравнение, как показательно-степенное ( tg x)sin x =( tg x) -cos x.
| 1. | |
1. tg x<0, tg x sin x = -cos x; |
|
tg x<0, tg x tg x = -1, |
система несовместна. |
-1, 
-1, 2. tg x = -1,
т.е.
отрицательное число возводится в иррациональные степени, что не имеет смысла.
3. tg x = 0,
x = 
n, то sin
x = 0, значит, левая часть уравнения (tg x)sinx
=00, что не имеет смысла.
| 4. | |
tg x>0, tg x sin x = -cos x; |
|
tg x>0, tg x tg x = -1, |
система несовместна. |
5. tg x = 1,
1sinx = 1-cosx, т. е. 1=1.
x=
k
Ответ: 
k
Пример 6. Решить неравенство
(
)
-1>1.
Решение.
Рассмотрим его как показательное.
()
-1> ()0.
- 1< 1.
log
ctg x
0, ctg x 
1,
logctg x<1; ctg x<
<x 
Ответ: (
Пример 7. Решить неравенство
4log16 cos 2x + 2log4 sin x + log2 cos x+3< 0.
Решение.
Преобразуем
4log16 cos 2x + 4log16 sin x + 4log16 cos x+3< 0,
4(log16 (cos 2x sin x cos x) < -3,
log16 (cos 2x sin x cos x)< log16
y=log16t
возрастающая.
|
cos 2x>0, sin x>0, cos x>0, cos 2x sin x cos x<  ; |
|
cos 2x>0 sin x>0, cos x>0.  |
 |
 2  -  |
2
2
и
Ответ: (2
, k
. (
.
Использование свойств монотонности функции
Для решения некоторых уравнений полезно
воспользоваться свойством монотонной функции.
Суть свойства состоит в том, что если нужно
решить уравнение 
, где 
монотонно возрастает, а 
монотонно убывает (или
константа), то, если решение 
существует, оно единственно.
Действительно, 
при 
и 
при 
в силу
монотонности.
Итак, при решении таких задач:
1. установить, что уравнение составлено из
разномонотонных функций, то есть 
что означает, что если
решение есть, то оно единственно; подобрать целый
корень.
Пример 1. Решить уравнение
.
Решение.
Разделим обе части на 
Левая часть монотонно убывающая функция. Следовательно, каждое своё значение она принимает один раз, то есть данное уравнение имеет одно решение.
.
Ответ: 1
Пример 2. Решить уравнение
Решение.
- монотонно
возрастающая функция на всей области
определения 
.
В правой части стоит константа.
Подбираем корень 
В силу монотонности других корней нет.
Ответ: 2.
Пример 3. Решить уравнение
Пусть 
Следовательно, исходное уравнение перепишем в виде
Обе части разделим на 
:
убывает 
возрастает 
Значит, уравнение имеет единственный корень.
Подбираем, 
так как 
Ответ: 9.
Пример 4. Решить уравнение
Решение.
Преобразуем, 
Функция 
убывает.
Найдём производную функции 
.
при 
то есть функция 
возрастает на области определения
уравнения, то есть при 
.
Подбираем корень, 
.
Ответ: 7.
Пример 5. Решить уравнение
Решение.
Область определения уравнения 
возрастает
при 
Преобразовать уравнение, подобно примеру 4, не
удаётся. Но, заметим, это 
- корень.
Рассмотрим другой подход.
Вычислим 
и 
то есть 
, где x=1 –
абсцисса точки пересечения графиков.
Значит, графики 
и 
имеют общую касательную и графики расположены по
разные стороны от касательной.
Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень.
Ответ: 1.
При решении уравнений полезна следующая теорема:
Если 
-
монотонно возрастающая функция, то уравнение 
и 
эквиваленты.
Пример 6. Решить уравнение
Решение.
Перепишем в виде 
Введём функцию 
, она монотонно возрастает. Имеет 
- исходное
уравнение, заменим его на 
или
,
.
значит 
x = 
Ответ: 
Пример 7. Решить уравнение:
Решение.
Преобразуем уравнение
Введём 
наше
уравнение примет вид 
значит f(х)=х, согласно теореме и 
, 
,
.
Ответ: 1; 
Свойство монотонности можно использовать также при решении неравенств.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Решить неравенство
Решение.
Рассмотрим нестандартный способ решения.
монотонно
возрастающая, а
монотонно
убывающая на R
Уравнение 
имеет не более одного решения, причём если 
- решение этого
уравнения, то 
,
но 
- при этом
условии 
а
значит 
будет
решением, т. е. 
т.к. 
.
Ответ: 
.
Пример 2. Решить неравенство.
.
Решение.
Область определения 
Прологарифмируем по основанию 2.
т. е.
убывает, а
функция 
возрастает. Уравнение 
имеет корень 
, неравенство выполняется при 
т. е. 
но 
Ответ: 
Пример 3. Решить неравенство
Решение.
возрастает на R,
как сумма двух возрастающих функций. 
- корень
уравнения 
Следовательно, неравенство имеет место при 
т. е. 
Ответ: 
Использование экстремальных свойств функций. Оценки
Некоторые задачи удобно решать, используя оценки левой и правой частей уравнения. В обобщённом виде решение выглядит так.
Решить уравнение: 
и при этом оно не решается никак. Тогда
может оказаться, что
а 
При этом, если 
,
то исходное уравнение может иметь решение –
корень уравнения 
(этот корень должен быть и корнем
), а если 
, то у исходного
уравнения корней нет, т. е. решение такого
уравнения сводится к доказательству некоторых
неравенств.
Рассмотрим примеры:
Пример 1.Решить уравнение
Решение.
при любом 
.
при 
, 
Уравнение обращается в верное числовое
равенство при тех значениях 
, при которых левая и правая часть
уравнения принимает значение 1.
Система совместна.
- корень
исходного уравнения.
Ответ: 1.
Пример 2.Решить уравнение
Решение.
,
,
Сумма двух взаимообратных чисел по модулю
больше или равняется 2. Тогда 
Следовательно, уравнение равносильно системе:
Система совместна.
- корень
данного уравнения.
Ответ: 
Пример 3.Решить уравнение
Решение.
при 
т.е. 
Значит,
Исходное уравнение равносильно системе:
х=2.
Ответ: 2.
Пример 4.Решить уравнение
Решение.
– сумма
двух взаимно обратных чисел
Значит,
Следовательно,
х=0.
Ответ: 0.
Решим задачи, где используются оценки правой и левой частей неравенства.
Пример 1. Решить неравенство
Решение.
при 
а 
, следовательно, исходное
неравенство справедливо при всех действительных
значениях х.
Ответ: 
Пример 2. Решить неравенство
Решение.
система совместна
х=0.
Ответ: 0.
Пример 3. Решить неравенство
Решение.
Оценим правую часть:
Но 
Значит,
исходное неравенство справедливо при любом х.
Ответ: 
Пример 4. Решить неравенство
Решение.
Исходное неравенство может иметь место, если
Найдем общие корни:
1+4n=5k,
k-1=4(n-k).
k-1 кратно 4, т.е. k-1=4m, 
k=4m+1, 
Ответ: 
Пример 5. Решить неравенство
Решение.
Заметим, что допустимыми значениями будут 
Возведем обе части в квадрат:
Применим метод оценок.
т.е. исходное неравенство не имеет решения.
Ответ: нет решений.
Литература
- Игудисман, О.С., Математика на устном экзамене. - М.: Айрис Пресс, 1999
- Литвиненко, В.Н., Мордкович А. Практикум по элементарной математике: Алгебра. - М.: Просвещение, 1991
- Потапов, М.К. , Олейник С.Н., Нестеренко Ю.В. Математика. Справочное пособие. -М.: Издательство АСТ – ЛТД, 1998
- Шарыгин, И.Ф., Факультативный курс по математике: Решение задач // Учебное пособие для 10 класса средней школы. - М.: Просвещение, 1989