Данная статья не содержит графических иллюстраций. Поэтому знакомиться с ее содержанием будет удобнее, имея под рукой лист бумаги и карандаш.
1. Линейная функция
При изучении линейной функции на уроках алгебры в 7-м
классе учащиеся довольно успешно осваивают
способ построения прямой по двум точкам. При этом
составляется таблица, в которой задаются
значения х и вычисляются соответствующие
значения y. Однако при построении прямой
часто допускаются неточности: из-за того, что
выбранные точки очень близко расположены друг к
другу, построенная прямая “уходит в сторону”.
Построить график линейной функции можно гораздо
быстрее, если заметить определенные
закономерности. Рассмотрим примеры.
Пример 1. Построить график функции .
Решение Составим таблицу значений функции.
Порядковый № | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
y | -3 | -1 | 1 | 3 | 5 |
Первая точка выбирается традиционно – точка
пересечения прямой с осью ординат. А дальше
обратим внимание, что разность значений функции , т.е. совпадает
со значением углового коэффициента заданной
функции. А значит, для построения точек на
координатной плоскости вся информация заложена
в коэффициентах заданной линейной функции.
Алгоритм построения точек следующий:
- строим первую точку
;
- переносим ее на 1 единицу вправо и две единицы вверх (это вторая точка, принадлежащая прямой):
- вторую точку снова перемещаем на 1 единицу вправо и две единицы вверх и получаем третью точку искомой прямой;
- далее все повторяется любое число раз.
Пример 2. Построить график функции .
Решение Первая точка имеет координаты . Каждая
следующая получается из предыдущей смещением на
1 единицу вправо и на 3 единицы вниз.
Рассмотрим теперь случай, когда угловой коэффициент линейной функции задается дробью.
Пример 3. Построить график функции .
Решение Составим таблицу значений функции. Чтобы получить точки прямой с целочисленными координатами, возьмем значения х, кратные трем. Ну. а первая точка, по-прежнему, – точка пересечения прямой с осью ординат.
x | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 |
y | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 |
Построим точки на координатной плоскости. Видно, что каждая следующая точка получается из предыдущей сдвигом на 3 единицы вправо и 2 единицы вверх. Проводим прямую.
Пример 4. Построить график функции .
Решение Первая точка имеет координаты . Заметим, что
угловой коэффициент прямой
. Значит, каждая следующая точка
прямой будет получена из предыдущей смещением на
5 единиц вправо и на 4 единицы вниз. Строим точки и
проводим прямую.
Обратите внимание, что в случае дробного
углового коэффициента линейной функции
знаменатель дроби указывает количество единиц
для перемещения точки вправо, а числитель –
количество единиц, на которые переместится точка
вверх (при )
или вниз (при k<0).
2. Квадратичная функция
2.1. С графиком квадратичной функции учащиеся
знакомятся еще в седьмом классе. При этом, для
построения параболы, как правило, записывается
таблица значений функции для
, затем полученные точки строят
на координатной прямой и рисуют параболу. Более
продвинутые ученики записывают таблицу только
для
, строят
полученные точки и проводят правую ветвь
параболы. Затем, воспользовавшись симметрией
графика относительно оси ординат, строят точки
параболы для
и рисуют вторую ветвь параболы.
Записи таблицы можно избежать, если заметить
одну закономерность в расположении указанных
точек. Посмотрим таблицу значений функции :
![]() |
0 | 1 | 2 | 3 | ||
![]() |
0 | 1 | 4 | 9 | ||
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
В третьей строке таблицы записана разность
двух последующих значений функции. Видно, что
полученные числа образуют последовательность
нечетных чисел (легко убедиться, что эта
закономерность выполняется и далее, например,
). Этот факт
легко запоминается. А с учетом этой
закономерности построить характеристические
точки параболы можно так:
- первая точка – начало координат;
- вторая точка получается из первой смещением на одну единицу вправо и на одну единицу вверх;
- третья получается смещением второй точки на один вправо и три вверх;
- четвертая точка получается переносом третьей на один вправо и пять вверх;
- затем строятся точки левой ветви параболы за счет симметрии графика относительно оси ординат.
Остается провести плавную линию через полученные точки, и парабола построена.
2.2. Перейдем теперь к квадратичной
функции вида ,
которая изучается уже в восьмом классе. Учащиеся
узнают, что коэффициент а определяет
направление ветвей параболы, а также растяжение
или сжатие графика вдоль оси ординат. А для
построения графика все равно просчитывают
координаты точек. Но без этого можно обойтись,
если знать указанную выше закономерность
построения точек параболы
. И если для нее сдвиг точек вдоль
оси OY задавался последовательностью чисел
, то для функции
эта
последовательность чисел будет
.
Пример 5. Построить график функции .
Решение Графиком функции служит парабола,
ветви которой направлены вниз, а вершина
находится в начале координат. Для построения
других точек параболы вспомним про нечетные
числа ,
умножим их на
,
получаем последовательность чисел
Знак
говорит о том , что смещение
точек будет сделано вниз. На словах алгоритм
построения звучит так: от начала координат одна
единица вправо и две вниз; от новой точки одна
единица вправо и шесть вниз; строим точки,
симметричные полученным относительно оси
ординат; проводим параболу.
Пример 6. Построить график функции .
Решение Графиком функции – парабола, ветви
которой направлены вверх. Вершина параболы
находится в начале координат. Для построения
других точек воспользуемся последовательностью При
получаем
следующий порядок перемещений вдоль оси ординат
. Строим точки
на координатной плоскости: от точки
1 клетка вправо и
полклетки вверх, от полученной точки снова одна
клетка вправо и полторы клетки вверх, потом от
новой точки опять одна клетка вправо и две с
половиной клетки вверх и т.д. (ясно, что в
указанном случае за единичный отрезок на осях
координат принимается одна клеточка в тетрадном
листе). Затем строим точки левой ветви параболы
за счет симметрии графика относительно оси OY и
рисуем параболу.
2.3. В 9-м классе учащиеся изучают
квадратичную функцию . Для построения ее графика с учетом
выше сказанного можно применять следующий
алгоритм:
- найти координаты вершины параболы
;
- построить в системе координат полученную точку
и провести оси вспомогательной системы
координат (прямые
и
);
- по коэффициенту а определить направление ветвей параболы;
- построить во вспомогательной системе координат
характеристические точки функции
, следуя алгоритму пункта 2.2.
- провести плавную линию через указанные точки. График готов.
Пример 7. Построить график функции .
Решение Графиком функции – парабола.
- Вычисляем координаты вершины параболы:
.
- Строим точку
и проводим пунктиром вспомогательные оси координат (прямые проходят через указанную точку и параллельны осям ОХ и ОY).
- Коэффициент при х2 в данной функции равен 1. Значит, для построения характеристических точек параболы применим ряд чисел 1,3,5,…. , т.е. строим стандартную параболу, но во вспомогательной системе координат (пункт 2.1.).
- Проводим плавную линию через полученные точки. Парабола построена.
ПРИМЕРЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Постройте графики указанных функций:
1.![]() |
2. ![]() |
3. ![]() |
4. ![]() |
5. ![]() |
6. ![]() |
7. ![]() |
8. ![]() |
9. ![]() |
10. ![]() |
11. ![]() |
12. ![]() |