Математическая конференция "Золотое сечение в искусстве и архитектуре"

Геометрия владеет двумя сокровищами:
одно из них – теорема Пифагора, другое-
деление отрезка в среднем и крайнем отношении. (И. Кеплер)

Звучит музыка Шопена, на экране слайды: Парфенон, “Мона Лиза”, “Боярыня Морозова”, Дорифор Поликлета, Аполлон Бельведерский Леохара, Афродита Книдская Праксителя.

Учитель 1. Великие произведения искусства многие века восхищают человечество своей красотой и гармонией. А создает эту гармонию царица наук математика. Наша математическая конференция посвящена теме золотого сечения в искусстве и архитектуре.

Участники конференции будут работать в трех секциях: “Живопись и скульптура”, “Архитектура”, “Музыка и поэзия”. Ведут конференцию учитель математики и учитель мировой художественной культуры.

Учитель 2. Иоганн Кеплер говорил, что геометрия владеет двумя сокровищами-теоремой Пифагора и золотым сечением. Если первое из этих сокровищ можно сравнить с мерой золота, то второе с драгоценным камнем. Теорему Пифагора знает каждый школьник, а о золотом сечении мы знаем далеко не все. Сегодня мы попытаемся узнать побольше об этом “драгоценном камне”. Что же такое золотое сечение?

Говорят, что точка С делит отрезок АВ в золотом сечении, если АС : АВ=ВC : АС .

Золотое сечение- это такое деление целого на две неравные части, при котором большая часть относится к целому, как меньшая к большей.

Такое деление отрезка со времен древних греков называется делением отрезка в крайнем и среднем отношении.

Пусть АВ = , АС = , тогда ВС =

Пропорция АС : АВ=ВС : АС примет вид

Отсюда ,

называется числом Фидия, древнегреческого скульптора, в творениях которого часто встречается это число.

Таким образом, , и части золотого сечения составляют приблизительно 62% и 38 % всего отрезка.

Учитель1. Проведем небольшой эксперимент. Начертите произвольный прямоугольник. Найдите отношение меньшей стороны к большей. Что у вас получилось?

Представьте, что этот прямоугольник - стена вашей комнаты, ее необходимо оклеить обоями двух цветов. Проведите в прямоугольнике отрезок, где, по вашему мнению, проходит стык обоев. Найдите отношение меньшей части к большей. Что у вас получилось?

Сравнив полученные результаты с числом , можно заметить, что они близки.

Данный эксперимент доказывает, что отношение длин отрезков, равное числу Фидия, наиболее приятно человеческому глазу. Золотое сечение было очень популярно среди скульпторов, архитекторов и художников.

Слово представителям секции “Живописи и скульптуры”.

Ученик 1. Золотое сечение было особенно популярно в эпоху Возрождения. Выбирая размеры самой картины, старались, чтобы ее стороны находились в золотом отношении. Такой прямоугольник стали называть “золотым”. Этот термин впервые ввел Леонардо да Винчи. Примером такого прямоугольника служит картина Сальвадора Дали “Тайная вечеря”. Проверьте это (рис.1).

Мотивы золотого сечения можно найти и в композиционном решении картин. У вас на столах лежит репродукция картины Шишкина “Корабельная роща” (рис.2). На переднем плане вы видите ярко освещенную солнцем сосну, справа от которой пригорок. Найдите на этой картине “золотые отношения” и назовите их (сосна делит картину по вертикали, а пригорок по горизонтали в “золотом отношении”).

Учитель 1. Рассмотрим еще один пример. Перед вами картина Сурикова “Боярыня Морозова” (рис.4). Какова композиция картины? (Диагональная). Найдите две основные драматические точки. (Рука Морозовой и рука нищенки) Из этих точек опустите перпендикуляры к сторонам прямоугольника (картины). Полученные прямоугольники являются золотыми, проверьте это.

Учитель 2. Золотой прямоугольник обладает интересными свойствами.

Свойство 1. Если от золотого прямоугольника со сторонами и () отрезать квадрат со стороной , то получим прямоугольник со сторонами и , который тоже золотой. Продолжая этот процесс, мы каждый раз будем получать прямоугольник меньших размеров, и опять золотой (рис.5).

Свойство 2. Процесс, описанный выше, приводит к последовательности, так называемых, вращающихся квадратов. Если соединить противоположные вершины этих квадратов плавной линией, то получим кривую, которая называется золотой спиралью или логарифмической спиралью.

Учитель 1. Если золотой прямоугольник используется художниками для создания у зрителя ощущения уравновешенности и покоя, то золотая спираль - для выражения бурно развивающихся событий. Так, композиционное построение фигур на гравюре Рафаэля “Избиение младенцев” расположено по золотой спирали (рис.6)

Вспомните, где еще вы встречали золотую спираль в произведениях искусства и архитектуры? (Рокайли, волюты и т.д.)

Ученик 2. О золотом сечении знали Пифагор и его ученики (VI век до н.э.). В философской школе Пифагора помимо философии и математики изучали и гармонию. Мир, считали они, состоит из противоположностей, а гармония приводит противоположности к единству. Гармония же заключается в числовых отношениях. Пифагорейцы приписывали числам различные свойства. Так, четные числа они называли женскими, нечетные (кроме 1)- мужскими. Число 5- как сумма первого женского числа (2) и первого мужского (3)- считалось символом любви. Отсюда такое внимание к пентаграмме, имеющей 5 углов.

Ее они выбрали символом своего союза. Она считалась амулетом здоровья.

Учитель 2. Чем же интересна пентаграмма с математической точки зрения? Построим сначала правильный пятиугольник. Из центра окружности последовательно отложим центральные углы равные . Стороны углов пересекут окружность в точках A, B, C, D, E. Соединив их последовательно, получим правильный пятиугольник (рис. 7).

А теперь проведем в этом пятиугольнике все диагонали. Они образуют правильный звездчатый пятиугольник, т. е. знаменитую пентаграмму (рис. 8).

Интересно, что стороны пентаграммы, пересекаясь, образуют снова правильный пятиугольник, в котором пересечение диагоналей дает нам новую пентаграмму, а в пересечении ее сторон мы снова видим правильный пятиугольник, открывающий возможность построения новой пентаграммы. И так далее до бесконечности.

Теперь рассмотрим пентаграмму на рисунке 9.

Соединим в ней точки K и F. Выше уже отмечалось, что пятиугольник KLFPM – правильный, т.е. KLF = 108. Тогда . Но угол Е тоже равен 36. Из того, что следует, что ЕС, а тогда и BE:BK=BP:BF. Обозначим BE= и BK= , тогда , или Таким образом мы получили тоже самое уравнение, решением которого является
. Об этом уравнении мы говорили в самом начале урока. Значит, BK:BE=.

Учитель 1. Где в искусстве встречается звездчатый пятиугольник? (Арабский геометрический орнамент). Разумеется есть и “золотой” треугольник. Это равнобедренный треугольник, у которого отношение длины основания к длине боковой стороны равно . На рисунке 8 это ABD, ACE и т.д.

Композиция знаменитой картины Леонардо да Винчи “Мона Лиза” основана на “золотых” треугольниках (рис. 3). Начертите эти треугольники и проверьте, действительно ли они золотые.

Ученик 3. Обратимся к скульптуре. Рассмотрим применение золотого сечения в древнегреческой скульптуре Поликлета “Дорифор” (рис. 10). В этой статуе мы встречаем много раз примененное число . Так, пупок (точка О) делит высоту статуи в отношении “золотого сечения”. Значит, если высоту АВ принять за единицу, то АО=, но тогда . Однако на рисунке показано, что расстояние ОВ берется равным . Нет ли здесь противоречия? Проверим это. Если считать, что , то приходим к уравнению . Отсюда , т.е. получили то же самое значение , которое вычислили ранее.

Проанализируем другие пропорции знаменитой статуи. Расстояние от подошвы копьеносца до его колена равно . Высота шеи вместе с головой - , длина шеи до уха - , а расстояние от уха до макушки - . Таким образом, в этой статуе мы видим геометрическую прогрессию со знаменателем : .

Учитель 2. Скульпторы утверждают, что талия делит человеческое тело в отношении “золотого сечения”. Давайте проверим, насколько фигура современного человека соответствует идеалу красоты. У вас на столах сантиметры. Свой рост вам известен. Измерьте расстояние от макушки до талии и найдите отношение этого расстояния к расстоянию от талии до пола (результаты отдельно юношей и девушек записываются на доске).

Измерение нескольких тысяч человеческих тел показали, что для мужчин это отношение равно , а женщин . Так что пропорции мужчин ближе к “золотому сечению” чем женщин.

Учитель 1. Дань “золотому сечению” отдали также композиторы и поэты. Слово секции музыки и поэзии.

Ученик 4. Еще в 1925 году искусствовед Л.Л. Сабанеев, проанализировав 1770 музыкальных произведений 42 авторов, показал, что подавляющее большинство выдающихся сочинений можно легко разделить на части или по теме, или по интонационному строю, или по ладовому строю. Эти части находятся между собой в отношении “золотого сечения”. Причем, чем талантливее композитор, тем в большем количестве его произведений найдено “золотых сечений”. У Бетховена, Бородина, Гайдна, Моцарта, Скрябина, Шопена и Шуберта “золотые сечения” найдены в 90% всех произведений. По мнению Сабанеева, “золотое сечение” приводит к впечатлению особой стройности музыкального сочинения. Этот результат он проверил на 27 этюдах Шопена и обнаружил в них 178 “золотых сечений”. При этом оказалось, что не только большие части этюдов делятся по длительности в отношении “золотого сечения”, но и части этюдов внутри зачастую делятся в таком же отношении.

Послушаем этюд ми мажор Ф. Шопена (звучит музыка).

Ученик 5. “Золотое сечение” в поэзии проявляется как наличие определяющего момента стихотворения (кульминации, смыслового перелома, главной мысли или их сочетаний) в строке, приходящейся на точку деления общего числа строк стихотворения в “золотой” пропорции. Это можно увидеть на примере стихотворения “Из Пиндемонти” А.С. Пушкина.

Не дорого ценю я громкие права,

От коих не одна кружится голова.

Я не робщу о том, что отказали боги

Мне в сладкой участи оспоривать налоги,

Или мешать царям друг с другом воевать;

И мало горя мне, свободно ли печать

Морочит олухов иль чуткая цензура

В журнальных замыслах стесняет балагура.

Все это, видите ль, слова, слова, слова.

Иные, лучшие мне дороги права;

Иная, лучшая потребна мне свобода:

Зависеть от властей, зависеть от народа –

Не все ли нам равно? Бог с ними.

Никому.

Отчета не давать, себе лишь самому

Служить и угождать; для власти, для ливреи

Не гнуть ни совести, ни помыслов, ни шеи;

По прихоти своей скитаться здесь и там,

Дивясь божественным природы красотам,

И пред созданьями искусств и вдохновенья

Трепеща радостно в восторгах умиленья.

- Вот счастье! Вот права...

Учитель 1. Какой основной прием положен в основу стихотворения? (Противопоставление)

Где кончается первая и начинается вторая часть стихотворения? Прочитайте. Найдите принцип “золотого сечения”. (Стихотворение делится на две части. “Их ценности” - низость земного раболепия (13 строк), “мои ценности” - высота духовной свободы (8 строк), 8/13- “золотое сечение”).

Основные части делятся на меньшие смысловые единицы (темы), которые также находятся в “золотых” отношениях. Рассмотрим первую часть. Выделите основные темы этой части. (Первая тема – 5 строк, вторая – 8).

Первую тему разделите на микротемы. (Первая микротема – 2 строки, вторая – 3).

Получается ряд: 2, 3, 5, 8, 13. Это последовательность Фибоначчи.

Учитель 2. Последовательностью Фибоначчи называется последовательность первые два члена которой равны 1, а каждый последующий сумме двух предыдущих. Таким образом, эта последовательность () определяется так:

Т.е. 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89...

Если возьмем три последовательных числа , то приближенно равны . Это приближение тем лучше, чем больше номер взятого члена. Разделить золотым сечением на две части с хорошим приближением можно числа являющиеся членами последовательности Фибоначчи. Например, золотое сечение числа 8 дает 3 и 5, числа 13 – 5 и 8, числа 21 – 8 и 13, т.е. это числа .

Учитель 1. Золотое сечение использовалось и архитекторами, для нахождения гармонических пропорций сооружений. Слово секции архитекторов.

Ученик 6. Под пропорцией в архитектуре понимают любую закономерность в соотношениях частей, которая связывает эти части в целое. Пропорционирование – это нахождение некой закономерности, некоего правила, по которому соотносятся между собой все части архитектурного целого. Для пропорционирования у архитекторов есть готовые, известные из математики и проверенные в различных искусствах, пропорциональные ряды.

Арифметический, геометрический и гармонический ряды отличаются одним замечательным свойством: любое число в ряду является средним арифметическим, геометрическим или гармоническим между двумя соседними. Потому часто числа таких рядов называют “средними числами” и активно используют в архитектуре, скульптуре, живописи для достижения гармоничных соотношений. Наиболее же известным из “средних чисел” и в тоже время наиболее загадочным до сих пор остается “золотое сечение”.

“Золотое сечение” многократно встречается при анализе геометрических соразмерностей Парфенона (рис. 11). Многие искусствоведы, стремившиеся раскрыть секрет могучего эмоционального воздействия, которое это здание оказывает на зрителя, искали и находили в соотношениях его частей золотую пропорцию. Так, приняв за единицу ширину торцевого фасада здания, можно получить геометрическую прогрессию, состоящую из 8 членов: расстояние между второй и седьмой колоннами равно , между третьей и шестой , между четвертой и пятой . Аналогичные закономерности мы видим и в построении здания по высоте. Объединив их, получаем прогрессию:. Сравнивая рисунок 10 и рисунок 11, видим, что отношение торцевой длины здания к его высоте равно отношению человеческого роста к длине нижней части тела (длина отрезка ОА на рис. 10): . Высота крыши Парфенона относится к расстоянию между крышей и капителями колонн, как , т.е. так же, как отрезок ВС на рис. 10 относится к отрезку ЕС.

Эти совпадения не случайны. В своих архитектурных творениях древнегреческие мастера исходили из пропорций, которые видели, прежде всего, в пропорциях человеческого тела.

Учитель 1. Сегодня мы более подробно изучили, как используется “золотое сечение” в искусстве и архитектуре и убедились в том, что “золотое сечение” рождает гармонию.