Состояние математического развития учащихся наиболее ярко характеризуются их умением решать задачи. Задачи - это основное средство оттачивания мысли каждого школьника. Конечно, речь идёт не об упражнениях тренировочного характера, а о нестандартных задачах, поиск решения которых составляет, важные слагаемые доступного детям математического творчества. Прежде всего следует учесть, что научиться решать задачи школьники смогут, лишь решая их.
“Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, и если хотим научиться решать задачи, то решайте их,” - пишет В. Пойта в книге “Математическое открытие”. Решение любой достаточно трудной задачи требует от учащихся напряженного труда, воли и упорства, которые наиболее сильно проявляются тогда, когда заинтересованы задачей. Интересную задачу легче решать, т.к. она мобилизует умственную энергию. Поэтому учитель должен подбирать такие задачи, чтобы учащиеся хотели их решать. Практика показывает, что школьники с интересом воспринимают задачи практического содержания, позволяющее показать тесную взаимосвязь теории и практики. Учащиеся с увлечением наблюдают, как из практической задачи возникает теоретическая и как часто теоретической задаче можно придать практическую форму. Например, при изучении темы “Умножение” в 5ом классе можно предложить следующее комбинаторные задачи:
- “7 человек обменялись фотографиями. Сколько при этом было роздано фотографий?”
- “Из села А в город В можно проехать по четырём маршрутам, а из В в С-по трём. Сколькими способами можно составить маршрут из А в С с обязательным заездом в В?”
При изучении темы “Деление с остатком” наряду с задачей “Найти остаток от деления числа 365 на 7,” допускающей стандартное решение полезно предложить учащимися такие вопросы:
- Какое наибольшее число воскресений может быть в году?
- В 1996г. было 53 субботы. Какой день недели был 1 января этого года?
- 1990 год начался с четверга. С какого дня недели начинались 1996, 1997 годы? Какое правило вы заметили?
После изучения темы “Разложение на множители” можно рассмотреть такую задачу: “Ученикам двух шестых классов выдали 469 учебников. Каждый получил одинаковое количество книг. Сколько было шестиклассников и сколько учебников получил каждый из них?”
Для развития математических способностей учащихся и воспитания их интереса к математике очень полезно использовать задачи-шутки и математические ребусы. К сожалению, достаточно распространено мнение, согласно которому занимательные задачи предназначены только для решения дома или на кружке, но не на уроке. По моему мнению, эта точка зрения вряд ли может быть оправдана.
Например:
а) Вычислить сумму: 
б) Даны числа от 1 до 9. Расставьте их в кружках так, чтобы сумма трёх чисел вдоль каждой линии была равна 15. Какое число нужно поставить в середине?
в) Расставьте числа 1,2,3,…,9 в кружках на рис. так, чтобы сумма чисел вдоль каждой стороны треугольника равнялась 20.
В данном случае вопросы могут быть следующими:
1) Чему должна быть равна сумма чисел, стоящих вдоль каждой линии на рис? (60)
2) Чему равна сумма всех данных чисел? (45)
3) За счёт чего мы можем восполнить недостаток? (За счёт чисел, стоящих в кругах А, В, С).
4) Какие числа могут стоять в кругах А, В,С? (Те которые в сумме дают 15).
Удачная методическая находка и умелое её воплощение позволяет уже в 4-м классе знакомить учащихся с различными системами счисления, прививать вкус к решению трудных задач. Игры, подчас не связанные прямо с математикой, способствуют возникновению стойкого интереса к занятиям, развивают любознательность, стремление к чтению популярной литературы по математике.
С учащимися V-VI класса занятия идут по следующей программе:
- Головоломки со спичками.
- Математические фокусы.
- Задачи на переправы и дележи.
- Задачи на переливание.
- Задачи на определение выигрышной ситуации.
- Задачи, решаемые “с конца”.
- Логические задачи.
- Разгадки зашифрованных текстов.
- Разрезание и перекраивание фигур.
- Приёмы быстрого счёта.
Содержание программы позволяет удовлетворить пытливые умы младших школьников, выявить особенности мышления каждого и начать работу по формированию интересов учащихся. На занятиях всемерно поощряется использование ребятами дополнительной литературы. Стало традицией выступление на занятии одного-двух учащихся предлагающих своим товарищам для решения самостоятельно подобранные, а иногда и придуманные самими школьниками задачи. Мини-олимпиады, математические бои, викторины вошли в арсенал средств работы со школьниками. По мере взросления ребят описанные формы занятий меняются, становятся сложнее, хотя моменты игрового характера сохраняются и для 7-8-классников. В течение всего учебного года проводятся занятия кружка, на котором рассматриваются какие-либо теоретические вопросы и решаются задачи. Хорошо, когда занятия кружка связанны с материалом, проходящим в данный момент в классе, тогда и на уроке можно сослаться на отдельные детали рассматриваемые на занятиях кружках. Содержание внеклассных мероприятий я органически связываю с программным материалом; иногда включаю и некоторые вопросы, выходящие за рамки школьной программы, но доступные учащимся.
Традиционные формы обучения математике нередко мешают талантливому, способному ученику полностью раскрыться. Один из путей преодоления этого – дифференциация обучения. В целях математического развития учащихся рассмотрение одной и той же задачи в разных классах представляет собой значительный интерес. По мере изучения математики к решению некоторых задач я иногда возвращаюсь несколько раз. Это делается для того, чтобы глубже осмыслить задачу, показать эффективность одного метода перед другим. Иногда последнее решение может оказаться более рациональным по сравнению с предыдущим; в других случаях можно получить обобщенное решение задачи или такое, которое расширяет постановку вопроса, доказывает, что задача не может иметь других решений.
Рассмотрим пример:
1. Найти четыре последовательных числа, произведение которых равно 5040.
5 класс.
На данном этапе учащиеся изучают только натуральные числа, поэтому естественно, что они ищут только натуральные решения.
Если x-наименьшее из данных чисел, то из условия задачи будем иметь:
x*(x+1)*(x+2)*(x+3)=5040.
Т.к. в левой части этого неравенства, записано произведение четырёх последовательных чисел, то выясним нельзя ли и число 5040 тоже представить в виде произведения четырёх последовательных чисел:
5040=504*10=9*56*10=7*8*9*10.
Итак, получаем, что: x*(x+1)*(x+2)*(x+3)=7*8*9*10.
Откуда следует, что числа 7,8,9,10 - искомые.
6 класс.
Теперь учащиеся знакомы и с отрицательными числами, поэтому из условия задачи будет следовать ещё и такое равенство:
x*(x+1)*(x+2)*(x+3)=(-10)*(-9)*(-8)*(-7) - но, кроме уже найденных чисел условию задачи будет удовлетворять и ещё одна четвёрка чисел: -10; -9; -8; -7. Таким образом, в результате решения задачи найдены две четвёрки искомых чисел, однако на данном этапе мы не можем утверждать, что других чисел, удовлетворяют условию задачи, нет.
8 класс.
Учащиеся знакомятся с решением квадратных уравнений, поэтому задачу можно сформулировать и иначе:
Решить уравнение
х*(х+1)*(х+2)*(х+3)=5040
(x2+3x)*(x2+3x+2)=5040.
Пусть x2+3x=y, тогда y2+2y-5040=0
и y1= -72 и y2=70.
Отсюда x2+3x=-72 или x2+3x=70.
I уравнение не имеет корней,
II уравнение
| x1=-10, | x2=7, |
| -10; -9; -8; -7; | 7; 8; 9; 10; |
Следовательно, искомыми числами будут уже известные четверки чисел.
С учениками 8 класса я вспоминаю прежние решения этой задачи, но и показываем преимущество последнего: находим те же корни, что и в 5 классе, но дополнительно показали ещё и то, что других действительных чисел, удовлетворяющих условию задачи, нет.
2. Доказать, что m2+11m
6, где m
N.
Также делиться на 6. Отсюда следует, что m3+11m
делится на 6 при всех mN.
7 класс.
Преобразуем данный двучлен:
m3 +11m= m3 –m+12m=m*(m2-1)+12m=m*(m-1)*(m+1)+12m.
В этой сумме I-е слагаемое, т.е.
m*(m-1)*(m+1)-произведение трёх последовательных
натуральных чисел, из которых одно делится на 3, и
хотя бы одно делится на 2,
m*(m-1)*(m+1)
6.
Второе слагаемое, т.е. 12m, при всех m
N.
8 класс.
При делении числа m на 6 могут
получиться остатки 0; 1; 2; 3; 4; 5, поэтому оно может
быть представлено в виде 6а, 6а
1, 6а
2 или 6а+3. Проверим делимость на 6 данного
выражения, т.е. m3 +11m=m(m2+11), во всех
случаях. Если m=6a, то 6а*((6а)2+11)
6.
Если m=6а
1, то
(6а1)*((6а1)2+11)=( 6а1)*(36а2 
12а+1+11)=12(6а1)*(3а2
а+1) делится на 6.
Если m=6а
2, то (6а
2)*(( 6а2)2+11)=6*(3а1)*(12а2
8а+5)
6.
Если m=6а
3, то (6а
3)*((6а3)2+11)=12(2а1)*(9а29а+5))
6.
Итак, при натуральном m выражение (m2+11m)
6.
8 класс. (На факультативе, в теме “Делимость”).
Так как 6=2*3, где 2,3-взаимопростые числа, то
выражения m3+11m=m*(m2+11)
6 сводится к вопросу о делимости его
на 2 и на3.
Пусть m=3b
1,
тогда (3b
1)*((3b1)2+11)=(3b1)*(9b2
6b+12)=3*(3b
1)*(3b2
2b+4)
3.
Итак, выражение m3+11m при любом m
N делится и на 2, и на 3,
следовательно, оно делится и на 6. В 10-11 классах
доказательство проводится методом
математической индукции.
9 класс.
3. Доказать, что 
является целым числом при любом целом m.
Преобразуем выражение 
Числитель представляет произведением трёх последовательных чисел, из которых одно делится на 3, одно на 2. Таким образом, числитель делится на 6, а значит дробь эта сократима, после чего представляет собой целое число.
Если рассмотреть работу учеников над рефератами, то трудно переоценить этот труд, т.к. ребята учатся читать математическую литературу, отбирать наиболее существенный материал, самостоятельно восстанавливать пропущенные в текстах вкладки, находить свои пути доказательств математических фактов. Тем самым они приобретают навыки, необходимые для серьёзной творческой работы в будущем.
В нашей школе старшеклассники, например, помогают проводить занятия с учащимися 5-9 классов. Они привлекаются к проведению математических вечеров различных видов математических состязаний. Подготовка к з анятию кружка не только способствует развитию у учащегося познавательных интересов, стремления к чтению специальной учебной и научно-популярной литературы, умения читать её, что само по себе очень важно, но и активно вырабатывает у него умение и способность отбирать материал, нужный для занятия кружка с учащимися данного возраста, составлять конспект этого занятия т.е. развивает его конструктивные способности.
Математические способности проявляются в том, с какой скоростью, как глубоко и насколько прочно дети усваивают математический материал. Эти характеристики легче всего обнаруживаются в ходе решения задач.
О скорости можно судить по количеству заданий, решенных учеником за определённый отрезок времени; а также по времени, которые требуются разным учащимся для решения одной и той же задачи.
Прочность усвоения учащимися материала устанавливается по результатам так называемых отсроченных проверок, выявляющих ту часть из ранее разобранных задач, которую ученик может решить сегодня.
Глубина усвоения определяется тем, умеет ли ученик преобразовать для собственных нужд приём учебной работы, объяснённый ранее учителем. Я не считаю, что каждая из названных характеристик (скорость, глубина, прочность) является обязательным и единственным показателем развитых математических способностей. Речь идёт о том, что если хотя бы одна из них представлена, в достаточной мере, то можно утверждать существование у индивидуума математических способностей.
Методические принципы работы по развитию способностей учащихся.
- Принцип активной самостоятельной деятельности учащихся. Он требует от учителя чёткого выделения времени на объяснение нового материала. Предпочтительно вводить теоретический материал крупными порциями - тем самым быстро осознаётся достаточно полная система фактов, необходимых для решения задач по данной теме. Но после этого нужно отвести не часть урока, а одно или несколько занятий полностью на решение задач. Обычно ребятам сообщается номера сразу всех 5-6 задач, которые будут решены на уроке или кружке. Класс работает самостоятельно. Сильные учащиеся при этом загружены весь урок, хотя оформить решение до конца для них необязательно, достаточно сообщить учителю о том, что получены верные ответы. Основная часть класса справляется с меньшим числом заданий, но при этом тоже работает самостоятельно. Роль учителя сводится к выборочному контролю, к занятию с отстающими.
- Принцип учёта индивидуальных и возрастных особенностей учащихся предполагает у учителя чётких представлений о возможностях каждого ученика, о динамике роста его потенциала. С учётом этой динамики нужно предлагать индивидуальные задачи. Они должны быть доступны для учащихся средних возможностей. Тем самым ребята предохраняются от обескураживающего действия неудачи. В то же время более способные ребята требуют трудных задач, на которых они могут испытать свои умственные силы. Подготовка индивидуальных заданий требует от учителя широкой “Задачной эрудиции”. К методическим средствам реализации указанного и принципа относятся краткие содержательные обсуждения идей и методов решения. На определённом этапе - учащиеся начинают (8-9-е классы) понимать, что усвоение нового метода способствует успеху в большей мере, нежели доведённое до конца “кустарное” решение.
- Принцип постоянного внимания к развитию различных компонентов математические способностей заставляет отметить сложность проявления этих способностей. Учителя почти никогда не знают, какой подход обеспечивает данному ученику наибольший успех и продвижение вперёд. Кажется логичным заключить, что наибольшие достижения возможны при достаточном внимании ко всем компонентам математических способностей. Достигается это с помощью правильного подбора тематики задач, рассмотрения различных подходов к решению одной и той же задачи. Полезны приёмы, направленные на повышение удельного веса геометрических, наглядных соображений. Они экономят время урока, так как наглядность может заменить и словесную форму условия, и подробную запись решения.
- Принцип соревнования очень важен при разборе задач. Во внеурочных условиях хорошо зарекомендовали себя различные математические “бои”, олимпиады и т.д., но элементы состязания возможны и на уроке. К соревнованию побуждают следующие вопросы учителя: “Кто решит быстрее? У кого решение получилось самое короткое? Самое простое? Самое неожиданное?” и т.д.
- Рассматривая задачи, доступные учащимся, нельзя забывать и о принципе профессионализма. Он требует, чтобы школьники уверенно владели системой опорных задач. Для этого нужна ежедневная работа по закреплению навыков, повторению ключевых идей и методов.
- Кроме того необходимо следовать принципу яркости. Это означает, что занятия должны быть разнообразны по форме и интересны по содержанию. Свою подлинную увлечённость предметом учитель может продемонстрировать подбором красивых и разнообразных задач, рассказом из истории математики.
- На внеурочных занятиях есть возможность реализовать принцип полной нагрузки. Речь идёт о подержании достаточно высокого уровня задач, предлагаемых на кружке или факультативе. Кроме того, имеется в виду повышенная скорость обсуждения решений и большая нагрузка на домашнюю работу ученика. Дома школьник в состоянии подготовить доклад по какому-то теоретическому вопросу, придумать красивую задачу; написать сочинение на математическую тему и т.д.
Итог: Внеклассная работа- это “необязательная” часть работы учителя с учениками, но работа, без которой трудно себе представить преподавание математики. Её задача повысить интерес учащихся к предмету активизировать их деятельность поддержать и развить пусть пока небольшие творческие взлёты, расширить знания.