Исследовательская работа по теме "Планирование производства"

Исследование задачи на нахождение наибольшего значения линейной функции в области.

Многие практические задачи сводятся к системам неравенств относительно нескольких переменных. В качестве примера можно указать задачи, связанные с планированием производства. Обычно эти задачи формулируются так: найти наилучший план производства при заданных ресурсах, которые, как правило, задаются при помощи ряда неравенств. В итоге приходиться искать наибольшее или наименьшее значение некоторой функции в области, которая задаётся системой неравенств.

Вот одна из них:

Задача 1.

На птицефабрику привозят комбикорм автомашинами грузоподъёмностью по 10 и 20 тонн. За 1 день фабрика может принять не более 5 машин, при этом не более4 машин по 10 тонн и не более 2 машин по 20 тонн. Сколько машин по 10 и 20 тонн нужно отправлять на фабрику за 1 день, чтобы перевозить наибольшее количество комбикорма.

Исследование.

Пусть за 1 день на птицефабрику отправляется х машин по 10 тонн и у машин по 20 тонн.

По условию задачи получим систему неравенств.

Всего за 1 день перевозится 10х + 20у тонн комбикорма.

Задача сводится к нахождению наибольшего значения линейной функции

f(х) = 10х + 20у в области, заданной системой неравенств.

Множеством решений данной системы является многоугольник F , изображённый на рисунке

Числа 10 и 20 являются координатами вектора, перпендикулярного этой прямой, т.е. являются координатами нормального вектора n функции f(х). Вектор n направлен в сторону возрастания функции. Проводим прямую l перпендикулярно вектору n. Будем двигать прямую l вдоль вектора n параллельно самой себе по области. Точка, которую эта прямая встретит последней в области, и есть точка, доставляющая максимум функции.

Такой точкой является точка с координатами (3;2).

Также в этом можно убедиться подставляя координаты вершин многоугольника и координаты некоторых точек, лежащих внутри многоугольника.

f(0;2) = 40,

f(4;0) = 40,

f(4;1) = 60,

f(3;2) = 70,

f(2;1) = 40..

Вывод: Среди всех точек многоугольника F функция f(x;y) = 10х + 20у принимает наибольшее значение в вершине многоугольника (3;2). Это значение равно S(3;2) = 70

Ответ: 3 машины по 10 тонн и 2 машин по 20 тонн.

Задача на составление плана перевозок, при которых общий расход бензина будет наименьшим.

С птицефабрик “Чувашский бройлер” и “Чебоксарский бройлер” необходимо развести мясо птицы по магазинам городов Чебоксары, Новочебоксарск и Марпосад. На птицефабрике “Чебоксарский бройлер”, мясо можно нагрузить на 4 машины, а на птицефабрике “Чувашский бройлер” - на 5 машин. Магазины города Чебоксары должны принять 4 машины, Новочебоксарска – 3 машины, а Марпосада – 2 машины. Количество бензина (в литрах), которое расходует 1 машина на пробег от птицефабрики до городов, показано в таблице 1.

Требуется составить план перевозок, при которых общий расход бензина будет наименьшим.

Тогда план перевозок задается таблицей 2.

Из таблиц 1 и 2 находим общий расход бензина: f(х;у) = -5х – 5у + 117.

Задача свелась к нахождению наименьшего значения линейной функции

f(х;у) = -5х – 5у +117. в области, заданной системой неравенств.

Множеством решений данной системы является пятиугольник.

Проведем исследование.

Нормальный вектор n функции и f(х;у) = -5х – 5у +117

имеет координаты . Вектор n направлен в сторону возрастания функции, а нам надо в противоположную сторону. Тогда строим вектор -n =.

Проведем прямую l перпендикулярно вектору -n.

Как в той же задаче, будем двигать прямую l вдоль вектора -n параллельна самой себе по области. Точка, которую эта прямая встретит последней в области, и есть точка, доставляющая минимум функции. К нашему удивлению, прямая встретит не одну точку, а отрезок в области.

Наименьшее значение, равное 92, функция принимает в точках, лежащей на прямой ВС.

Можно в этом убедиться, подставив координаты точек, лежащих на отрезке ВС.

f(2;3) = 92,

f(0;3) = 102,

f(3;0) = 102,

f(4;0) = 97,

f(4;1) = 92,

f(2;2) = 97,

f(3;2) = 92.

Мы убедились, что значения функции f(х;у) = -5х – 5у +117 равно 92 в любой точке отрезка ВС.

При таких схемах перевозок будет наименьший расход бензина, равный 92 литрам.

Задача о нахождении наиболее выгодного варианта перевозок.

В три магазина М₁, М_2, М₃ нужно завезти мясные продукты, которые производятся на двух птицефабриках П₁ и П₂ в соответствии с данными, указанными в таблице

Требуется найти наиболее выгодный вариант перевозок, т.е. вариант, для которого общее количество тонно-километров будет наименьшим.

Расстояния между объектами:

Решение.

Обозначим через x и y количество мясных продуктов, которое нужно вывезти с птицефабрики П₁ соответственно в магазины М₁ и М₂. Тогда со второй птицефабрики нужно довезти в эти магазины 10-x и 15-y тонн продукции. Так как общее количество имеющейся на птицефабриках продукции совпадает с потребностью магазинов, т.е. вся продукция должна быть вывезена с птицефабрик в магазины, то после обеспечения магазинов М₁ и М_{2 ,} оставшаяся на птицефабриках продукция полностью будет вывезена в магазин М₃, т.е. с птицефабрики П₁ в магазин М₁ вывозится 20-x-y, а из птицефабрики П₂ тонн.

Учитывая расстояния, находим общее количество тонно-километров: f(x;y)= .

Заметим теперь, что все величины, выражающие количество перевозимого по разным дорогам сырья, неотрицательны:

Каждое из этих неравенств определяет в системе координат x;y полуплоскость, а система всех неравенств определяет пересечение этих полуплоскостей, т.е. выпуклый многоугольник Q.

Таким образом, задача о нахождении наиболее выгодного варианта перевозок сводится математически к нахождению точки M(x;y) многоугольника Q, в которой функция 290-2x-y достигает наименьшего значения.

Вместо этой функции можно рассмотреть функцию = - 2x-y

Вывод:

На рисунке показано, что наименьшее значение линейной функции f₁(x;y)=-2x-y, рассматриваемой на многоугольнике Q, достигает в вершине С(10;10).

Общее количество тонно-километров для этих значений x,y равно

Как видим, геометрическая модель позволила быстро решить поставленную задачу.

В этой задаче все объёмы перевозок удалось выразить через две переменные x,y. Это позволило дать геометрическую интерпретацию получившейся системы неравенств на координатной плоскости.

А если увеличить количество магазинов? Тогда как быть?

Составим следующую задачу.

В четыре магазина М₁, М_2, М_3, М₄ нужно завезти мясные продукты, которые хранятся на двух птицефабриках П₁ и П₂ в соответствии с данными, указанными в таблице

Расстояние между объектами:

Требуется найти наиболее выгодный вариант перевозок, т.е. вариант, для которого общее количество тонно-километров будет наименьшим.

Решение.

Тогда введём три переменные x; y; z, обозначающие количество сырья, вывозимого с птицефабрики П₁ в первые три магазина. Составим таблицу, выражающую количество мяса, вывозимого с птицефабрик в каждый из магазинов

Составим систему неравенств, выражающую неотрицательность количества сырья, вывозимого с птицефабрик в магазины:

Исследование.

Каждое из этих неравенств задает полупространство, а система всех неравенств определяет пересечение полупространств, т.е. выпуклый многогранник в трехмерном пространстве.

Вывод: Наиболее выгодный вариант перевозок соответствует точке с координатами (5;0;0). Общее количество тонно-километров для этих значений x, y, z, равно 176.

Заполним таблицу, выражающую количество мяса, вывозимого с птицефабрик в каждый из магазинов