Цели занятия:
- познакомить с историей теоремы Пифагора,
- расширить кругозор учащихся,
- научить применять теорему Пифагора на практике,
- научить исследовать и собирать материал по теме.
ХОД ЗАНЯТИЯ
I. Вступительное слово учителя
– Главная задача работы нашего клуба научиться разумно применять знания на практике, а значит научиться решать задачи, не просто решать, а решать рационально. Приведу слова известного математика Д. Пойа: «Если вы хотите научиться плавать, то смело идите в воду, а если вы хотите научиться решать задачи, то решайте их…».
II. Презентация «По следам Пифагора»
Показываем слайды презентации с комментированием.
Да, путь познания не гладок
Но знаем мы со школьных лет,
Загадок больше, чем разгадок,
И поискам предела нет.
На радужной узрел я оболочке
Бегущие квадратики, кружочки,
Вселенной опрокинутый узор,
И вспыхнуло в мелькании сквозь строчки
Пылающее имя – Пифагор!!!
1 слайд. Пифагор. Портрет Пифагора
2 слайд. По следам Пифагора
– Пифагор – один из самых известных учёных, но и самая загадочная личность, человек символ, философ и пророк. Он был властителем дум и проповедником созданной им религии. Его обожествляли и ненавидели. Так, кто же ты Пифагор?
3 слайд. Биография Пифагора.
– Пифагор родился в 570 г. до н. э. на острове
Самос.
Отец его Мнесарх – резчик по драгоценным камням.
Имя его матери неизвестно, по некоторым
источникам называют её Пифаидой, дочерью
основателя Самоса. По многим античным
свидетельствам, родившийся у них мальчик был
сказачно красив, а вскоре проявил свои
незаурядные способности. В 20 лет он по совету
учителя отправляется путешествовать в поисках
познаний. Попадает в Милет, общается со
знаменитым Фалесом, учится многому у него. Затем
по совету Фалеса отправляется в Египет,
путешествует по странам Востока, посещает Египет
и Вавилон, подробно изучает восточную
математику. После 20 лет странствий
возвращается на родину. Затем поселяется в
городе Кротоне и создаёт там знаменитую
Пифагорейскую школу.
4 слайд Пифагорейская школа
– Система знаний в школе состояла из 4 разделов:
- Арифметики – учения о числах.
- Геометрии – учения о фигурах.
- Астрономии – учения о строении мира.
- Музыки – учения о гармонии и теории музыки.
– Эта система, заложенная Пифагором
просуществовала тысячелетия.
В школе был особый распорядок дня. Вставали с
восходом солнца и шли на морской берег встречать
рассвет. Вместе строили планы на день
предстоящий.
Члены Союза с равным усердием заботились и о
духовном развитии и о физическом развитии. Среди
победителей олимпийских игр в те времена было
много пифагорейцев. Сам Пифагор 4 раза был
олимпийским чемпионом по кулачному бою.
В пифагорейской школе члены делились на
математиков и акусматиков. Те, которые активно
выступали были математиками, а те, которые больше
слушали были акусматиками. Если кто-то проявлял
активность его из акусматиков переводили в
математики.
Жили они по правилам поведения, объединённым в
моральный кодекс пифагорейцев, записанным в
книге «Золотые стихи».
5 слайд «Золотые стихи»
Пифагоровы нравоучения или Моральный кодекс пифагорейцев
1. Не делай никогда того, чего не знаешь, но
научись всему тому, что хочешь знать.
2. Либо молчи, либо говори то, что ценнее молчания.
3. Прежде, чем говорить, дай мысли созреть под
твоим языком.
4. Спеши делать добро лучше настоящим утром, чем
наступающим вечером.
5. Не делай ничего постыдного ни в присутствии
других, ни втайне. Первым твоим законом должно
быть уважение к самому себе.
6. Начало есть половина всего.
7. Будь с тем, кто ношу взваливает, но не с тем, кто
ношу сваливает.
8. Делай лишь то, что впоследствии не огорчит тебя
и не заставит раскаиваться.
– Пифагорейцы день начинали со стихов:
Прежде, чем отойти от снов,
навеянных ночью
нужно на вопрос себе ответить:
Какие дела тебе день приготовил.
– А спать, отправлялись со стихами:
Прежде, чем напустить сон
на свои усталые очи,
попробуй на 3 вопроса ответить:
Что я сделал?
Что не сделал?
И что мне ещё осталось сделать?..
6 слайд Пентаграмма
–
Пентаграмма – звёздчатый пятиугольник,
образованный диагоналями правильного
пятиугольника. Пятиконечная звезда считалась
в школе Пифагора символом дружбы, была чем-то
вроде талисмана, которым одаривали друзей;
тайным знаком, по которому пифагорейцы узнавали
друг друга.
Бытует легенда о том, что один из пифагорейцев
заболел и больным попал в дом к незнакомым людям.
Они старались его выходить, но болезнь не
отступала. Не имея средств заплатить им за
заботу, он перед смертью попросил их нарисовать
на воротах дома пентаграмму, объяснив, что по
этому знаку найдутся люди, которые отблагодарят
их. И на самом деле через некоторое время один
из пифагорейцев поинтересовался почему у них
этот знак и услышав рассказ, щедро отблагодарил
их.
7 слайд Пифагор и геометрия
– Именно Пифагор и его ученики придали геометрии характер настоящей науки. Пифагору приписывается много замечательных открытий, доказательств:
1) теорема о сумме углов треугольника;
2) геометрические способы решения квадратных
уравнений;
3) построение правильного пятиугольника циркулем
и линейкой
4) знаменитая теорема Пифагора и другие открытия.
8 слайд Знаменитая теорема Пифагора
– История показывает, что нет сомнения в том,
что эту теорему знали за много лет до Пифагора.
Так, за 1500 лет до Пифагора древние египтяне уже
знали о треугольнике со сторонами 3, 4. 5 и
пользовались этим треугольником. За 1200 лет до
Пифагора в Вавилоне и за 2000лет в Египте уже знали
это соотношение между сторонами прямоугольного
треугольника.
Исследование показывает, что скорее всего
Пифагор не открыл это свойство прямоугольного
треугольника, он, вероятно, первым сумел его
обобщить и доказать, перевести его тем самым
из области практики в область науки. Поэтому это
свойство и названо теоремой Пифагора.
9 слайд Пифагоровы тройки
– Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5
называется «египетским треугольником» Этот
треугольник потому и называется египетским, что
он был известен ещё египтянам и они его
использовали для построения прямого угла.
Такие тройки чисел, удовлетворяющие теореме
Пифагора, и назвали пифагоровыми числами или
пифагоровыми тройками. Таких троек существует
очень много.
Вот несколько пифагоровых троек:
32 + 42 = 52
72 + 242 = 252
112 + 602 = 612
632 + 162 = 652
332 + 562 = 652
– Пифагоровы числа обладают рядом интересных особенностей:
- Один из катетов должен быть кратным трём
- Один из катетов должен быть кратным четырём
- Одно из пифагоровых чисел должно быть кратным пяти.
III. Знакомство с историей теоремы Пифагора
10 слайд Теорема Пифагора в дружеских шаржах
– Теорема Пифагора известна, наверное, каждому человеку и на неё есть много дружеских шаржей.
11 слайд Тайна Пифагора
– Была у Пифагора и его учеников тайна, сохраняемая даже под угрозой жизни. Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1см. Проведём диагональ. Найдём её по теореме Пифагора. Имеем:
ВД2 = АВ2 + АД2, ВД2 = 2,
ВД = 
– Сейчас мы знаем, что – это иррациональное число.
Но во времена Пифагора таких чисел не знали. Это
противоречило утверждению Пифагора «Всё есть
число». Отрезок есть, а числа нет. Пифагор решил
сохранить это открытие в тайне. Существует
легенда, что один из Пифагорейцев разгласил эту
тайну. Боги разгневались и страшно его покарали.
Он погиб при кораблекрушении.
12 слайд Числовая мистика
– «Всё есть число», «Числа правят миром» – изречения Пифагора. Он считал, что через числа можно выразить все закономерности мира. Пифагорейцы обожествляли числа и геометрические фигуры.
Число 1 означало огонь,
2 – землю,
3 – воду,
4 – воздух,
Сумма этих чисел 10 – весь мир,
5 – любовь,
6 – холод,
7 – азум, свет, и.т. д.
– Чётные и нечётные числа ввёл именно Пифагор.
Чётные числа считались несчастливыми,
а нечётные счастливыми. Эта
традиция сохранилась до сих пор, поэтому на
праздник дарят нечётное число цветов, а на
похороны – чётное число.
13 слайд Крушение Союза
– Шло время, пифагорейский союз пришёл к власти
в Кротоне. Появились зависть, недовольство,
обман. К Пифагору пришёл некий человек Килон с
просьбой принять его в союз, он обладал
богатством и знатностью, но и тяжёлым характером.
Пифагор отказался его принять и тот, обидевшись,
отомстил Пифагору. Однажды во время собрания
он и его помощники подожгли дом, где шло собрание
пифагорейцев. Многие погибли в огне. Пифагорейцы
терпели одно поражение за другим. Сам Пифагор
бежал и погиб в одной из ночных схваток. А по
другим источникам он не выдержал без
продолжателей своего учения и лишил себя жизни.
Нсть и другие версии его смерти…
Попрощаемся и мы с этим замечательным человеком:
Тихо ночь легла ему на веки,
Сжалась жизнь у времени в горсти,
Но, чтобы уйти ему навеки,
Надо нам, ученикам, уйти…
14 слайд Новые доказательства теоремы Пифагора
 |
 |
Подумав, комментируем доказательство теоремы по этим чертежам. По первому рисунку доказательство проводится, с помощью вырезания четырёх одинаковых треугольников. Второе доказательство основано на разрезании квадратов, построенных на катетах и укладывании полученных частей на квадрате, построенном на гипотенузе.
 |
 |
По этим рисункам предлагается самостоятельно доказать теорему Пифагора.
IV. Решение практических задач с применением теоремы Пифагора
15 слайд
– Теорема Пифагора имела всегда самое широкое распространение и применение, говорят для того, чтобы получить звание магистра науки требовалось новое доказательство теоремы Пифагора. Ну и конечно же умение решать задачи на применение теоремы Пифагора. Этим мы сейчас и займёмся.
1. Задача индийского учёного Бхаскара Акария (1114 г.):
На берегу ручья, ширина которого 4 фута, рос
тополь. Порыв ветра сломил его на высоте в 3 фута
от земли так, что верхний конец его коснулся
другого берега ручья (ствол направлен
перпендикулярно течению). Определить высоту
тополя.
Задача сводится к нахождению длины отрезка СД по
теореме Пифагора. СД2 = СА2 + АД2,
СД = 5, тогда высота тополя равна: 3 + 5 = 8
футов.
2. Задача из старинного китайского трактата:
В середине квадратного озера со стороной 10 футов растёт тростник, выходящий из земли на 1 фут. Если нагнуть тростник, вершина его достигнет берега. Какова глубина озера?
Решение: Пусть глубина озера АВ равна х,
ВК = 1, по условию,
ВС = 5, как половина стороны квадрата, если нагнуть
тростник, то вершина его коснётся берега, то есть
точки С, значит АС = АК = х + 1. По теореме
Пифагора имеем:
АС2 = АВ2 + ВС2,
(х + 1 )2 = х2 + 52,
отсюда следует
х2 + 2х + 1 = х2 + 25, то есть х
+ 12.
Ответ: глубина озера 12 футов
3. Задача о птицах (Арабская задача):
На разных берегах реки растёт по пальме. Высота одной - 30 локтей, другой – 20 локтей, а расстояние между основаниями пальм – 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Обе птицы заметили рыбу, всплывшую на поверхность между пальмами. Птицы кинулись разом и достигли её одновременно. На каком расстоянии от более высокой пальмы всплыла рыба?
|
|
Решение: 202 + (50 – х )2 = х2 + 302,
Ответ: x = 20 локтей. (Локоть – старинная мера)
4. Задача о башнях:
Одна из башен в полтора раза выше другой. Расстояние между основаниями башен равно 120 метров, а между шпилями – 125 м. Чему равна высота каждой башни?
 |
 |
x2 : 4 = 1252 – 1202, x = 70
Ответ: 70 м, 105 м.
5. Задача. Чему равно расстояние от школы до дома?
Аня, Витя и Серёжа живут в домах А. В, С, расстояния между которыми равны соответственно 400 м, 680 м, 840 м. Дороги ВД и АС пересекаются под прямым углом, и на их пересечении находится школа, в которой учатся ребята. Чему равны расстояния от школы до каждого из домов?
6802 – x2 = 4002 – (840 – x)2
Ответ: 240 м, 320 м и 600м.
VI. Викторина по теме: «По следам Пифагора»
– Подведём итог сегодняшнего заседания клуба в форме викторины по теме занятия.
1) Где и когда родился Пифагор?
2) Назовите длины сторон египетского
треугольника
3) Какие треугольники называют пифагоровыми?
4) Как читается знаменитая теорема Пифагора?
5) Как называется книга, в которую пифагорейцы
объединили свои правила поведения?
6) Что являлось тайным знаком, по которому
пифагорейцы узнавали друг друга?
7) Какая тайна была у пифагорейцев, которую нельзя
было разглашать даже под знаком смерти?
8) Что связывает Пифагора и олимпийские игры?
9) Какие числа называл Пифагор счастливыми, а
какие несчастливыми? Какая традиция сохранилась
с этим и сегодня?
10) Кто такие математики и кто такие акусматики в
пифагорейской школе?
11) Какие вопросы задавали пифагорейцы себе в
начале дня, и какие перед сном?
VII. Заключение
– Как мы уже здесь говорили, пифагорейцы дарили
на счастье пентаграммы всем тем, кому желали
добра, вот и мы хотим подарить пентаграммы с
некоторыми пифагоровыми нравоучениями нашим
гостям и членам клуба. Хотелось бы, чтобы все
выполняли напутствия Пифагора.
В заключение хочу ещё раз процитировать Пифагора
с его напутствием:
Делай лишь то, что впоследствии не огорчит
тебя и не заставит раскаиваться.
Будь с тем, кто ношу взваливает, а не с тем, кто
ношу сваливает.
– Всем спасибо и всего доброго…