Элективные курсы как одна из форм реализации инновационных технологий в системе математического образования

Слышу - и забываю,
вижу - и запоминаю,
делаю - и понимаю.

(Восточная мудрость)

Презентация

Многие говорят, что математика скучна. Так думают люди, далеко стоящие от математики. Творчество математика в такой же степени есть создание прекрасного, как творчество живописца или поэта, - совокупность идей, подобно совокупности красок или слов, должна обладать внутренней гармонией. Холодные числа, внешне сухие формулы математики полны внутренней красоты. Научить ребят видеть красоту математики, развить, сформировать интерес к ней – одна из важнейших задач обучения математике. Ведь устойчивый познавательный интерес – один из инструментов, побуждающий учащихся к более глубокому познанию предмета, развивающий их способности.

Считаю, что в обучении гораздо важнее научить ребёнка мыслить, чем сообщить ему те или иные знания. Открыть ребёнку всю радость, привлекательность, роскошь мысли – ещё одна из важных задач, стоящих перед учителем: не мыслям нужно учить, а мыслить. И если глаза учеников блестят от радости открытий, и если кто-то скажет: “Как я люблю эти функции и их графики!”, то, наверно, мой труд не напрасен.

Главное богатство математики – это созданный ею мир идей. Наиболее значительные из них должны войти в сознание каждого конкретного человека независимо от выбираемого им профессионального пути. Ведь математика формирует качества личности, необходимые человеку для полноценной жизни в современном обществе: ясность и точность мысли, сообразительность, интуиция, способность к преодолению трудностей, творческая активность и самостоятельность, способность воспринимать красоту и гармонию мира.

Именно этим целям служат мои элективные курсы: основная идея которых показать, как можно применять хорошо известные свойства функций в тех ситуациях, где ученики не привыкли ими пользоваться, как с помощью геометрических преобразований быстро, легко и красиво построить график уравнения, содержащего один, два, три и большее число модулей, как построить график сложной функции, применяя разные способы и приёмы. Замечу, что, говоря о построении графика функции, имеется в виду лишь его эскизное изображение, отражающее характерные особенности функции, передающие ее ход на всей области определения. Это требует умения математически грамотно размышлять, продумывать, на что следует обратить внимание и как передать те или иные черты поведения функции на рисунке.

Элективный курс “Построение графиков функций, уравнений и соответствий” по предпрофильной подготовке учащихся 9 классов посвящен одному из основных понятий современной математики – функциональной зависимости. Понятие функциональной зависимости, являясь одним из центральных в математике, пронизывает все ее приложения, оно, как ни одно другое, приучает воспринимать величины в их живой изменчивости, во взаимной связи и обусловленности. Изучение поведения функций и построение их графиков являются важным разделом школьного курса. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать сложные задачи, а порой является единственным средством их решения. Кроме того, умение строить графики функций представляет большой интерес для самих учащихся. Однако на базе основной школы материал, связанный с этим вопросом, представлен несколько хаотично, изучается недостаточно полно, многие важные моменты не входят в программу. Цель элективного курса – прояснить и дополнить школьный материал, связанный с функциями и построение их графиков.

На изучение всего курса отводится 14 ч, по окончании предусмотрено зачетное мероприятие на 2 ч в виде контрольной или тестовой работы, возможны также другие, комбинированные формы диагностики (защита проектов и презентаций творческих и исследовательских работ учащихся). Реферативная и исследовательская деятельность учащихся позволяет удовлетворять их индивидуальные потребности и интересы, выявлять их индивидуальные возможности, т.е. максимально индивидуализировать обучение.

Программа курса по выбору “Построение графиков функций, уравнений, соответствий” для средней общеобразовательной школы, получила высший балл на республиканском конкурсе профессионального мастерства “Новое в образовании – 2007”.

Логическим продолжением выше названного курса по выбору является профильный элективный курс “Функционально-графический подход к решению задач с параметром и модулем” для учащихся старших классов. Курс рассчитан на 34 часа.

Целью профильного обучения, как одного из направлений модернизации математического образования является обеспечение углубленного изучения предмета и подготовка учащихся к продолжению образования. Основным направлением модернизации математического школьного образования является отработка механизмов итоговой аттестации через введение единого государственного экзамена. В заданиях ЕГЭ по математике с развернутым ответом (часть С), а также с кратким ответом (часть В), встречаются задачи с параметрами. Появление таких заданий на экзаменах далеко не случайно, т.к. с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики и методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений и математическая культура учащихся. В то же время, решению задач с параметрами в школьной программе уделяется мало внимания. Большинство учащихся либо вовсе не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкие выкладки. Причиной этого является отсутствие системы заданий по данной теме в школьных учебниках. В связи с этим возникла необходимость в разработке и проведении данного профильного элективного курса.

Элективный курс знакомит учащихся с функционально-графическими методами решения алгебраических задач, успешно развивает логическое мышление, умение найти среди множества способов решения тот, который комфортен для ученика и рационален. Решение уравнений, неравенств и систем с параметрами и модулем открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале.

Преподавание элективного курса строится как углубленное изучение вопросов, предусмотренных программой основного курса. Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление.

Результативность: элективный курс проходил апробацию в течение трех лет на базе профильных математических классов ИСШ №1. Учащиеся, посещавшие занятия, специально не отбирались, приходили на уроки по желанию. В процессе работы часть учеников естественно отсеялась, не выдержав дополнительной нагрузки и уровня сложности рассматриваемых задач. Остались учащиеся, выбравшие, как правило, математику основой своей будущей профессии. В дальнейшем эти ребята весьма успешно сдали ЕГЭ, получили оценку отлично, набрав при этом от 76 и более баллов. Многие ребята входили в состав Научного Общества Учащихся ИСШ №1, писали и защищали исследовательские работы по математике на районном уровне, лучшие из них были отправлены на республиканский конкурс “Интеллектуальное будущее Мордовии” и заняли там призовые места.

Программа профильного курса “Функционально-графический подход к решению задач с параметром и модулем” для средней общеобразовательной школы, получила высший балл на республиканском конкурсе профессионального мастерства “Новое в образовании – 2006”.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1.

Краткая программа элективного курса по математике:

Тема 1. Понятия функции и графика.

На первых двух занятиях учащимся сообщается цель и значение данного элективного курса. Выявляются и систематизируются их знания о функциональной зависимости. Определяется понятийный аппарат, круг доступных задач, предоставляется дополнительная информация для расширения возможностей учащихся. При этом целесообразно использование разнообразного наглядного материала.

Тема 2. Преобразование графиков.

При построении графиков многих функций можно избежать проведения подробного исследования. Изложению методов, упрощающих аналитическое выражение функции и облегчающих построение графиков, посвящены следующие четыре урока. В результате учащиеся получают практическое руководство для построения эскизов графиков многих функций.

Тема 3. Действия над функциями.

Графики суммы (разности) произведения и частного двух функций также можно построить без применения методов математического анализа, используя определенные правила. Особенно эффективен этот метод в случае, когда исходные функции являются элементарными. В этой же теме рассматривается построение графиков функций, содержащих знак модуля.

Тема 4. Дополнительный материал.

В качестве дополнительного материала рассматривается функционально-графический подход к решению задач.

ПРИМЕРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

Литература

1. Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике. М., 1978.
2. Вирченко Н.А., Ляшко И.И., Швецов К.И. Графики функций: Справочник. Киев, 1981.
3. Ершов Л.В., Райхмист Р.Б. Построение графиков функций: Книга для учителя. М., 1994.
4. Егерев В.К., Радунский Б.А., Тальский Д.А. Методика построения графиков функций. М., 1967.
5. Крейнин Я.Л. Функции, пределы, уравнения и неравенства с параметрами. М., 1995.
6. Сивашинский И.Х. Элементарные функции и графики. М., 1965.
7. Шилов Г.Е. Как строить графики? М., 1982.
8. Лялькина А.Т., Чудаева Е.В., Портной А.Н., Чудаев А.Э. Внеурочная работа по математике в контексте реализации инновационных технологий. Дидактические материалы для организации деятельности обучаемых. – Саранск 2007. – 207 с.

Приложение 2.

Краткая программа элективного курса по математике:

1. Понятие модуля. Решение уравнений по определению модуля (2 часа). Что такое модуль числа? Модули и расстояния. Освобождение от модулей в уравнениях. Методы решения уравнений содержащих несколько модулей. Параллельное раскрытие модулей. Метод интервалов в задачах с модулями. Модули и квадраты.

2. Построение графиков, содержащих знак модуля (2 часа). Графики элементарных функций, содержащие знак модуля, как у аргумента, так и у функции; двойные модули; графики уравнений и соответствий, содержащие знак модуля. Знакомство и работа с компьютерными программами для построения графиков.

3. Решение уравнений с переходом к системе или совокупности уравнений (3 часа). Рациональные уравнения, однородные уравнения, симметрические уравнения, возвратные уравнения. Иррациональные уравнения: простейшие, уравнения с несколькими радикалами, полные квадраты под знаком радикала, домножение на сопряженное, замена переменной, посторонние корни, применение свойств функций. Показательные и логарифмические уравнения, тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным.

4. Рациональные неравенства с модулем. Обобщенный метод интервалов (2 часа). Решение неравенств методом интервалов. Неравенства с одним модулем. Освобождение от модуля в неравенствах. Способы решения рациональных неравенств: разложение на множители, выделение полного квадрата, приведение к общему знаменателю и алгебраическое сложение дробей и т.д.

5. Простейшие задачи с параметрами (1 час). Понятие параметра. Две основных формы постановки задачи с параметром. Графическая интерпретация задачи с параметром. Методы решения простейших задач с параметрами.

6. Задачи с параметром, сводящиеся к использованию квадратного трехчлена (2 часа). Условия существования корней квадратного трехчлена. Знаки корней. Расположение корней квадратного трехчлена относительно точки, отрезка. Графическая интерпретация.

7. Использование графических иллюстраций в задачах с параметрами (2 часа). Решение задач с помощью построения графиков левой и правой части уравнения или неравенства и “считывания” нужной информации с рисунка. Область определения. Множество значений. Четность. Монотонность. Периодичность. Симметрия графика относительно начала координат или оси ординат в зависимости от четности функции.

8. Приемы составления задач с параметрами, используя графики различных соответствий и уравнений. (1 час). Демонстрация приёма составления задач с параметром методом “от картинки к задаче”.

9. Использование ограниченности функций, входящих в левую и правую части уравнений и неравенств (2 часа). Применение метода оценки левой и правой частей, входящих в уравнение или неравенство. “Полезные неравенства”: сумма двух взаимно обратных чисел, неравенство для суммы синуса и косинуса одного аргумента, неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел.

10. Метод приведения к уравнению относительно неизвестной х с параметром у (2 часа). Основные приемы решения уравнений: тождественные преобразования, замена переменной. Равносильность уравнений. Исключение “посторонних” корней. Приемы решения рациональных, иррациональных, показательных и логарифмических уравнений.

11. Графический способ решения уравнений и неравенств (2 часа). Работа по построению графиков с помощью компьютерных программ Advanced Grapher, школьный графопостроитель – 1С, Математика + от AV.

12. Сочетание графического и алгебраического методов решения уравнений (2 часа). Основные приемы решения систем уравнений и неравенств: подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных. Системы неравенств с одной и двумя переменными. Сравнение графического и алгебраического способов решения уравнений и неравенств. Уравнения, неравенства и системы с параметрами, их решение и исследование.

13. Использование производной при решении задач с параметрами. Задачи на максимум и минимум (2 часа). Производная сложной функции. Производная и касательная. Вторая производная. Исследование функций с помощью производной. Применение производной при решении задач с параметрами. Задачи на максимум и минимум.

14. Комбинированные задачи с модулем и параметрами. Обобщенный метод областей (4 часа). Перенос метода интервалов с прямой на плоскость. Обобщенный метод областей. Нахождение площади фигур, ограниченных неравенством. Применение метода областей к решению уравнений и неравенств с параметрами и модулем, и их комбинации.

15. Нетрадиционные задачи. Задачи группы "С" из ЕГЭ (5 часов). Использование экстремальных свойств рассматриваемых функций. Нестандартные по формулировке задачи, связанные с уравнениями или неравенствами. Задачи с параметром. От общего к частному и обратно. Задачи с: логическим содержанием. Практикум по решению задач, относящихся к группе “С”, входящих в контрольно измерительные материалы ЕГЭ прошлых лет. Разбор методов и способов решения заданий.

ПРИМЕРНОЕ Планирование 1 час в неделю

ЛИТЕРАТУРА:

1. Горнштейн П.И., Полонский В. Б., Якир М.С. Задачи с параметрами.
2. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике "Решение задач" (10 класс).
3. Шарыгин И.Ф., Голубев. В. И. Факультативный курс по математике "Решение задач" (11 класс).
4. Кухарчик П.Д., Федосенко B.C., Сборник конкурсных задач по математике. М., Наука, 1986.
5. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Справочное пособие./ Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. –М.: Наука; 1987.
6. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. “Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену”. – 6-е изд., испр. и доп. – М.: Рольф, 2002. – (Домашний репетитор)
7. Балаян Э.Н. Математика. Сам себе репетитор. Задачи повышенной сложности. Серия “Абитуриент”, Ростов-на-Дону: Изд-во “Феникс”, 2004.
8. Лялькина А.Т., Чудаева Е.В., Портной А.Н., Чудаев А.Э. Внеурочная работа по математике в контексте реализации инновационных технологий. Дидактические материалы для организации деятельности обучаемых. – Саранск 2007. – 207 с.