Обобщение материала по теме: "Целое уравнение и его корни"

Разделы: Математика

Тип урока: Урок применения знаний и умений.

Цели и задачи урока:

  • Образовательные: формировать у учащихся на материале учебного предмета способы учебно-познавательной деятельности;
  • Развивающие: развитие интуиции, умения сравнивать, выявлять закономерности и обобщать свойства изучаемых объектов и отношений;
  • Воспитательные: воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов.

Оборудование урока: карточки с заданиями, схемы решения линейных и квадратных уравнений, сборники заданий по теме.

Структура урока:

  1. Организационный этап. - 3 мин.
  2. Этап проверки домашнего задания. - 10 мин.
  3. Этап подготовки учащихся к активному и осознанному усвоению нового материала. - 5 мин.
  4. Самостоятельное выполнение учащимися заданий под контролем учителя. - 10 мин.
  5. Обобщение и систематизация результатов выполненных заданий. - 5 мин.
  6. Этап информирования учащихся о домашнем задании. - 5 мин.
  7. Этап подведения итогов урока. - 7 мин.

На рабочем стенде или доске:

  • Николо Тарталья (1500-1557)
  • Джероламо Кардано (1501-1576)
  • Карл Фридрих Гаусс (1777-1855)
  • Нильс Генрих Абель (1802-1832)
  • Эвараст Галуа (1811-1832)

Содержание урока

I. Организационный этап.

Задача: подготовить учащихся к работе на уроке.

Деятельность учителя: Приветствие, проверка подготовленности к уроку (рабочее место, доска), организация внимания. Предлагает учащихся до урока записать на доске решение индивидуальных домашних заданий.

Деятельность учащихся: На доске, на перемене воспроизводят решения обычного и продвинутого домашнего задания.

у4 – 5у2 – 36 = 0, пусть у2 = t, t 0, тогда у4 = t2. Имеем:

t2 – 5t – 36 = 0, по теореме обратной теореме Виета t1 = 9, 9 > 0, t2 = - 4, - 4 < 0, не соответствует условию t 0.

Тогда: у2 = 9, у1 = -9, у2 = 9, у1 = -3, у2 = 3.

Ответ: - 3; 3 корни уравнения.

(х + 1)(х + 2)(х + 4)(х + 5) = 40

Пусть х + 3 = у, тогда х + 1 = у – 2, х + 2 = у – 1, х + 4 = у + 1, х + 5 = у + 2,

(у – 2)(у – 1)(у + 1) (у + 2) = 40,

(у2 – 4)(у2 – 1) = 40,

у4 – 4у2 – 1у2 + 4 = 40,

у4 – 5у2 – 36 = 0, пусть у2 = t, имеем:

t2 – 5t – 36 = 0, по теореме обратной теореме Виета t1 = 9, t2 = - 4,

Тогда:

у2 = 9
у1 = -9, у2 = 9,
у1 = -3, у2 = 3.		 или у2 = - 4,
у3 = --4, у4 = -4,
у3 = -4•(-1), у4 = 4•(-1),
у3 = -2i, у4 = 2i.

Ответ: ±3, ±2i - корни уравнения.

Учащиеся отмечают, что в уравнении другая переменная:

х + 3 = 3
х = 0
х + 3 = 2i
х = -3 + 2i		 или
или
или
или		 х + 3 = - 3
х = - 6
х + 3 = - 2i
х = - 3 - 2i

Ответ: 0, -6, -3 ± 2i.

Индивидуальное домашнее задание.

Решение кубического уравнения вида х3 + рх + q = 0

  • разложением на множители:

х3 – 2х – 1 = 0.

х3 – 1х – 1х – 1 = х(х2 – 1) – 1(х + 1) = х(х – 1)(х + 1) – 1(х + 1) = (х + 1)( х(х – 1) – 1) = (х + 1) (х2– 1х – 1).

(х + 1) (х2– 1х – 1) = 0

х + 1 = 0 или х2– 1х – 1 = 0

х1 = - 1 D = (-1)2 - 4•1•(-1) = 1 + 4 = 5, D>0, 2 различных действительных корня.

х2,3=(1±5)/2.

Ответ: -1, (1±5)/2.

  • делением на двучлен:

х3 – 2х – 1 = 0.

х1 = - 1 корень уравнения (-1)3 – 2•(-1) – 1 = 0.

Делим на (х + 1)

(х3 – 2х – 1) : (х + 1)= х2 – 1х – 1

х2 – 1х – 1 = 0,

D = 5, D>0, 2 различных действительных корня.

х2,3=(1±5)/2.

Ответ: -1, (1±5)/2.

  • по формулам Кардано:

U =

V =

x = 3U - 3V

не получаем решение.

Предполагаемые результаты: Быстрая готовность к уроку и включение в работу.

Проверка и обсуждение учащимися домашней работы.

Учащиеся по желанию записывают понравившееся решение уравнения х3 – 2х – 1 = 0.

II. Этап проверки домашнего задания.

Задача: установить правильность и осознанность выполнения домашнего задания всеми учащимися; установить пробелы в знаниях; совершенствовать знания и умения учащихся в области решения целых уравнений.

Деятельность учителя: Выясняет у консультантов, кто не справился с заданиями. Консультанты имеют карточку учета выполнения домашнего задания, у учителя сводная ведомость по теме.

После проверки домашнего задания просит предложить другой способ решения уравнения (х + 1)(х + 2)(х + 4)(х + 5) = 40.

Добивается ответа:

(х + 1)(х + 2)(х + 4)(х + 5) = 40

(х2 + 6х + 5) (х2 + 6х + 8) = 40,

х2 + 6х + 5 = у, тогда х2 + 6х + 8 = у + 3, имеем:

у(у + 3) = 40, и т.д.

Обсуждает с учащимися результаты индивидуального задания, просит выбрать понравившийся способ.

Учитель обращает внимание учащихся на то, что не все кубические уравнения могут решаться с помощью формул Кардано и предлагает рассмотреть решение уравнения х3 + 15х + 124 = 0, которое также было индивидуальным домашним заданием.

Выясняется, какие корни у этого уравнения.

Учитель записывает на доске

  • Какие выводы можно сделать?
  • Что еще следует проверить?
  • Какой случай рассмотреть?
  • Какое значение ?

Рассмотрим решение уравнения х3 - 3х + 2 = 0.

Обсуждает с классом существование формул для решения уравнений степени выше второй.

Отмечает, что формул для общего решения уравнений степени п 5 не существует. Доказал это Абель Н.Х.

Деятельность учащихся: Исправляют и дополняют решения в тетрадях. Учащиеся, выполнявшие домашнее задания на доске, защищают свои решения:

1 ученик кратко напоминает классу о множестве комплексных чисел;

2 ученик перечисляет способы разложения на множители, которые он использовал;

3 ученик напоминает о делении многочлена на многочлен;

4 ученик говорит о формулах Кордано для решения уравнений третьей степени.

Двое учащихся в это же время записывают на доске еще решения двух кубических уравнений.

х3 + 15х + 124 = 0

х1=+=+=
=+=+ = += 1 – 5 = - 4.

(х + 4)(х2 – 4х + 31) = 0

D = - 108

1 действительный корень и 2 мнимых.

х3 – 3х + 2 = 0

х1=+=+ =+= –1 –1=  - 2.

(х + 2)(х2 – 2х + 1) = 0

D = 0

3 действительных корня, два из которых совпали.

Учащиеся сравнивают значения для кубических уравнений и предполагают, что:

>0 : 1 действительный корень, 2 мнимых корня.

<0 : все 3 корня различные действительные, но получается неприводимая форма.

= 0: все корни действительные, но два из них совпали.

Говорят об известных им способах решения, но не знают таких формул.

Предполагаемые результаты: Осознанная проверка своих решений и рассуждений в процессе решения.

Учащиеся обобщают знания и делают выводы.

III. Этап подготовки учащихся к активному и осознанному усвоению нового материала.

Задача: с помощью создания проблемной ситуации подвести учащихся к решению уравнений с параметрами (исследованию решения целых уравнений и приводимых к ним).

Деятельность учителя: Предлагает классу обсудить число решений целых уравнений, используя результаты, полученные на практической работе по ИВТ и с использованием следствий теоремы Безу и основной теоремы алгебры.

Задает вопрос: от чего зависит число корней уравнения?

Если учащиеся не смогли сформулировать зависимость числа решений уравнений от значений коэффициентов, то учитель их подводит к этому.

Деятельность учащихся: Говорят о графическом способе определения числа корней уравнения и их приближенном вычислении с заданной точностью. На доске делается запись:

  • 2х3 – 1х2 + 1х + 1 = 0 – 1 действительный корень,
  • х4 + х3 + х2 – х – 2 = 0 – 2 действительных корня,
  • х4 – 5х3 + 10х2 – 10х + 4 = 0 – 4 действительных корня,
  • х8 – 17х4 + 16 = 0 – 4 действительных корня,
  • х4 – 5х3 + 10х2 – 10х + 4 = 0 – 4 действительных корня,
  • х4 + х3 – 13х2 + х + 12 = 0 – 4 действительных корня,

Двое учащихся составили уравнения, имеющие 8 действительных корней:

х8 – 38х6 + 433х4 – 2772х2 – 5184 = 0.

Также предлагаются уравнения х4 +16 = 9, х8 + 1 = 0, не имеющие действительных коней.

Учащиеся, возможно, догадываются, что это зависит от коэффициентов.

Предполагаемые результаты: Учащиеся должны сделать вывод, что максимально уравнение может иметь столько действительных корней, какова его степень, а может и вовсе не иметь действительных корней.

Если говорить обо всех корнях целого уравнения (включая комплексные), то их булет ровно столько, какова степень многочлена.

IV. Этап самостоятельного выполнения учащимися заданий под контролем учителя.

Задача: Вместе с учащимися составить общую схему решения уравнений с параметрами.

Деятельность учителя: Говорит, что как всегда, рассмотрение целых уравнений мы начнем с линейных и квадратных уравнений. Записывает на доске уравнения с неопределенными коэффициентами и предлагает учащимся их решить.

После самостоятельного решения вызывает к доске учеников, которые неверно выполнили решения выбранных уравнений.

Задает вопросы классу, предлагает дополнить решение, объяснить свои дополнения к решению.

Деятельность учащихся: Выбирают и самостоятельно решают одно из уравнений:

ах + а + 3 = 2а – 5,

(а – 2)•х = 10 – а,

3 – ах = а + х.

Отдельные учащиеся могут взяться решать более сложные уравнения:

ах2 – 1 = 0,

ах2 – (2а + 3)х = 0,

х2 – 2(b – 12)x + 2 + b2 = 0.

Ученики записывают на доске решения.

ах + а + 3 = 2а – 5,

ах = 2а – 5 – а – 3,

ах = а – 8,

х = (а – 8): а,

Класс дополняет решение:

1) если а = 0, 0•х = 0 – 8, 0•х = – 8, нет решения;

2) если а 0, то х = (а – 8): а,

ах2 – 1 = 0, ах2 = 1, х2 = 1/а, х1 = –1/а, х2 = 1/а.

Класс дополняет решение: 1) если а = 0, 0•х2 = 1, нет решения;

2) если а 0, х2 = 1/а,

если а > 0, х1 = –1/а, х2 = 1/а,

если а < 0, нет действительных корней.

Учащиеся анализируют решения. Те кто решал более сложные уравнения, показывает их решения учителю, а затем, если останется время на уроке, выполняют их на доске.

Предполагаемые результаты: Учащиеся выполняют решение по схеме выбранного уравнения, выясняют ограничения и учитывают из.

Учащиеся усваивают схему и план решения линейного уравнения с параметрами.

V. Этап обобщения и систематизации результатов выполненных заданий.

Задача: Проговорить и постараться запомнить план решения уравнений с параметрами.

Деятельность учителя: Предлагает учащимся перечислить пункты плана решения линейного уравнения с параметром.

Деятельность учащихся: Учащиеся с места предлагаю свои варианты действий и отбирают верные. Если останется время, то учащиеся решившие квадратное уравнение предлагают план решения квадратных уравнений с параметром.

Предполагаемые результаты: Создается атмосфера творческого поиска, которая перейдет на домашнюю работу учащихся.

VI. Этап информирования учащихся о домашнем задании.

Задача: Сообщить учащимся домашнее задание, дать краткий инструктаж по его выполнению.

Деятельность учителя: Записывает на доске задания по уровням:

37) (2х – а) + (4х + 6а) = а,

38) 2ах = 4 – b,

39) .

Индивидуальные задания № 56, 57, 58. Из сборника заданий по теме (см. Приложение 1).

Деятельность учащихся: Выбирают задания для себя в соответствии с желанием и подготовкой.

Предполагаемые результаты: Каждый получает задание из зоны ближайшего развития.

VII. Этап подведения итогов.

Задача: Обобщить полученные на уроке результаты. Сформулировать перспективное задание на последующие уроки. Отметить активно работающих учащихся.

Деятельность учителя: Задает вопросы:

  1. Что нового узнали на уроке?
  2. Какие уравнения вы хотели бы еще решить?
  3. Кто-то решит их дома?
  4. Кто хорошо работал на уроке?
  5. Какую оценку заслужил?

Благодарить учащихся за работу на уроке.

Деятельность учащихся: Перечисляют: комплексные корни уравнений, формулы Кардано, число решений целого уравнения, схема исследования решения уравнения.

Указывают номера из сборника, которые их заинтересовали. Кто-то предлагает их решить дома.

Получают отметки.

Предполагаемые результаты: Учащиеся еще раз вспоминают все этапы урока, что способствует лучшему запоминанию изученного материала.

Список литературы.

  1. Занков Л.В. Избранные педагогические труды. – М.: Педагогика, 1990.
  2. Эрдниев П.М. Сравнение и обобщение при обучении математике. – М.: Просвещение, 1960.
  3. Эрдниев П.М. Методика упражнений по математике. – М.: Просвещение, 1970.
  4. Груднев Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики. – М.: Просвещение, 1990.
  5. Глейзер Г.И. История математики в школе. – М.: Просвещение, 1981.
  6. Вавилов В.В. и др. Задачи по математике. Начала анализа: Справочник. – м.: Наука, 1990.
  7. Газета “Математика”.