Задачи на отыскание наибольших и наименьших величин. Урок алгебры и начала анализа

Разделы: Математика

Вся глубина мысли, которая заложена в формулировку математических понятий, впоследствии раскрывается тем умением, с которым эти понятия используются.

Е. Вагнер

Цели урока:

  1. Применение математического моделирования как способа активизации аналитического мышления.
  2. Формирование у учащихся навыков использования схемы для решения задач оптимизации.
  3. Развитие навыков самостоятельной работы.
  4. Развитие логического мышления, монологической речи.
  5. Воспитание ответственного отношения к учебному труду.
  6. Воспитание внимания, аккуратности.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Оборудование: учебник “Алгебра и начала анализа 10-11” (автор: Мордкович А. Г.), задачник “Алгебра и начала анализа 10-11” (авторы: Мордкович А. Г., Денищева Л. О. и др.), “Алгебра и начала анализа 10. Самостоятельные работы” (автор: Александрова Л. А.), памятки с методическими рекомендациями по решению задач, компьютер, мультимедийный проектор, экран, магниты.

Данный урок является первым из трех предусмотренных программой уроков по данной теме. Учащиеся к этому времени уже знакомы с математическим моделированием решения известных им типов задач. Прежде чем приступить к изучению данной темы, учитель должен быть уверен, что учащиеся владеют знаниями и навыками применения алгоритма на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на заданном отрезке или интервале. Поэтому на уроке основной упор делается на составление модели задачи и не столь подробно рассматривается вспомогательный материал. В ходе урока предполагается, что каждый учащийся достигнет определенного уровня понимания материала, поэтому этап усвоения знаний разработан дифференцированно. Ожидаемый результат по окончании изучения материала:

1-й уровень: каждый ученик должен знать схему математического моделирования и уметь применять ее для решения типовых задач;

2-й уровень: каждый ученик должен знать схему математического моделирования и уметь применять ее для решения типовых задач в нестандартной ситуации;

3-й уровень: каждый ученик должен знать схему математического моделирования и уметь применять ее для решения нестандартных задач.

На первом уроке в основном рассматриваются более привычные для учащихся задачи с математическим содержанием. В дальнейшем предполагается решение задач с практическим содержанием (одна из них разбирается уже на первом уроке). Для этого могут использоваться как задачи из пособия (в УМК содержится достаточное количество разноуровневых задач), так и дополнительные источники. Для организации проверочной работы используются дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса автора Александровой Л.А.

Ход урока

I этап. Организационный момент (1 мин.).

II этап. Актуализация опорных знаний и умений (4 мин.).

Учитель: Для того, чтобы успешно перейти к усвоению нового материала, нам необходимо повторить пройденное. На протяжении изучения темы “Производная” вы постепенно готовили разделы электронного справочника “Производная и ее применение”. (Класс разбит на группы и каждая по мере изучения готовит свой раздел справочника). Сегодня мы увидим следующую страницу, в которой рассказывается о классификации критических и экстремальных точек и алгоритме нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке и интервале.

Далее следует выступление учащихся, сопровождающееся показом презентации. Показ презентации можно заменить демонстрацией плакатов.

III этап. Объяснение нового материала (10 мин).

Учитель: Изучение нового материала мы начнем сегодня с рассказа Л.Н. Толстого “Много ли человеку земли надо”. В нем говорится о крестьянине Пахоме, мечтавшем о собственной земле. Когда он, наконец, собрал желаемую сумму и предстал перед барином, тот ответил ему: “Сколько за день земли обойдешь, вся твоя будет за тысячу рублей. Но если к заходу солнца не вернешься на место, с которого вышел, пропали твои деньги. Выбежал утром Пахом, прибежал на место и упал без чувств, обежав четырехугольник”.

< Рисунок 1>

Давайте попытаемся выяснить, сумел ли достичь Пахом желаемого результата. Для этого нам придется узнать, какое расстояние пробежал крестьянин и какую площадь имеет полученный участок.

Учащиеся объясняют, что фигура, которую они видят на рисунке, является прямоугольной трапецией. Дают геометрическое определение данной фигуры и называют формулы для вычисления ее периметра и площади. (В учебнике геометрии ее определение дается так: трапеция - это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а две другие стороны – боковыми сторонами. Трапеция называется прямоугольной, если она содержит прямой угол. Формулу для расчета площади трапеции можно получить несколькими способами, в зависимости от того на какие фигуры разбивается трапеция. Все решения приводят к одному результату: площадь трапеции равна произведению половины суммы ее оснований на высоту). После чего они самостоятельно находят эти величины и получают результат Р=40км, S=78км2.

Учитель: Рассмотрим следующую задачу. Периметр прямоугольника равен 40см. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы площадь была наибольшей?

< Рисунок 2>

Решение: 2(a+b)=40, a+b=20, S =a·b, b=20-a.

  1. Выбираем независимую переменную х и выражаем через неё стороны прямоугольника. х см – длина прямоугольника, (20-х) см – ширина прямоугольника. Тогда 0< х  <20;
  2. записываем функцию S(x) =x·(20-x) =20x – x2;
  3. находим производную S' (x) = 20-2x;
  4. решаем уравнение 20-2х=0. х=10.

Значит, длина и ширина равны 10 см. Какая это получается фигура? (Квадрат).

S (10) = 10 (20-10) =10·10 =100 см2.

Ответ: 10 см.

Учитель: А теперь вернёмся к задаче о земле, с которой мы начали урок. Какую же фигуру Пахом должен был захватить? (Квадрат).

П.Л. Чебышев говорил, что “особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды”. С такими задачами в наше время приходится иметь дело представителям самых разных специальностей. Технологи – стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции. Конструкторы пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей. Экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными, и т.д. Задачи подобного рода носят общее название – задачи на оптимизацию (от латинского слова optimum – “наилучший”). В самых простых задачах на оптимизацию мы имеем дело с двумя величинами, одна из которых зависит от другой, причём надо найти такое значение второй величины, при котором первая принимает своё наименьшее или наибольшее (наилучшее в данных условиях) значение. Решением таких задач занимается особая ветвь математики. Ее название мы попытаемся выяснить в процессе решения задач

Задачи на оптимизацию решают по обычной схеме (схема высвечивается на экране):

  • составление математической модели;
  • работа с моделью;
  • ответ на вопрос задачи.

Цель нашего урока состоит в том, чтобы научиться решать задачи на оптимизацию, используя математические модели.

Рекомендации по решению задач у вас лежат на столах (см. Материалы к уроку для организации самостоятельной работы учащихся).

IV этап. Усвоение новых знаний (22 мин.).

Так как составление математической модели задачи вызывает трудность у большинства учащихся, то следующую задачу предлагается решить вместе. Учащийся по желанию выходит к доске для оформления решения задачи (дается задача более высокого уровня, чем предыдущая - пример 4, п.2, §36).

Задача 2. Прочность балки прямоугольного сечения пропорциональна произведению её ширины на квадрат высоты. Какое сечение должна иметь балка, вытесанная из цилиндрического бревна радиуса R, чтобы её прочность была наибольшей?

Решение:

Первый этап. Составление математической модели

  1. Обозначим буквой у О.В. – прочность балки;
  2. х – ширина балки (Н.П.), 0 < x < 2R;
  3. h2=4R2-x2 – высота балки (выражается по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника);
  4. прочность балки у = kxh2 (где коэффициент k – некоторое положительное число) значит, у = kx(4R2 – x2), где х [0; 2R].

Второй этап. Работа с составленной моделью.

Находим у наиб. Для этого воспользуемся алгоритмом нахождения наибольшего значения функции на отрезке, повторенным в начале урока.

После того как данная задача решена, класс приступает к решению задач в группах. Учащиеся рассаживаются по группам в зависимости от восприятия материала: 1) те, кому будет нужна помощь в составлении модели задачи; 2) те, кто попытается справиться самостоятельно с не очень сложными задачами; 3) те, у кого решение задач не вызывает затруднений. В соответствии с этим учащиеся получают дифференцированные задания.

1 группа. Задачи № 949(а). Сумма двух целых чисел равна 24. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение. (Ответ:12,12).

№ 951(а). Известно, что одно из двух чисел на 36 больше другого. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение. (Ответ: -18; 18).

№ 953(а). Периметр прямоугольника составляет 56 см. Каковы его стороны, если этот прямоугольник имеет наибольшую площадь? (Ответ: 14; 14).

2 группа. Задачи № 950 (а). Разность двух чисел равна 10. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение. (Ответ: -5; 5).

№ 952 (а). Представьте число 3 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма утроенного первого слагаемого и куба второго слагаемого была наименьшей. (Ответ: 2; 1).

№ 954(а). Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 200м. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей? (Ответ: 50; 50).

3 группа. Задачи № 954(а). Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 200м. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей? (Ответ: 50; 50).

№ 955(а). Площадь прямоугольника составляет 16 см2. Каковы должны быть его размеры, чтобы периметр прямоугольника был наименьшим? (Ответ: 4; 4).

№ 972. Боковые стороны и одно из оснований трапеции равны 15 см. При какой длине второго основания площадь трапеции будет наибольшей? (Ответ: 30).

Необходимо проверить решение задач, поэтому от каждой группы выступает учащийся, демонстрируя решение одной из задач на доске.

На доске имеется схема (Рис.4) содержащая название раздела математики, занимающегося решением задач оптимизации. В кружочках уже стоят нужные буквы, а остальные фигуры должны заполнить учащиеся по окончании решения и проверки задач. У них на столах лежат цветные фигуры, на одной стороне которых записаны буквенные сочетания, а на другой - варианты ответов к задачам. На схеме над фигурами стоит название цвета фигуры, которая должна заполнить данную клеточку: к – красный; с – синий; ж – желтый. Каждая группа, правильно решив задачи, должна получить фигуры одного цвета: 1группа – красные; 2 группа – синие; 3 группа - желтые (Приложение 1).

Учитель: Ребята, давайте узнаем, как же называется раздел математики, который изучает задачи на оптимизацию?

В результате заполнения схемы на доске появляется название раздела математики – линейное программирование.

V этап. Итог урока (2 мин.).

Подводя итог урока, учитель и дети выясняют: на каком этапе учащиеся испытывают наибольшие затруднения и на что они должны обратить внимание при решении домашнего задания.

VI этап. Домашнее задание (1мин.).

Учитель: Однажды в разговоре П. Л. Чебышев заметил: “В старину математические задачи задавали боги, например, удвоение куба, по поводу изменения Делосского жертвенника. Далее наступил второй период, когда задачи задавали полубоги: Ньютон, Эйлер, Лагранж. Теперь третий период, когда задачи задает практика”. Поэтому домашнее задание следующее: §36 (п.2), вторую задачу (б) своего варианта (при желании можно сделать задачу более сложного варианта). Творческое задание: составить вместе с родителями и оформить решение в тетради задачи оптимизации, с которой вам или вашим родителям пришлось столкнуться на практике.

Материалы к уроку для организации самостоятельной работы учащихся

1. Памятка по решению задач на оптимизацию

I этап. Составление математической модели.

  1. Проанализировав условия задачи, выделите оптимизируемую величину (сокращенно: О.В.), т.е. величину, о наибольшем или наименьшем значении которой идет речь. Обозначьте ее буквой у (или S, R, V - в зависимости от фабулы).
  2. Одну из участвующих в задаче неизвестных величин, через которую сравнительно нетрудно выразить О. В., примите за независимую переменную (сокращенно: Н.П.) и обозначьте ее буквой х (или какой-либо другой буквой). Установите реальные границы изменения Н.П. (в соответствии с условиями задачи).
  3. Исходя из условия задачи, выразите у через х. Математическая модель задачи представляет собой функцию у=f(х) с областью определения Х, которую нашли на втором шаге.

II этап. Работа с составленной моделью.

На этом этапе для функции у=f(х), хХ найдите унаим или унаиб в зависимости от того, что требуется в условии задачи. При этом используются теоретические установки, которые мы рассмотрели при определении наибольшего и наименьшего значений функции.

III этап. Ответ на вопрос задачи.

Здесь следует получить конкретный ответ на вопрос задачи, опираясь на результаты, полученные на этапе работы с моделью.

2. Дополнительная литература

Коваленко В. Г. Дидактические игры на уроках математики. – М.: Просвещение, 1990.