Важнейшим видом учебной деятельности, в процессе которой школьниками усваивается математическая теория, развиваются творческие способности и самостоятельность мышления, является выполнение математических упражнений. Поэтому эффективность обучения во многом зависит от отбора, конструирования, организации упражнений – методики упражнений.
Обучающемуся в процессе обучения приходится иметь дело не с одним упражнением, а с совокупностью. Анализ совокупности упражнений требует их классификации.
Попытку систематизировать упражнения на дидактическом уровне предпринял
В.А. Онищук [1]. В основе его систематизации лежит соответствие упражнений дидактическим целям. Каждый этап усвоения умений отображается им на соответствующий вид упражнений. Автор выделяет такие этапы формирования умений:
- актуализация опорных знаний;
- усвоение знаний;
- первичное применений знаний;
- овладение навыками в стандартных условиях;
- творческий перенос знаний и навыков в нестандартные условия;
- контроль, коррекция и оценка навыков и умений.
В соответствии с указанной последовательностью этапов формирования умений выделены следующие виды упражнений:
- подготовительные упражнения;
- вводные упражнения;
- пробные упражнения;
- тренировочные упражнения;
- творческие упражнения;
- контрольные упражнения.
Как помочь обучающимся легче воспринимать новый материал? Психологи утверждают, что всякий раз, когда обучающийся усваивает новый материал, он сопоставляет его с усвоенным ранее, связывает с ним, перестраивает его. Следовательно, для успешного усвоения учащимися новой информации необходимо предварительно актуализировать базовые знания, поэтому я на уроках изучения новой темы большое внимание уделяю актуализации опорных знаний через целенаправленную систему упражнений.
Введению нового понятия предшествует система упражнений, во время выполнения которых обучающиеся:
а) повторяют материал необходимый для усвоения
нового понятия;
б) выполняют упражнения, являющиеся составной
частью вновь вводимого понятия;
в) готовятся к самостоятельному выводу нового
правила.
Я предлагаю разработанные мною системы подготовительных упражнений к изучению тем по математике в 7 классе к учебнику Г.В. Дорофеева.
Предложенные упражнения помогут особенно молодым учителям при подготовке к урокам изучения нового материала.
Упражнения к теме: “Степень с натуральным показателем”
1. Выберите равные числовые выражения:
а) 5 + 5 + 5;
б) 53;
в) 5 · 5 · 5;
г) 5 · 3.
Назовите выражение, которое является степенью. Укажите основание и показатель степени.
2. Возведите в квадрат: 6; – 4; 1; 0,3; 
.
3. Возведите в куб: 2; – 2; 1; 
; 0,5.
4. Определите знак выражения: 42; ( – 5)3; 23; (– 6)2.
Упражнения к теме: “Что такое отношение”
1. Во сколько раз
20 больше 5;
0,6 больше 0,2;
больше
.
2. Во сколько раз
7 меньше 14;
0,5 меньше 10;
меньше
.
3. Найти частное чисел 12 и 6; 3 и 5; 0,5 и 0,1; и 
.
Упражнения к теме: “Пропорции”
1. Решите уравнения: 3х = 12; 2а = 2,4; 10в = 5; 0,6 у = 60.
2. Прочитайте отношения и вычислите их:
а) 12 : 4;
б) 16 : 8;
в) 10 : 4;
г) 0,2 : 0,4;
д) 7,5 : 3;
е);
ж) 9 : 3;
з) 4 : 8.
Укажите, под какими буквами получились равные отношения.
Упражнения к теме: “Прямая и обратная пропорциональности”
1. Во сколько раз 4 меньше 8; во сколько раз 15 больше 3?
2. Назовите формулу для вычисления площади прямоугольника, формулу для вычисления пройденного пути.
3. Ответьте на вопросы: Как изменяется время и расстояние?
| а) v = 7 км/ч t = 2ч s = ? |
б) v = 7 км/ч t = 4ч s = ? |
в) v = 7 км/ч t = 8ч s = ? |
4. Как изменяется длина и ширина прямоугольника?
| a) S = 24 см2 a = 3cм в = ? |
б) S = 24 см2 a = 6 cм в = ? |
в) S = 24 см2 а = 12 см в = ? |
Упражнения к теме: “Буквенные выражения и числовые подстановки”
1. Найдите значение выражения:
а) 3,5 : 0,7;
б) 4,5 – 2
в) 2 – 4,2;
г) 63 · ( –);
д) 33 + 22 ;
е) ( –14 + 16) 4 ;
ж).
2. Запишите формулы для вычисления площади, периметра и полупериметра прямоугольника со сторонами а и в.
3. Вычислите площадь, периметр и полупериметр прямоугольника, если его стороны равны 5 см и 9 см.
Упражнения к теме: “Раскрытие скобок”
1. Вычислите значения выражений и сравните их:
а) 42 + (10 + 2) 42 + 10 + 2
б) 42 + (10 – 2) 42 + 10 – 2
в) 56 – (– 24 + 10) 56 + 24 – 10
г) 56 – (– 24 – 10) 56 + 24 + 10
д) 34 – (14 + 20) 34 – 14 – 20
е) 34 – ( 14 – 20) 34 – 14 + 20
2. Запишите эти равенства с помощью букв а, в и с.
3. Вычислите, применяя распределительный закон умножения:
а) 12 · (10 + 5)
б) 25 · (20 – 4)
Упражнения к теме: “Приведение подобных слагаемых”
1. Вычислите: – 15 + 8; – 7 – 9; – 1,2 + 2,5; 12 – 23; 1,5 – 3; – 49 : (–7) + 2,1
2. Чему равен коэффициент в выражении: 3а; – 4ху; – х; 0,3 ав2; у; 6а · 5в; – 3х · (– 2 у).
3. Вычислите, используя распределительный закон умножения:
а) 84 · 22 + 16 · 22;
б) 25 · 112 – 25 · 12.
1. Укажите, какое выражение из данных лишнее и почему?
а) 3а + 12а – 5а;
б) –12х – 4х + 6х;
в) – 9ху + 4у + 7х;
г) – 7в – 12в – в.
Упражнения к теме: “Корень уравнения”
1. Как можно назвать следующие равенства:
а) х + 5 = 10
б) 24 – а = 8
в) х · 12 = 60
г) 75 : в = 5
2. Найти значение выражения:
а) х2 + 6х при х = 0; 6; –7.
б) 7 · (с – 5 ) при с = 5,2; 5; –5.
3. Проверьте, верно ли равенство:
а) 32 + 6 = 15
б) 6 · (4 + 2 · 3) = 120 : 4
в) (3,6 – 0,4 · 9) : 2,1 = 0
Упражнения к теме: “Решение уравнений”
1. Решите уравнения:
24 : х = 12
5х = – 24
– 0,2х = – 1
х + 12 = 36
2. Решите уравнение:
а) 2х – 5 = 15
б) Прибавьте к обеим частям уравнения число 5 и решите получившееся уравнение.
в) Обе части уравнения умножьте на число 2 и решите получившееся уравнение.
Упражнения к теме: “Произведение и частное степеней”
1. Упростите запись:
а) х · х · х · х · х;
б) а · а · а · в · в · в · в;
в) у2 · у5;
г) в4 · в3;
д) с · с4 · с5;
е) m2 · m · m.
2. Сократите дробь:
а)
;
б);
в).
Упражнения к теме: “Степень степени, произведения и дроби”
1. Вычислите: 
; 
; 
.
2. Упростите выражение:
а) х2 · х2 · х2;
б) в4 · в4;
в) с3· с4 · с5.
3. Верно ли равенство:
а) (2 · 3)2 = 22 · 32;
б) (0,2 · 5)3 = 0,23 · 53;
в);
г) (22 )3 = 26;
д) ( 32)2 = 34.
Упражнения к теме: “Одночлены и многочлены”
1. Приведите подобные слагаемые:
а) 4а – 3в + 2а + 9в;
в) – 15 х – 4у + 7у – 5х;
г) 13а2 + 8 – 24а2 – 12;
2. Из всех алгебраических выражений выберите те, которые являются произведением нескольких множителей:
5в; 7х2у; 6ху + 9;
;
Назовите в них числовые и буквенные множители.
3. Из одночленов с помощью знаков “ +” и “ –” составьте выражения.
Упражнения к теме: “Сложение и вычитание многочленов”
1. Раскройте скобки:
а) а + (в – с – d);
б) а + (– в + с + d);
в) m – (у + с – d);
г) х – (– у – с + m);
д)(а – в) – (m – n);
е) (х + у) + (– а – в);
ж) 3х + (12у – 6а);
з) 12а – (– (– х + 7у – 1).
2. Приведите подобные слагаемые:
а) 12х – 5 + 6х – 2;
б) 5а – 7в – 13а + 4в;
в) а – в – 3а –11в;
г) 8а – 1 – 11а + 21.
Упражнения к теме: “Умножение одночлена на многочлен”
1. Упростите произведение:
а) 2а · 3в;
б) – а ·(– в);
в) а · (–3)d;
г) –3m · (– 2n) · m2;
д) 0,1 · m · n · m;
е) 5х3 ·х4.
2. Преобразуйте выражение, используя распределительное свойство умножения:
а) 5 · (2в + 4);
б) – 4 · (а – 6в);
в) 8 · (2а – 8в + 3с);
г) 2а · (а – 4с).
Упражнения к теме: “Умножение многочлена на многочлен”
1. Выполните действия:
а) ( 3х – 5у) + ( 5х – 3у);
б) ( 4х – 3у) – (3х – 7у);
в) 5в2 · (4в3 + 6);
г) 10ав2 · (а4 в3).
2. Умножьте одночлен на многочлен и полученные результаты под буквой а) и б); в) и г) – сложите:
а) а · (а + 2);
б) 8 · (а + 2);
в) (m – 11) · m;
г) (m – 11) · (– 2).
Упражнения к теме: “Формула квадрата суммы и квадрата разности”
1. Прочитайте выражения:
а) (в + 6)2;
б) в2 + 62;
в) (а – 3)2;
г) а2 – 32.
2. Возведите в квадрат одночлены: 5; 2х; (3у2)2; (– 5в)2; (0,2ав)2.
3. Найдите удвоенное произведение одночленов: 5 и 2х; 3у и 5; – 0,5а и 4в.
4. Выполните умножение:
а) (а – 3) · (а + 4);
б) (в + 2) · (в + 2).
Упражнения к теме: “Вынесение общего множителя за скобки”
1. Назовите общие делители чисел: 6 и 9; 6 и 8; 10 и 15.
2. Вычислите, используя распределительное свойство умножения:
а) 14· 7 + 86 · 7;
б) 45 · 36 + 45 · 64;
в) 92 ·14 – 92 · 4;
г) 85 · 28 – 28 · 75.
3. Замените многоточие одночленом так, чтобы равенство было верным:
а) 12а5 = 2а3 · …;
б) 20а6 = 4а2 · … = 10а5 · …;
в) 24а4в3 = 4а2в ·… = 8ав ·… .
Упражнения к теме: “Формула разности квадратов”
1. Прочитайте выражения: 52 – 42; а2 – в2 ; а + в; а – в; х2 + у2.
2. Квадратом какого одночлена являются следующие одночлены: 36; 9а2; 49у4; в6; 100с4в8; 0,04х2у2.
3. Проверьте, верно ли равенство:
а) 62 + 22 = (6 – 2) · (6 + 2);
б) 102 – 82 = (10 – 8) · (10 + 8)
Упражнения к теме: “Способ группировки”
1.Вынесите общий множитель за скобки:
а) 5а + 5в;
б) 4с – 4;
в) а2 + ав;
г) 2m2 – 2m;
д) х5 + х3 – х;
е)10а4в3 + 15а2в.
2. Представьте многочлен в виде произведения:
а) 25 – х2;
б) 9у2 + 6у + 1;
в) с6 – 16в4;
г) 25 – 20в + 4в2.
3. В многочлене выделите одночлены, имеющие общие множители и укажите общий множитель:
а) ав + 6а + ас + 6с;
б) 4с2 + 12 ас – 3с – 9а.
Литература:
1. Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике.– М.: Просвещение,1995.
2. Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики.– М. : Просвещение, 1990.