Тема урока: "Системы логических уравнений"

В настоящее время возрастают требования к повышению качества обучения школьников. Одной из важнейших инноваций содержания математического образования есть включение в школьные программы элементов математической логики. Это обусловлено ролью, которую играют логические знания в общеобразовательной подготовке современного человека.
Изучение элементов математической логики целесообразно начать в 5–6-x классах, или в 7 классе – в зависимости от системы изложения в учебнике, по которому ведется преподавание. Необходимое время может быть найдено за счет отказа от рассмотрения с учащимися вопросов, которые не входят в обязательный минимум содержания основной школы (корень степени п, степень с дробным показателем, метод интервалов, тригонометрический материал в курсе алгебры), но сохраняются в ряде учебников и в практике работы учителей.
Но чаще всего данные разделы изучаются только на факультативных курсах.

Тема: “Системы логических уравнений” (10 кл.)

Цели урока:

• знакомство учащихся с понятием систем логических уравнений изучение различных методов их решения, повторение способов решения алгебраических систем и скалярного произведения векторов;
• развитие математического мышления и логической речи учащихся, воображения, умения анализировать, применять свои знания в незнакомой ситуации;
• воспитание интереса к предмету, прилежания, внимания.

Оборудование: школьная доска, мел, тетради, ручки, карандаши, сетки для решения систем с тремя и четырьмя неизвестными.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

II. Сообщение темы урока

Запись названия темы в тетрадь.

– На прошлом занятии мы изучали логические операции. Сегодня мы продолжаем изучать логические уравнения, научимся решать системы таких уравнений. Сразу нужно отметить, что системы логических уравнений решаются немного иначе, чем алгебраические. Вернее, другими способами.

III. Актуализация знаний

– Что значит, решить систему с двумя переменными?
Решить систему с двумя переменными – это значит найти все пары (х, у), которые удовлетворяют каждому из заданных уравнений или доказать, что решения нет.
Какие вы знаете способы решения систем?

• способ подстановки,
• способ сложения,
• способ введения новых переменных,
• графический способ.

1. Решить систему уравнений по рядам.

• Первый ряд – методом сложения;
• Второй – графическим способом;
• Третий – методом подстановки.

а) Сложив почленно уравнения, имеем: 2х + 10х = 15 + 9;

12х = 24; х = 2, подставив это значение во второе уравнение, получим: 10 ^. 2 – 11у = 9, откуда у = 1.

Ответ: (2;1).

б) Из первого уравнения , из второго уравнения ,

А (2;1) – точка пересечения графиков уравнений.

(2;1) – решение системы.

в) Из первого уравнения подставляем во второе

11у = 15 – 4, 11у = 11, у = 1.

Ответ: (2;1).

– Что называется скалярным произведением векторов?
Скалярным произведением векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Как записать скалярное произведение в координатной форме?

.

IV. Основной этап

Используя две операции “дизьюкнцию” и “конъюнкцию”, рассмотрим булевы системы двух уравнений с двумя неизвестными:

(1)

Нахождение переменной в одном уравнении с одной логической операцией приводит к нескольким решениям. Если бы решение системы выражалось некоторой определенной формулой, то при подстановке исходных данных (коэффициентов уравнения) мы получили бы вполне определенное решение. На простом примере мы видим многозначность решения, поэтому либо решения системы в общем виде должно выражаться несколькими формулами, либо таких формул в явном виде не существует. В настоящее время такие формулы еще не найдены, поэтому системы логических уравнений решают своеобразными методами, с которыми мы сегодня и познакомимся на уроке.
Система зависит от шести параметров a, b, c, d, m, n, каждое из которых принимает два значения 0 или 1. Следовательно, всего получаем 2⁶ = 64 случая.
Аналитический результат можно получить логичными рассуждениями и перебрав все 64 случая.

Задание 1. (один учащийся работает у доски).

Решить систему, если a = 0, b = 0, c = 0, d = 0, m = 0, n = 0.

.

Ответ: система имеет 4 решения: (1;1), (0;1), (1;0),(0;0).

Задание 2. (самостоятельно в тетрадях с последующей проверкой).

Решить систему, если a = 1, b = 0, c = 0, d = 0, m = 0, n = 0.

,

Ответ: система имеет 2 решения: (0;0), (0;1).

Аналогично можно решить остальные 62 системы, подставляя вместо параметров a, b, c, d, m, n соответственно значения 0 и 1.
Даже можно объединить некоторые случаи в классы, чтобы выделить условия для случаев, когда система имеет единственное решение, несколько решений или не имеет решения.
В школьном курсе математики можно выделить весьма ограниченный круг задач, которые можно решить при помощи систем логических уравнений.

Задание 3. Шесть прозрачных стаканов с водой расставлены в два параллельных ряда по три стакана в каждом. На рисунке представлен вид спереди и вид с правой стороны. Через прозрачные стенки стаканов видны уровни воды в каждом стакане и во всех стаканах, стоящих за ними. Определите, сколько воды налито в каждый стакан.

По рисунку видно, что стаканы либо полные, либо пустые. Множество стаканов, которые могут оказаться на указанных шести местах, образуют алфавит, который состоит из двух элементов.
Обозначим пустой стакан – 0, а полный – 1. тогда множество состоит из 0 и 1, т.е. = {0,1} .
Занумеруем проекции на рисунке числами от 1 до 5.
Занумеруем ряды стаканов следующим образом и укажем элементы, которые могут оказаться в этих рядах

Первая проекция показывает, что в первом столбце нет полных стаканов, т.е. х₁₁ = 0, х₂₁ = 0.

Из пятой проекции видно, что х₂₃ = 0, х₂₂ = 0. Остальные элементы легко определить: х₁₂ = 1, х₁₃ = 1.

Аналитически постановка задачи сводится к решению системы уравнений

Имеем систему уравнений, в которой операции “+” –  дизъюнкция, “^. ” –   конъюнкция.
Из второго уравнения системы и истинных таблиц конъюнкции и дизъюнкции получаем х₂₁ + х₂₂ + х₂₃ = 0 => х₂₁ = х₂₂ = х₂₃ = 0.
Из третьего уравнения => х₁₁ = 0.
Подставим найденные значения неизвестных в четвертое и пятое уравнения системы:

=>

Все свободные и неизвестные члены принимают значения 0 или 1, а уравнения удовлетворяют логическим операциям, т.е. получаем систему логических уравнений.
Таким образом, если в задаче даны два вида стаканов, то она легко решается путем решения системы логических уравнений. Это позволяет сэкономить время, дает более короткий и простой путь решения.
Рассмотрим метод прозрачных таблиц (метод сеток) – аналог графического способа для решения алгебраических систем, который позволяет быстро решать систему уравнений, содержащую не более четырех переменных.
Этот метод основан на скалярном произведении векторов.

Систему уравнений можно записать в векторном виде:

Отложим вдоль оси ох все значения переменной , а вдоль оси оу все значения вектора . Построим сетку на плоскости, прямые которой проходят через указанные значения и в узлах сетки вычислим скалярное произведение векторов, т.е. левую часть первого уравнения системы.
Заполнение такой таблицы требует времени, но следует заметить, что она заполняется быстро, т.к. в ней имеется много закономерностей.

Например:

• Если два вектора имеют на одном и том же месте координаты, равные 1, то скалярное произведение векторов равно 1. Как следствие этого факта в таблице 1 правая верхняя четверть заполнена единицами.
• Если координаты одного вектора являются инверсными значениями для координат другого вектора, то = 0.
• Если хотя один из векторов является нулевым, то скалярное произведение равно нулю.

После заполнения таблицы решение любой системы уравнений легко найти. Рассмотрим метод сеток на примере.

Пусть дана система:

(х₁; х₂; х₃) – вектор неизвестных,
(1;1;0), (1;0;1), (0;1;1),
(1;0;1) – вектор свободных членов.

По оси Оу находим вектор с координатами (1;1;0). Нужно наложить три таблицы так, чтобы строки с векторами (1;1;0), (1;0;1), (0;1;1), совместились. Находим узлы со значениями (1;0;1). Опускаем перпендикуляр на Ох из данных узлов и видим, что система имеет единственное решения: (0;1;0), т.е. х₁ = 0, х₂ = 1, х₃ = 0.

Задание 3 (один учащийся работает у доски под руководством учителя). Построить сетку для решения систем с четырьмя неизвестны.

Ответ: см. Приложение.

Задание 4 (один ученик у доски).

Решить систему логических уравнений методом сеток

Задание 5. Решить системы:

а) б)

 IV. Итог урока

Кратко повторить основной материал урока. Подвести итоги.