ПОСТРОЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ В ВОГНУТОМ СФЕРИЧЕСКОМ ЗЕРКАЛЕ.
При выводе уравнения Гаусса 
мы
строили отраженный луч по известному закону
отражения: “Угол отражения равен углу падения”.
Равные углы достаточно просто строятся с помощью
циркуля и линейки, но использовать подобные
построения при нахождении изображения в
зеркалах достаточно громоздко. Посмотрим, можно
ли найти более простой способ построения,
опираясь на решения уравнения Гаусса.
Уравнение Гаусса имеет два очевидных решения:
(1) d = 
, f
= F и (2) d = F, f = . Наиболее простая интерпретация этих
решений с точки зрения лучей следующая:
на зеркало падает луч, параллельный ГОО
(главной оптической оси) (d = ), который после отражения
проходит через фокус зеркала (f = F);
на зеркало падает луч, лежащий на линии, проходящей через фокус зеркала (через фокус может проходить не сам луч, а его продолжение в обратную сторону) (d = F).
Позже, при построении хода произвольного луча, мы увидим, что у решений (1) и (2) могут быть другие интерпретации.
Луч, соответствующий решению (1), мы назовем 1М лучом; луч, соответствующий решению (2) – 2М лучом. Очевидно, что эти лучи очень удобны для построения, так как найти точку пересечения горизонтального и наклонного лучей существенно проще, чем точку пересечения двух наклонных лучей.
Кроме того, можно использовать еще два стандартных луча: луч 3 – луч, падающий на полюс зеркала, – отражается симметрично ГОО, и луч 4 – луч, идущий через центр зеркала, – отражается снова в центр зеркала.
При построении лучей 1 и 2 возникает следующая проблема: как строить эти лучи для зеркал с большой апертурой. Вспомним, что апертурой называется угол, под которым видны противоположные края зеркала из его центра. Дело в том, что уравнение Гаусса получено в приближении параксиальных лучей, то есть лучей, идущих вблизи ГОО. Только для этих лучей можно однозначно ввести понятие фокуса как точки на ГОО, в которой после отражения от зеркала сходятся лучи пучка лучей, параллельных ГОО. На самом деле существует явление сферической аберрации, заключающееся в том, что лучи, параллельные ГОО, пересекают ГОО в различных точках, в зависимости от расстояния между падающим лучом и ГОО.
Именно поэтому мы рассматриваем сферические
зеркала с малой апертурой (
6o). Но для
наглядности чертежа мы рисуем зеркала с большой
апертурой и поэтому необходимо выяснить, как
отражать лучи 1 и 2, чтобы они давали правильное
изображение. Построение изображения в вогнутом
сферическом зеркале посмотрим с помощью
презентации приложение1.ppt
Мы
ввели новое понятие – главную плоскость
сферического зеркала – плоскость,
перпендикулярную ГОО и проходящую через полюс
зеркала. Именно потому, что на чертеже мы
отражаем лучи не от сферического зеркала, а от
главной плоскости, часто сферические зеркала
рисуют так, как показано на рисунке.
Мы рассмотрели построение точки, не лежащей на ГОО. А как построить изображение точки, лежащей на ГОО? Ведь для нее все вышерассмотренные лучи совпадают с ГОО, и мы не можем найти точку пересечения с ГОО. Поэтому необходимо использовать произвольный луч, что мы и делали при выводе уравнения Гаусса. Естественно, хотелось бы найти простые правила для построения отраженного луча в этом случае.
Произвольный луч является произвольным для данного зеркала с данной ГОО. Но, может быть, можно превратить его в стандартный луч для другого зеркала, которое является частью исходного зеркала? У нового зеркала ГОО является побочной оптической осью (ПОО) исходного зеркала. Давайте посмотрим это с помощью презентации приложение2.ppt.
Мы ввели понятие фокальной сферы. Но с учетом того, что мы рассматриваем зеркала с малой апертурой, можно заменить часть сферической поверхности плоскостью, перпендикулярной ГОО исходного зеркала. Такая плоскость называется фокальной плоскостью (ФП). Таким образом, если мы работаем в приближении, когда справедливо уравнения Гаусса, то для построения изображений в сферических зеркалах можно пользоваться не сферическими поверхностями, а главной и фокальной плоскостями. Рассмотрим, как строится ход произвольного луча в этом приближении приложение3.ppt .
А теперь рассмотрим, какими свойствами обладают точки фокальной плоскости. Если на зеркало падает параллельный пучок лучей, не параллельный ГОО, то после отражения все лучи сойдутся в одну точку ФП, так как ПОО для всех этих лучей одна и та же. Это и есть другая лучевая интерпретация решения (1) уравнения Гаусса. Чтобы понять другую интерпретацию решения (2), воспользуемся принципом обратимости лучей, который утверждает, что если вышедший из оптической системы луч пустить в обратном направлении, то он выйдет из системы по первоначально падавшему на систему лучу. Отсюда следует, что если из какой-либо точки фокальной плоскости пустить на зеркало расходящийся пучок, то после отражения он превратится в пучок, параллельный ПОО, проведенной в данную точку ФП.
Используя вышеуказанные свойства параллельных пучков и пучков, выходящих из какой-либо точки ФП, можно предложить различные способы построения хода произвольного луча, представленных в презентациях приложение4.ppt, приложение5.ppt, приложение6.ppt и приложение7.ppt .
Строя изображение с помощью лучей 1 и 2, мы фактически решали уравнение Гаусса графическим образом. Однако есть более простой способ графического решения уравнения Гаусса – с помощью номограмм.
Номограмма (от греческого номос – закон и грамма – черта, буква, изображение) – чертёж для изображения функциональной зависимости (формула, уравнение, система уравнений), позволяющий найти ответ (или ответы) по заданным значениям переменных без вычислений и исследовать функциональную зависимость.
Для решения уравнения Гаусса существует несколько типов номограмм. На мой взгляд, наиболее удобной является следующая элементарная номограмма. (Номограмма называется элементарной, если ответ находится в результате одной геометрической операции, в данном случае – проведение прямой через две точки).
Берутся две взаимно перпендикулярные оси: ось Оd, где d – расстояние от предмета до зеркала, и ось Оf, где f – расстояние от зеркала до изображения. В этой системе координат для вогнутого зеркала берётся точка М(F,F), а для выпуклого зеркала – точка N(–F, –F). Любая прямая, проведенная через соответствующую точку, отсекает на осях Оd и Оf значения d и f, удовлетворяющие уравнению Гаусса. Построение номограмм и доказательство их применимости рассмотрены в презентациях приложение8.ppt, приложение9.ppt и приложение10.ppt
Эти номограммы применимы не только к сферическим зеркалам, но и к линзам.
С их помощью очень удобно проводить анализ зависимости изображения от расстояния предмета до зеркала, том числе и для случая мнимых предметов (d < 0), когда на зеркало (линзу) падает сходящийся пучок лучей. Подобная ситуация возникает, если с помощью какой-либо системы на экране получено изображение, а затем на пути лучей между экраном и системой поставлено зеркало (линза). При этом положение экрана определят положение мнимого предмета относительно зеркала (линзы). Все построения выполнены следующим образом:
а) предмет представлен в виде вертикальной стрелки, опирающейся на ГОО;
б) с помощью лучей 1 и 2 строится изображение верхнего конца стрелки;
в) с помощь произвольного луча строится изображение нижнего конца стрелки с двоякой целью: во-первых показать различные случаи построения произвольного луча, во-вторых доказать, что объект, перпендикулярный ГОО, отражается в объект, также перпендикулярный ГОО;
г) строится номограмма для данного случая;
д) делается вывод о характере изображения.
Несколько слов о построении изображения мнимого предмета. Каждая точка предмета получается пересечением каких-либо лучей, вернее, пересечением не самих лучей, а их продолжений за зеркало. Поэтому принцип построения следующий: для точки предмета рисуются такие лучи, ход которых после отражения от зеркала известен и на месте пересечения отраженных лучей или их продолжений получается точка изображения.
Случай предмета за центром зеркала рассмотрен в презентации приложение11.ppt, предмета в центре зеркала в презентации приложение12.ppt, предмета между центром и фокусом зеркала в презентации приложение13.ppt, предмета между фокусом и зеркалом в презентации приложение14.ppt и мнимого предмета в презентации прложение15.ppt.
Совместное построение номограммы и изображений в зеркалах (линзах) показывает, что
- изображение действительно, если f > 0, и мнимое,
если f
0;
- предмет действительный, если d
0, и
мнимый, если d < 0; - изображение прямое, если d·f 0, и перевернутое, если d·f
> 0.
Номограммы применимы и для случая, когда по разные стороны от линзы находятся различные среды и уравнение Гаусса имеет вид: 1 = F1/d + F2/f. В этом случае точка М имеет координаты (F1,F2), а точка N – (–F1, –F2).