Как показывает мой пятнадцатилетний опыт работы в классах с углубленным изучением математики и успешное поступление большинства выпускников в ведущие столичные вузы, умение применять графические методы при решении различных задач является одним из самых важных критериев уровня математической подготовки учащихся. Особо оно бывает незаменимо при решении задач с параметрами (МГУ, МФТИ, МГТУ) и выполнении тестовых задач с жестким лимитом времени (Высшая школа экономики, МГИМО). Кроме того, не менее существенным является развитие аналитических способностей учащихся для выполнения самостоятельных исследовательских работ, которые интегрируют для достижения поставленной цели всевозможные способы и приемы, в том числе объединяют математические исследования и компьютерные технологии. В одночасье овладеть этими навыками невозможно. В представленных материалах я хотела бы показать один из фрагментов работы по заданной теме. Я полагаю, что использовать соответствующие разработки можно в 9 классах с углубленным изучением математики или в 10-х классах, где математика изучается как профильный предмет.
Зачастую важно определиться как можно быстрее с предполагаемым способом выполнения задания. В последнее время при ужесточении временного контроля, отведенного на аттестационные испытания, способность сконцентрироваться на характерных свойствах, выделить из представленной информации главное, оценить возможные множества значений функций и особенности их поведения может помочь выпускнику преодолеть барьер при поступлении в вузы. Мне совсем не хочется, чтобы ученики действовали в соответствии с заданным шаблоном. Тем не менее, при изучении преобразований графиков функций, композиции функций следует помочь ученику сопоставлять аналитические зависимости и отражение их особенностей на полученных графиках. Тема исследования представленной практической работы включает четность – нечетность и виды симметрии, скорость роста и убывания функций, наличие горизонтальных, вертикальных и наклонных асимптот, точки разрыва и излома графиков, а также форму графиков элементарных функций и метод преобразований.
Работа проводится с привлечением компьютерной программы Advanced Grapher, к которой можно получить доступ и установить на Вашем компьютере с сайта, например, www.listsoft.ru/programs (для российских пользователей бесплатно). Программа позволяет строить в одной системе координат графики многих функций по их аналитическим формулам, менять масштаб, исследовать преобразования графиков. Интерфейс программы очень прост и легок в усвоении, ученики с удовольствием используют её как в компьютерных классах гимназии, так и у себя дома.
Выполнение работы может осуществляться индивидуально или группами учащихся. Заинтересованные учащиеся могут стать активными помощниками учителя при формировании банка заданий по данной теме, который можно использовать при проведении уроков различных преподавателей в параллели и организации обобщающего повторения. Один из возможных вариантов проведения практической работы следующий.
Учитель предлагает учащемуся или группе учащихся два листа. На одном из них изображены графики 10 функций, а на другом 10 аналитических формул, которыми эти графики задаются. На первом уровне сложности, который иллюстрируют представленные примеры заданий в статье, ученики должны установить взаимно – однозначное соответствие между формулами зависимостей и их графическим отражением. В ходе выполнения работы учащиеся заполняют таблицу соответствия, в которой отражают основные и вспомогательные критерии, которые позволили им сопоставить друг другу формулы и графики. Допустим, что на рисунке есть несколько графиков парабол. Форма кривой может выступать в качестве основного критерия. В таком случае вспомогательным критерием может быть сдвиг параболы по горизонтали или вертикали, наличие корней, симметрия графика. Если основным критерием соответствия является, допустим, вертикальная асимптота, то вспомогательным критерием может быть наличие нулей, характер поведения функции на бесконечности. В отдельных случаях опознать график можно по его области определения, подключив в качестве дополнительного критерия гладкость функции.
При проведении работы в компьютерном классе ученики могут помочь себе опознавать графики с помощью компьютерного моделирования их с привлечением уже упоминавшейся программы Advanced Grapher. В приложениях к статье содержатся файлы, созданные при помощи этой программы для представленных четырех вариантов заданий. Установив на своем компьютере данную программу, вы сможете увидеть в раскрывающихся окнах аналитические формулы (обозначения в них соответствуют используемой программе) и соответствующие им по цветам графики функций. Организуя выполнение работы в форме соревнования команд, где победа присуждается как за правильный результат, так и за скорость выполнения работы, учитель может помочь оценить учащимся целесообразность привлечения технических средств как на этапе подготовки к работе и самостоятельных тренировок, так и в ходе самого соревнования.
На более высоком уровне сложности можно предложить учащимся самим составить задания для своих товарищей, используя не первые, пришедшие на ум формулы и построенные на компьютере графики, а связанный блок задач, который заставляет при выполнении работы опираться на широкий круг сведений, касающихся свойств элементарных функций.
В графе таблицы “ Примечание” могут содержаться сведения о последовательности установления соответствия графиков. За исследование различных путей решения задачи и их сравнительный анализ учащиеся получают дополнительные баллы.
Я полагаю, что еще более интересной постановка задачи будет при наличии около 20 графиков и присутствии в сопоставляемых формулах “посторонних” составляющих. Тогда на последнем этапе работы ученики уже не могут пользоваться методом исключения для нахождения верного ответа. Напряженность работы при её завершении не будет спадать. Не нашедшие себе пары зависимости могут быть предложены для аналитического исследования с последующим построением графиков или компьютерного моделирования.
Практическая работа “Исследование графиков функций с привлечением их компьютерного моделирования”.
Задание к практической работе.
Внимательно рассмотрите представленный набор графиков функций и соответствующий набор зависимостей, задающий функции аналитически.
В дальнейшей работе старайтесь руководствоваться соображением, что каждому представленному графику соответствует аналитическое задание функции, причем только одно.
Используя известные вам сведения о поведении графиков функций, учитывая имеющуюся симметрию графиков, наличие вертикальных и горизонтальных асимптот, понятие о четных и нечетных функциях, аппроксимируя возможное поведение графика функции на бесконечности, установите взаимное соответствие функций и графиков. Отразите это соответствие в таблице.
Отметьте в таблице в соответствии с принятым соглашением основные и вспомогательные критерии отбора.
После указания соответствия функций и графиков на классной доске, воспользуйтесь компьютерной программой для проверки найденного соответствия и представления графика функции на компьютерном экране. Сохраните в отдельном файле результаты вашей работы.
В качестве индивидуального задания (при наличии времени) выберите произвольный из представленных графиков и, используя его в качестве графика функции y=f(x), постройте графики функций y=f [x] и y= [f(x)] .
Попробуйте оценить свою коллективную и индивидуальную работу по 10-ти бальной шкале, выделив положительные элементы вашей деятельности.
В последнем столбце поставьте знак “плюс”, если компьютер помог вам в опознании графика функции, и знак “минус” в противном случае.
| Г | Ф | Основной критерий выбора соответствия | Вспомогательный критерий | Самооценка | Примечание | С | ||
| 1 | ||||||||
| 2 | ||||||||
| … | ||||||||
| 10 | ||||||||
| Номер варианта | Исполнитель | Оценка | ||||||
Ниже приводятся четыре варианта наборов графиков для сопоставления с четырьмя вариантами аналитических формул.
Аналитические формулы для установления взаимно - однозначного соответствия с графиками функций.
Вариант 1
1. 
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8. 
9.
10.
Вариант 2
1. 
2.
3. 
4. 
5.
6. 
7.
8.
9.
10.
Вариант 3
1. 
2.
3. 
4. 
5.
6. 
7. 
8.
9. 
10. 
Вариант 4
Ответы к установлению соответствия между графическим и аналитическим заданием функций
Вариант 1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Вариант 2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Вариант 3
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Вариант 4
В приложениях 1-4 (Приложение 1, Приложение 2, Приложение 3, Приложение 4) к статье содержатся файлы, созданные при помощи программы Advanced Grapher для представленных четырех вариантов заданий. При работе с этими файлами учащиеся могут увидеть на экране как отдельные графики функций, так и полный их набор, а также аналитические формулы, задающие функции. Для россиян программу можно бесплатно установить на своем компьютере с сайта www.freedownloadscenter.com/Business/Educational_Tools/Advanced_Grapher.html