Цели:
- Выяснить степень усвоения тем “Производная”, “Касательная к графику функции”.
- Обобщить знания и умения по данным темам, провести подготовку к контрольной работе.
- Развивать логическое мышление учащихся, умение работать с дополнительным материалом, навыки самоконтроля
- Воспитывать на уроке упорство в достижении конечных результатов.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний
Оборудование: презентация “Из истории производной”, карточки для программируемого контроля, таблица “Алгоритм решения уравнения вида f ‘(x)= 0”, оценочные листы.
Содержание урока
I. Организационный момент
Учитель.. Сегодня мы проверим с вами, насколько хорошо вы научились находить производные функций, а также записывать уравнение касательной, решать уравнения вида
f ‘(x)= 0 .
II. Программируемый контроль
Найти значение производной функции в заданной точке (учащимся раздаются карточки)
| Задания | Варианты ответов | |||||
| В1 | В2 | В3 | 1 | 2 | 3 | |
| 1 | y=x17 y’(1) |
y=x34 y’(-1) |
y=x34 y’(1) |
17 | -34 | 34 |
| 2 | y=x5/5 y’(-2) |
y=2x5- 4/x2 y’(-2) |
y=5x4+ 8/x4 y’(2) |
159 | 161 | 16 |
| 3 | y=1/x5 y’(-1) |
y=3v9 - x3 y’(1) |
y=3vx3 - 7 y’(-1) |
-5 | - ? | ? |
| 4 | y=log 3x y’(1) |
y= log 3 x + 1 y’(1) |
y= 2 - log 3 x y’(-1) |
1/ln3 +1 | 1/ln3 | 2-1/ln3 |
| 5 | y= cos2x y’(?/6) |
y= e (2x+2) *4x у’(-1) |
y= e (4x+2) *(-2x) у’(-1/2) |
2 | -1 | -4 |
Вариант 1 предлагается учащимся, усваивающим материал на оценку “3”.
Письменная работа по устранению ошибок учащихся
Верные ответы:
В1- 1, 3, 1, 2, 2
В2- 2, 1, 3, 2, 3
В3- 3, 1, 3, 2, 1
III. Решение упражнений:
1) Решение уравнений вида f ‘(x)= 0
Повторение алгоритма решения уравнения вида f ‘(x)= 0:
- Определить характер функции и найти область определения функции
- Найти производную данной функции
- Решить уравнение f ‘(x)= 0
- Выбрать верный ответ
Задача 1. (один из учащихся решает на доске, остальные выполняют задание в тетради)
Дана функция y= x - v2 * sinx . Найти точки, в которых производная равна нулю.
Решение:
1. Функция определена и дифференцируема на
множестве всех действительных чисел, так как на
множестве всех действительных чисел определены
и дифференцируемы функции g(x) = x и t(x) = - 
2* sin x.
2. Используя правила дифференцирования, получим
f' (x) = ( x - 2 sin x )’ = (x)’ –
- ( 2 sin x )’ = 1 - 2 cos x.
3. Если f'’ (x) = 0, то 1 - 2 cos x = 0 , cos x = 1/2; избавимся от иррациональности в
знаменателе, получим cos x = 2 / 2, х = ± arccos 2 / 2 + 2
n, n 
Z
Ответ: х = ± / 4 + 2 n, n Z.
2) Решение уравнений по алгоритму (самостоятельная работа учащихся):
Задача 2. Найти, в каких точках обращается в нуль производная.
| 1) f(x) = 2sin x + x | 2) f(x) = 4sin x* cos 2x - 23* x |
3) f(x) = cos 2x - 2sin x |
Ученик может выбрать любой из трёх примеров. Первый пример оценивается оценкой “3”, второй– “4”, третий– “5”. Решение в тетрадях с последующей взаимопроверкой. Если решение оказывается неверным, то ученику нужно повторить алгоритм решения уравнения вида f ‘(x)= 0 и попытаться выполнить задание снова.
Ответы:
1. + 2/3 + 2n, n Є Z.
2. + /12 + n, n Є Z.
3. (-1)k * /6 + k, k Є Z; /2 + n, n Є Z.
3) Показ презентации “Из истории производной”, выполненной учащимся класса
Учитель. Мы в течение всего первого полугодия знакомимся с понятием производной, а вот Павел по моей просьбе поинтересовался историей возникновения производной. Сегодня я предлагаю вашему вниманию презентацию, выполненную Павлом, которая так и называется “Из истории возникновения производной”. (Приложение 1)
4) Решение упражнений по теме “Касательная к графику функции”:
Учитель. Запишите уравнение касательной к графику функции в общем виде на доске.
Повторение алгоритма написания уравнения касательной к графику данной функции в точке с абсциссой х0.
Задание 1. Напишите уравнение касательной к графику функции y= x2 – 4 в точке с абсциссой х0= -2 (один учащийся решает у доски, остальные в тетрадях).
Решение:
- Находим производную функции: у’=2x
- Находим значение производной функции в точке х0= -2: y’(-2)=-4
- Находим значение функции в точке х0 = -2: у(-2) = 0
- Подставим в уравнение касательной найденные значения и получим ответ: у=-4х - 8
Задание 2. Найти, под каким углом ось ОХ пересекает параболу у=х2 + х (один учащийся решает у доски, остальные в тетрадях).
Решение:
1. Найдем точки пересечения параболы с осью ОХ: х2 + х =0; х= 0, х= -1. Точки пересечения параболы с осью ОХ имеют координаты А(-1;0) и В(0;0);
2. Найдем угловые коэффициенты касательных к параболе в точках А и В:
а) производная функции равна у’=2x + 1,
б) y’(-1) = -1=k1, y’(0) = 1 = k2,
3. Углы, образованные касательными в точках
пересечения параболы с осью ОХ: tg 
1=-1, 1= 1350;
tg2=
1, 2=
450.
Ответ: 1 = 1350, 2= 450.
Задание 3. (самостоятельная работа учащихся):
а) Дана функция ?(x) = x2 – 2х. Напишите уравнение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой х0 = 2.
б) Дана функция ?(x) = 6/(х + 2). Напишите уравнение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой х0 = -4.
в) Дана функция ?(x) = sin 2x . Напишите уравнения
касательных к графику этой функции в точках с
абсциссами х0 = 0 и х0 = / 2 .
Первый пример оценивается оценкой “3”, второй– “4”, третий– “5”. Решение в тетрадях с последующей взаимопроверкой.
Ответы:
а) у = 2х – 4,
б) у = - 1,5х - 9 ,
в) у = 2х и у = -2х + .
1V. Итог урока. Выставление оценок
В начале урока каждому учащемуся выдается оценочный лист, где он отмечает, как выполнил каждое задание из предложенных:
| Нахождение значения производной данной функции | Решение уравнений вида f ‘(x)= 0 | Решение упражнений по теме “Касательная к графику функции” | Итоговая оценка |