Математические функции и их применение к решению физических задач

Тип урока: урок повторения.

Форма работы учащихся: групповая.

Цель урока:

• повысить уровень математических знаний;
• сформировать умение решать физические задачи, используя навыки анализа функциональных зависимостей, составления и решения математических уравнений, проведения алгебраических преобразований и геометрических построений;
• развить логическое мышление.

Задачи урока: показать, что абстрактные математические уравнения и формулы имеют реальное воплощение в физических процессах; осознать единство материального мира.

Подготовка к уроку: разбить класс на группы по 5-6 человек; дать задание на повторение математических функций и их свойств; подготовить карточки-задания для каждой группы.

План урока.

I. Математические функции и их свойства

1) линейная функция y = ax + b;

2) степенная функция вида y = ax² + bx + c;

3) степенная функция вида y = .

II. Решение задач межпредметного содержания на определение вида зависимости величин.

III. Решение и анализ физических задач с линейной зависимостью величин.

IV. Использование степенной функции и ее графиков для решения физических задач.

V. Подведение итогов урока.

Ход урока

Организационный этап. Формулировка цели урока, знакомство учащихся с планом урока, мотивация к деятельности.

Вводное слово учителя. Эпиграфом нашего урока являются слова А. Эйнштейна:

Задачи физики – выявить и понять связи между наблюдаемыми явлениями и установить соотношения между величинами, их характеризующими. Еще в XVIII веке итальянский ученый А.Вольта говорил: “Что можно сделать хорошего, особенно в физике, если не сводить все к мере и степени?”. Количественное описание физического мира невозможно без математики. Математика создает методы описания, соответствующие характеру физической задачи, дает способы решения уравнений физики.

Математические построения сами по себе не имеют отношения к свойствам окружающего мира, это чисто логические конструкции. Они приобретают смысл только когда применяются к реальным физическим процессам. Математик получает соотношения, не интересуясь, для каких физических величин они будут использованы. Одно и то же математическое уравнение можно применить для описания множества физических объектов. Именно эта замечательная общность делает математику универсальным инструментом для изучения всех естественных наук.

I. Математические функции и их свойства.

Представители от каждой группы у доски анализируют свойства математических функций: линейной, квадратичной, степенной вида y = - по плану исследования функций и построения ее графика:

• ООФ;
• множество значений функции;
• область возрастания и убывания функций;
• график функции.

II. Решение задач на определение вида зависимости величин.

Все группы получают одинаковые задания. По окончании работы – самопроверка.

1. Зависимость модуля напряженности поля Е точечного заряда от расстояния r до него задана графиком:



2. Зависимость силы тока I от напряжения U для трех резисторов представлена на графике. Сопротивление какого резистора наибольшее?



а) I;

б) II;

в) III;

г) сопротивления всех резисторов одинаковые.

3. Какой из графиков соответствует зависимости давления, оказываемого идеальным газом на стенки сосуда, от средней кинетической энергии поступательного движения молекул при постоянном объеме?

III. Решение и анализ физических задач с линейной зависимостью величин.

Решение задач в группах, затем представители от групп (поочередно) комментирует ход решения.

Задача 1. Автомобиль, выехавший из пункта А, в настоящее время находится от него в 120 км. На каком расстоянии S от пункта А будет находиться автомобиль через t ч, если он будет двигаться в том же направлении со скоростью 50 км/ч?

[Решение: при равномерном движении тел зависимость между S и t задается формулой S=v_ot+S_o, т.е. выражается линейной функцией S=50t+120, где k=50>0. Функция возрастает, значит автомобиль будет удаляться от пункта А в течение всего времени движения. График – прямая линия, образующая с осью времени острый угол ?. tg? =v_o. Чем больше скорость, тем больше угол наклона графика к оси времени, тем дальше от пункта А будет автомобиль через время t.]

Задача 2. Проанализировать зависимость кинетической энергии фотоэлектронов от частоты падающего излучения.

[Решение: явление фотоэффекта описывается уравнением Эйнштейна h? = А_вых + Е_к.

Отсюда Е_к = h? – А_вых. Зависимость между Е_к и ? выражается линейной функцией вида

у = kx – b, где k = h = tg? угла наклона прямой к оси о?. Следовательно, 1) угол наклона ? графика зависимости Е_к(?) одинаков для всех материалов tg? = h = const; 2) точка пересечения графика с осью о? определяется как -b/k, т.е. А_вых/h => частота падающего излучения, вызывающего фотоэффект, определяется только работой выхода электронов из данного вещества. С физической точки зрения можно рассматривать часть графика, соответствующую положительным значениям Е_к.]

Задача 3. Проанализировать два адиабатных процесса при различных давлениях. Какое значение давления больше.

[Решение: из уравнения Менделеева-Клапейрона для данной массы газа получим , где С==const. Зависимость между V и Т выражается линейной функцией вида y = kx, где k = tg?, ? – угол наклона графика к оси температур. При увеличении р угловой коэффициент уменьшается, поэтому р₂>р₁.]

IV. Использование степенной функции и ее графиков для решения физических задач.

Задача 1. Исследовать зависимость объема V идеального газа от давления р в изотермическом процессе.

[Решение: согласно закона Бойля-Мариотта при постоянной температуре Т произведение давления данной массы газа на его объем постоянно pV = k, где =const. Этот закон можно записать иначе: . Зависимость между p и V выражается степенной функцией вида . Область определения и область значений функции – множество действительных чисел, за исключением нуля. График функции – гипербола. Значения p и V не могут быть отрицательными, поэтому область определения и область значений функции в данном случае есть множество положительных чисел, т.е. ветвь гиперболы расположена

в I четверти. Если в уравнении близок к нулю, то ветви гиперболы приближаются к осям координат; при k>1 ветви гиперболы отодвигаются от осей. Таким образом, при низкой температуре Т₁ ветви гиперболы ближе к осям координат, при Т₂ > Т₁ ветви гиперболы отодвигаются от осей.]

Задача 2. Исследовать зависимость силы тока I от сопротивления R участка цепи при постоянном напряжении U на этом участке.

Задача 3. Дан график скорости движения тела как функции времени. Построить эскизы графиков ускорения, перемещения и пройденного пути как функции времени.

[Решение: судя по графику зависимости v(t) тело совершает неравномерное движение, описываемое уравнением v = v₀ ± at или v = ± v₀t + at, т.е. зависимость между v и t задана линейной функцией вида y = kx + b. Если ускорение а>0, то скорость растет; если а<0, то скорость уменьшается. Тангенс угла наклона графика скорости на всех участках одинаков, следовательно модуль ускорения одинаков во все промежутки времени, меняется только знак - движение равноускоренное.

Зависимость перемещения от времени при равноускоренном движении задается функцией

, т.е. степенной функцией вида y = ax² ± c. На промежутке времени 0-t₁

х? = v >0, значит функция возрастает. Так как в этот промежуток времени а >0, график представляет собой вогнутую параболу. На промежутке времени t₁-t₂ х? = v >0, значит функция возрастает, но а <0, поэтому график представляет собой выпуклую параболу (ветвь параболы направлена вниз). В момент времени t₂ (т.М) х? = v =0, значит т.М – стационарная. На промежутке времени t₂-t₃ х? = v <0, значит функция убывает. Так как а <0, график представляет собой ветвь параболы, направленную вниз. В т.М тело меняет направление движения, х? меняет знак, следовательно т.М – точка max функции. На промежутке времени t₃-t₄ х? = v <0, функция убывает. а >0, значит график – вогнутая парабола. В момент времени t₄ функция опять начинает возрастать.

График зависимости пройденного пути от времени имеет тот же вид, что и график перемещения, а на промежутке времени t₂-t₄ - зеркальное отражение этого графика относительно т.М.

V. Подведение итогов урока. Оценить вклад каждого ученика в работу группы. Оценить работу группы в целом.