Задачи с параметрами

Пояснительная записка

Спецкурс "Решение задач с параметрами" предназначен для учащихся 10–11-х классов физико-математического профиля.

Основной задачей является формирование у учащегося устойчивого интереса к математике, выявление и развитие их математических способностей, ориентация на профессии, существенным образом связанных с математикой, подготовка для поступления в ВУЗ и к обучению в ВУЗе.

Данный спецкурс составлен на основе базового курса математики в 10–11-м физико-математических классах. Он охватывает важнейшие темы школьного курса математики: линейные уравнения и неравенства, квадратный трехчлен, функции, графики, рациональные и иррациональные уравнения и неравенства, системы уравнений, логарифмические и показательные уравнения и неравенства, тригонометрические уравнения и неравенства, производные и интегралы. Но в школьном курсе алгебры задачи с параметрами или почти не рассматриваются, или рассматриваются самые простейшие.

Спецкурс рассчитан на обучение решения задач, содержащих параметры из разных разделов элементарной математике, предполагает рассмотреть основные типы задач и подходы к их решению (например, уравнение имеет единственное решение или наоборот, удовлетворяется всеми допустимыми значениями переменной, или всякое решение одного неравенства является решением другого и т.п.).

следует отметить, что идеи и методы решения задач с параметрами, вынесенные в первых двух темах (линейные уравнения и неравенства, квадратный трехчлен) широко используются при рассмотрении задач следующих тем.

Описание многих математических, физических, экономических и др. закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Однако учебники для средней школы практически не содержат материала, позволяющего научить учащихся решать подобные задачи. Данный спецкурс посвящен формированию основных навыков в решении задач с параметрами.

В процессе изучения данного курса, учащиеся могут овладеть сведениями о практическом применение, умениями, связанными с работой с научно-популярной справочной литературой, элементами исследовательской работы, связанной с поиском, отбором, анализом, обобщением.

Решение задач, а точнее уравнений и неравенств с параметрами открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, формирования логической культуры (то, чего не хватает большинству выпускников), применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале.

 Содержание обучения

Основной задачей спецкурса является формирование у учащихся устойчивого интереса к математике, развитие их математических способностей, ориентации на профессии, существенным образом связанные с математикой, подготовка к обучению в ВУЗе.

I. Уравнения, неравенства и их системы.

Линейные уравнения и неравенства с параметрами. Системы линейных уравнений с параметром. квадратные уравнения с параметрами. исследование знаков корней квадратного уравнения. Задача расположения корней квадратного уравнения. Задача расположения корней квадратного трехчлена.

Системы квадратных уравнений и неравенств с параметром. Параметры в тригонометрических уравнениях и неравенствах. Параметры в показательных уравнениях и неравенствах. Параметры в логарифмических уравнениях и неравенствах. Параметры в иррациональных уравнениях и неравенствах.

II. Свойства функций в задачах с параметрами.

Область значений функций, экстремальные свойства функций. Монотонность. Четность. Периодичность.

III. Задачи с параметрами на производную, исследование функции первообразную в интеграл.

Касательная к кривой. Критические точки, монотонность. Наибольшее и наименьшее значение функции. Оценки. Построение графиков функций. Интеграл.

IV. Методы решения задач с параметрами.

Аналитические решения основных типов задач. Параметр, как равноправная переменная. Геометрические методы решения. Координатная плоскость (х; у). Использование симметрии аналитических выражений. "Выгодная точка".

V. Задачи, связанные с количеством решений уравнений.

Задачи о количестве корней уравнения. Задачи о наличии (отсутствии) решений у уравнения. Задачи о единственности решения. Задачи о равносильности уравнений.

Спецкурс рассчитан на 68 часов (1 час в неделю). 34 часа в 10-м классе и 34 часа в 11-м классе. 

Календарно-тематическое планирование учебного материала (10-й класс)
(1 ч/н., всего 34 часа).

Календарно-тематическое планирование учебного материала (11-й класс)
(1 ч/н, всего 34 часа).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.

1. П.И. Горнштейн, В.Б. Полонский, М.С. Якир. Задачи с параметрами. "Илекса". "Гимназия". Москва–Харьков, 1998 г.
2. Надежкина Н.В. Задачи с параметрами. Параметры в тригонометрии. Иркутск, 2001 г.
3. Г.П. Бояркина, Г.Я. Пащенко. Задачи с параметрами. Учебное пособие. Иркутск, 2001 г.
4. И.Ф. Шарыгин. Решение задач. Москва. "Просвещение", 1994 г.
5. Крамор В.С. Примеры с параметрами и их решения. Москва, "ИНФРА–М., 1997 г.

Урок  № 1. Существование корней квадратного уравнения. Знаки корней.