Открытый урок по математике "Решение квадратных уравнений"

Разделы: Математика

Тип урока:

Комплексное применение знаний, умений, навыков. Изучение и первичное закрепление новых знаний.

Цели урока:

Образовательные:

  • Знакомство учащихся с формулами корней квадратного уравнения.

Развивающая:

  • Обобщение всех способов решения квадратных уравнений. Достоинства и недостатки каждого способа.

Воспитательная:

  • Культура оформления решения уравнения, терпеливость, упорство в достижении цели.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент.

II. Актуализация.

1. Работа с тестом (см. приложение).

2. На примере квадратного уравнения x2 – 4x + 3 = 0 систематизируем все известные способы решения квадратных уравнений, отмечая достоинства и недостатки каждого. (Все решения оформлены в виде плакатов учащимися как домашнее задание и по мере их выступлений остаются на доске).

2.1. Разложение квадратного трехчлена на множители группировкой.

2.2. Разложение на множители квадратного трехчлена, выделив квадрат двучлена и используя формулу сокращенного умножения разность квадратов.

2.3. Графическое решение уравнения, предварительно задав функцию y = x2 – 4x + 3.

2.4. Преобразовав уравнение к виду x2 = 4x – 3 решают его графически.

2.5. Преобразовав уравнение к виду (x – 2)2 = 1 решают его графически.

2.6. Преобразовав уравнение к виду x2 + 3 = 4x решают его графически.

2.7. Преобразовав уравнение к виду x – 4 = - 3/x решают его графически.

2.8. Преобразовав уравнение к виду x2 – 4x = -3 решают его графически.

Отмечаются достоинства и недостатки каждого способа решения квадратного уравнения.

Вывод: ни один из представленных способов не лишен недостатков.

Ставится проблема: существует ли универсальный способ решения квадратных уравнений?

III. Объяснение новой темы.

Рассмотри квадратное уравнение аx2 + bx + c = 0

Группируем 1-е и 2-е слагаемые, выносим за скобку общий множитель a(x2 + bx/a) + c =0

Выделим квадрат двучлена a(x2 + 2bx/2a + b2/4a2) – b2/4a + c = 0

a(x + b/2a)2 – b2/4a + c = 0

a(x + b/2a)2 = (b2 – 4ac)/4a

Разделим уравнение на a = 0

(x + b/2a)2 = (b2 – 4ac)/4a2

Допустим x + b/2a = t, тогда t2 = (b2 – 4ac)/4a2

Обозначим b2 – 4ac = D

Имеем, t2 = D/4a2

Проанализируем данное уравнение.

Выражение 4a2 больше нуля при любом значении a = 0, значит, количество решений уравнения зависит от значений D – дискриминанта.

Но что это за новое понятие? Почему именно оно? Вспомните слово –“дискриминация”. Что оно означает? Оно означает унижение одних и возвеличивание других, т.е. неодинаковое отношение к различным людям. Оба слова (и дискриминант и дискриминация) происходят от discriminans - “различающийся”. Дискриминант различает уравнение по числу корней.

Если D<0, то уравнение t2 = D/4a2 и, соответственно, квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 не имеют корней.

Если D=0, то уравнение имеет 1 корень (двойной кратности).

Если D > 0, то уравнение имеет 2 корня.

t = или t = -

Вернемся к условию x + b/2a = t, тогда имеем

x + b/2a = или x + b/2a = –

x = - b/2a + D/2a или x = - b/2a – D/2a

Объединив решения в единую формулу получим универсальную формулу корней квадратного уравнения

x = ( -b ± D )/2a

Фактически, мы сформулировали правило решения квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0. Кто попробует его сформулировать?

  1. Найти дискриминант уравнения D = b2 – 4ac.
  2. Сравнить значение дискриминанта с нулем и сделать соответствующий вывод:

D<0, уравнение не имеет корней;

D = 0 уравнение имеет один корень двойной кратности.

x = - b/2a

D>0, уравнение имеет два действительных корня

x = (- b ± D )/2a

IV. Первичное закрепление.

Давайте вернемся к исходному уравнению и решим его новым универсальным способом:

x2 – 4x + 3 = 0

a = 1 b = -4 c = 3

D = b2 – 4ac

D = 4, D>0 уравнение имеет два действительных корня.

x = (- b ± D )/2a

x = 3 или x = 1.

Физкультурная пауза.

Дыхательные упражнения; упражнения для позвоночника; упражнения для глаз.

Выполним следующие упражнения из учебника № 806 (а); № 807 (а); № 808 (а); № 811 (г).

V. Домашнее задание. Уметь выводить формулу корней квадратного уравнения; выучить правило решения; № 813 (б г), 817 (б г), 818 (а), 819 (в, г); творческое задание (по желанию) изготовить дидактический материал по теме: “Решения квадратных уравнений”.

VI. Подведение итогов урока.

Учащиеся еще раз повторяют с какими формулами они познакомились на уроке, алгоритм решения квадратных уравнений. Учитель объявляет оценки за работу на уроке. Сообщает о том, что существует еще не один способ решения квадратных уравнений, но об этом на следующем уроке

Литература

  1. Волович М.Б. Наука обучать. - М., linka Press, 1995.
  2. Мордкович А.Г. Алгебра 8-й класс, учебник для общеобразовательных учреждений. – М.. Мнемозина, АО “Московские учебники”, 2001.
  3. Математика. Энциклопедия. Дрофа. 2003.