Цели:
- способствовать формированию навыков исследования функций;
- способствовать развитию навыков самостоятельной работы.
Ход урока
1. Организационный момент.
2. Актуализация знаний.
В клетках таблицы вписаны функции и их производные. Для каждой функции найдите их производные и запишите соответствие номеров клеток. Например: (х5 )'=5х4 , следовательно, 1-9.
Задание в двух вариантах.
| x5 | х | 2х | 1 | 2 |
| x-3 | vх | sin x | 5х4 | -3х-4 |
| 1/х2 | -3 | -sin х | -2/x3 | dx |
| d | cos x | 1/(2vх) | 0 | 12х-5 |
| х7 | 7х6 | -3 | 3vх | -4х-5 |
| 0 | 2sinx | x | -3x | 2cosx |
| 1/x | 42x5 | x-4 | -1/x-2 | -2cosx |
| 20x-6 | 1/(3 3vx2) | -2sinx | 1/3x | 1 |
Взаимопроверка. Критерии оценки: 11 и более правильных ответов – оценка «5»;
10 – 9 – «4»; 8 – 7 – «3»; 6 и менее – «2».
3. В ходе выполнения устных упражнений напомнить учащимся основные вопросы, связанные с исследованием функций:
1) Определите, какие функции являются четными, а какие – нечетными, если f(x)=cosx, g(x)=x2 +x4 , h(x)=x+cosx.
2) Найдите область определения функций f(x)=(x2 -3)/(x-1); g(x)=v(x-4); h(x)=1/x + 3/(x+4).
3) Укажите нули функций f(x)=x2 –x; g(x)=(x+3)(x-1)(x+7); h(x)=sinx.
4. Учащимся предлагается самостоятельно изучить теоретический материал, рассмотреть пример 1 из учебника (А.Н.Колмогоров, стр.147-149), обращая внимание на этапы решения и их запись.
5. Выполнить вместе с учащимися пример: f(x)=x4 -2x2 -3.
Решение. D(f)=R;
f(-x)=(-x)4 -2(-x)2 -3=x4 -2x2 -3; f(-x)=f(x).
Функция f(x)- четная, исследование проводим на промежутке [0;?].
Найдем точки пересечения с осями:
x4 -2x2 -3=0;
а) х2 =у; y2 -2y-3=0; y=0 или y= -1;
б) х2 =3; х=v3 или х= -v3, х2 = -1, нет решения.
М(v3;0), К(-v3;0) – точки пересечения с осью Ох.
В(0;-3) – точка пересечения с осью Оу.
Найдем производную функции f'(x)=4x3 -4x= 4x(x-1)(x+1).
Найдем критические точки функции:
а) f'(x)=0, 4x(x-1)(x+1)=0, x=0 или х=1 или х=-1;
б) f'(x) определена на всей D(f).
Испытаем каждую критическую точку на перемену в ней знака производной:
f'(-2) = -32+8<0;
f'(-1/2) = 4· (-1/2)3 -4 · (-1/2) = -1/2 + 2 > 0;
f'(1/2) = 4· (1/2)3 -4 · (1/2) = 1/2 - 2 < 0;
f'(2) = 4· 8 - 4 · 2 > 0.
Найдем значения функции в точках -1; 0; 1: f(-1) = -4, f(0) = -3, f(1) = -4.
Полученные данные занесем в таблицу:
| х | (-?;-1) | -1 | (-1;0) | 0 | (0;1) | 1 | (1;?) |
| f' | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |
| f |  |
-4 |  |
-3 | |
-4 | |
| min | max | min |
Строим график.
6. Тренировочные упражнения
296(а), 297(а), 301(а), 302(а). Учащиеся решают упражнения самостоятельно. При необходимости обращаются за помощью к консультантам.
7. Задание на дом.
П. 24, № 297 (б, г), 299 (а, в).