Цели урока:
Образовательные – приобщение студентов к самостоятельной практической, творческой деятельности, расширение математического кругозора, реализация межпредметных связей с экономическими дисциплинами и различными отраслями деятельности человека.
Воспитательные – воспитание стремления к совершенствованию знаний, формирование чувства ответственности за результат работы, развитие культуры коллективного общения, способности отстаивать свое мнение, слушать сокурсников, признавать свои ошибки.
Развивающие – формирование навыков частично-поисковой (исследовательской) деятельности, умения анализировать нестандартные ситуации, «читать» графики; развитие познавательного интереса, внимательности и наблюдательности.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, демонстрационный экран, столы и комплекты заданий для участников игры и экспертов, презентация (Приложение 1)
Группа заранее делится на три команды; выбираются капитаны, участники игры предварительно работают с дополнительной литературой по теме «Функция и производная: основные понятия и термины».
Для оценки и контроля объективности игры из числа студентов-старшекурсников приглашаются 3 эксперта-помощника (жюри).
ХОД УРОКА
I. Организационный момент.
Размещение команд и жюри.
Преподаватель (вводное слово):
Наш сегодняшний урок пройдет под девизом «Дорогу осилит идущий, а математику – мыслящий» (Т. Эдисон). Он посвящен основным объектам, изучаемым в математическом анализе: функция, ее производная, графики.
Функции являются основой для построения любой экономико-математической модели, физического процесса. Они играют большую роль в экономическом анализе: показатели предельной производительности, выручки, спроса связаны с понятием предела, следовательно, являются значениями производных соответствующих функций. Как будущие менеджеры и экономисты вы должны научиться «читать» графики, т.е. получать из них максимум информации об изучаемом объекте, а также строить эскизы графиков функций, располагая перечнем свойств.
Урок-игру мы начинаем,
Добрый день, мои друзья!
Три команды на турнире,
Их сейчас представлю я. (Представление команд).
II. Этапы игры:
1. Криптограмма
2. «Решай, ищи, твори и мысли»
3. «Ситуации в жизни бывают такие: бывают сложные, бывают простые…»
4. «Что? Где? Когда?» или «Внимательны ли вы на уроках?»
I этап:
Преподаватель:
Первый тур мы начинаем,
Криптограмму разгадаем.
Всем участникам каждой команды предлагается обобщить и проверить знания в форме криптограммы, составленной по основным понятиям, определениям и терминам, применяемым в дифференциальном исчислении. Заполненная криптограмма представляется экспертам.
Время выполнения: 7 мин.
Максимальная оценка этапа – 6 баллов (за правильно расшифрованный пункт – 0,5 балла). За скорость и правильность задания – 1 балл дополнительно.
Правильно отгадав 12 слов по горизонтали, вы прочтете выделенный по вертикали зашифрованный термин.
- … отношения приращения функции D f (x) к приращению аргумента D x, при условии, что он существует и D x стремится к 0, называется производной функции в точке х.
- Экстремальное значение функции.
- Производная функции f (х) в точке x0 – есть угловой … касательной y = kx + b, проведенной к графику функции в точке x0.
- Множество точек координатной плоскости (x;y), наглядное изображение функции y=f(x).
- Раздел математики.
- Физический смысл производной – … изменения функции.
- Вид числового промежутка ( … возрастания / убывания функции).
- Положительный знак второй производной характеризует … функции.
- Первая из координат точки на плоскости.
- … константы равна нулю.
- Первая русская женщина-математик.
- Научное изучение.
Ключевое слово по вертикали: … – главная часть приращения функции
Проверка осуществляется с помощью слайда (с комментариями) – 2-3 мин.
Ответы:
2 этап «Решай, ищи, твори и мысли»
Преподаватель:
Тур второй: пусть каждый знает,
Кто из вас быстрей решает?
Мне – таблицы вам раздать,
Вам – в них плюсы расставлять.
Каждая команда получает задание-таблицу, в клетках которой нужно знаком «+» указать соответствие “функция – график производной этой функции”[1]. (Время выполнения - 7 мин.). Заполненную таблицу с пояснениями нужно представить на проверку экспертам.
Система оценки: каждый правильный ответ – 0,5 балла. (максимум за задание – 3 балла).
Проверка осуществляется с помощью слайда с устными комментариями 2 мин.
(Ответы к заданию):
| График Функция производная |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 у' = 2 – 3х2 |
+ |
|||||
  у' = х2 + 2 |
+ |
|||||
 у' = х |
+ |
|||||
 у' = 2 - х |
+ |
|||||
| у = 2х – 7 у' = 2 |
+ |
|||||
| у = 2х + х4 у' = 2 + 4х3 |
+ |
3 этап «Ситуации в жизни бывают такие: либо сложные, либо простые…»
Преподаватель:
В курсе математики мы рассматривали прикладное значение производной, вы научились исследовать функции на промежутки монотонности и экстремумы; решать задачи: физические, экономических и другие. Надеюсь, вы справитесь со следующими заданиями.
Чтобы третий тур начать,
Нужно мысли все напрячь.
Будет трудная задача,
Я желаю всем удачи.
Ситуация 1. (общее время выполнения: – 10 мин.)
Преподаватель:
Вот предо мной кривая: абсциссы – это даты;
И следует запомнить, что деньги – ординаты.
Когда звенит в кармане, кривая – на подъем;
Когда карман пустеет, – по ней мы вниз идем.
Когда-то при получке был ход кривой высок,
Но вскоре, volens-nolens, мы шли под изволок.
Все это – в милом прошлом, а нынче – тяжело!
Под ось абсцисс кривую, к несчастью, увлекло.
Конечно, в этой песне не новые слова:
И жизнь дороже стала, и денег-то едва!
Но вам моя кривая поможет подтвердить:
Не трать ты больше денег, чем можешь получить!
Фр. Граф
(из сб. песен Бременского союза архитекторов и
инженеров – СПБ, 1895) [4]
Задание командам: Вооружившись полученными знаниями ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы (за каждый правильный ответ – 0,5 балла):
| Сколько интервалов возрастания на графике? | (команде 1) |
| Сколько интервалов убывания? | (команде 2) |
| Сколько экстремумов имеет кривая? | (команде 3) |
| Сколько критических точек I рода? | (команде 1) |
| Можно ли по данному графику утверждать, что всякая критическая точка является точкой экстремума? | (команде 2) |
| Справедливо ли это утверждение применительно к любой другой функции? | (команде 3) |
| Какой показатель в данном случае является точкой экстремума? | (команде 1) |
| Какой показатель является экстремумом? | (команде 2) |
| С экономической точки зрения экстремум может принимать отрицательные значения? Объясните. | (команде 3) |
Музыкальная пауза.
Преподаватель:
А сейчас, команды, стоп –
«Математический калейдоскоп!»
Кто в терминах не знает затрудненья,
Их назовет нам все без промедленья.
Любой участник поочередно от каждой команды называет на букву П математические термины (за каждый – 0,5 балла, время – 5 мин.).
Преподаватель:
Ситуация 2. (время – 10 мин.).
После старта конькобежец в хорошем темпе набрал скорость и, не снижая ее, пробежал первый круг. На втором круге скорость медленно падала. Третий круг был пройден с нарастающей скоростью и отрицательным ускорением. На последнем круге конькобежец, собрав все силы, быстро увеличил скорость, и с максимальной скоростью закончил дистанцию. [2]
Какой из графиков наиболее точно отражает описанную ситуацию? Объясните (отвечает капитан команды). (Правильный ответ – вариант б)).
Прокомментируйте другие графики прохождения дистанции (задание двум другим командам).
Преподаватель:
Ситуация 3. (время – 10 мин.)
В течение рабочей смены производительность труда рабочего менялась. Опишите динамику производительности труда, пользуясь ее графиком. [2]. (Задание выполняется письменно и представляется экспертам). Устно объясняет первая правильно ответившая подгруппа.
(Ответ: В течение первых 3-х часов производительность (Пт) растет, достигает к концу 3-го часа наибольшего значения v1, и затем к началу обед. Перерыва убывает до v2< v0. После обеда (Пт) достигает максимума v1. В течение оставшегося рабочего времени (Пт) падает все быстрее.
Преподаватель:
Ситуация 4. (время – 7 мин.), оценка: каждый ответ – 0,5 балла (максимум 2 балла).
Каждой команде – свое изображение функции.
Ответ опишите по схеме:
Назовите интервалы возрастания функции.
Назовите интервалы убывания функции.
Имеет ли функция критические точки I рода? Сколько?
Имеет ли функция максимумы и минимумы?
Преподаватель: Заключительный этап нашей сегодняшней игры
4 этап «Что? Где? Когда?» или «Внимательны ли вы на уроках?»
Вам предлагается ответить на вопросы викторины. За правильный ответ – 0,5 балла. Неправильный ответ команды дает право ответа другим командам (время – 6-7 мин.).
Это слово возникло в Др. Греции примерно в V в. до н.э. Происходит оно от слова, что в переводе означает «учение», «знания, полученные через размышления». (Математика)
Ньютон рассматривал произвольные величины, меняющиеся в течение времени и назвал их … Как? (Флюэнтами)
Этот термин в переводе с латинского означает «разность». Назовите его. (Дифференциал)
Этот математик пришел к открытию дифференциального исчисления при решении задачи о построении касательной к любой кривой, заданной своим уравнением.
(Готфрид Вильгельм Лейбниц)
Он пытался строить дифференциальное исчисление алгебраически, пользуясь разложением функций в степенные ряды; ему в частности принадлежит введение термина «производная» и обозначение y’ или f ’(x) (Жозеф Луи Лагранж)
Назовите ученого, который пришел к открытию дифференциального исчисления при решении задач о мгновенной скорости движения материальной точки. (Исаак Ньютон)
Мгновенную скорость изменения переменной величины во времени Ньютон называл … Как?
(Флюксией)
Его имя носит теорема о необходимом условии существования экстремума. (Пьер Ферма)
В честь какого ученого названа прямоугольная система координат? (Рене Декарт)
III. Завершение урока.
IV. Подведение итогов. Награждение команд и участников, выставление оценок
Подошла к концу наша игра. Я надеюсь, что знания, полученные на уроках математики, найдут применение в других дисциплинах, связанных с вашей будущей специальностью. Успехов всем в приобретении профессиональных навыков и творческой энергии! Благодарю всех участников за активную работу и экспертную группу за помощь и объективность оценок!
Литература:
1. Исакова Р.Ш. «Правила дифференцирования» (Материалы Фестиваля педагогических идей).
2. Коршунова Н.И., Плясунов В.С. Математика в экономике: учебное пособие. – М.: Издательство «Вита-Пресс», 1996.
3. Славутский И.Ш. И в шутку и в серьёз о математике. – СПб.: Издательство Центра профессионального обновления «Информатизация образования», 1998.
4. Шейнина О.С., Соловьева Г.М. Математика. Занятия школьного кружка. – М.: «Издательство НЦ ЭНАС», 2004 г.