Тема: “Теоремы Фалеса, Пифагора и Виета в курсе математики 8-го класса”.
Тип урока: систематизация и обобщение знаний.
Форма проведения: деловая игра “Заседание ученого совета”.
Цели:
- ознакомить с биографиями великих ученых, именами которых названы теоремы; формирование умения применять знания при решении задач;
- прививать навыки коллективного труда, культуры общения;
- развивать познавательный интерес к предмету.
Оборудование:
- портреты Фалеса, Пифагора и Виета;
- таблицы к теоремам;
- задачи для устного решения по готовым чертежам;
- плакаты с рисунками к рассказам учителя;
- три головных убора для ученых;
- жетоны в форме звезд;
- тексты для ученых и их учеников.
Структура урока
1. Организационный момент. Постановка цели урока (1').
2. Подготовка к началу игры. Представление ученых, приглашенных на ученый совет. Сообщение правил и условий игры (1').
3. Работа по теме
1. Рассказ о первом ученом (Фалесе) (3').
2. Рассказ учителя о том, как Фалес по тени определил высоту пирамиды (3').
3. Открытия Фалеса (2').
4. Решение задач. Вопросы по теме (5').
5. Рассказ о втором ученом (Пифагоре) (2').
6. Рассказ учителя о Пифагоре (1').
7. Теорема Пифагора (1').
8. Решение задач по теореме Пифагора (5').
9. Рассказ о третьем ученом (Виете) (2').
10. Рассказ учителя о Ф. Виете (1').
11. Теорема Виета (2').
12. Решение задач по обратной теореме Виета (5')
4. Подведение итогов урока. Заключительное слово учителя.
5. Задание на дом (6').
ХОД УРОКА
1. Организационный момент. Постановка цели урока.
Ребята, сегодня у нас один из последних уроков математики в этом году. В 8-м классе вы изучали такие теоремы, без знания которых нет математически образованного человека. Это теорема Пифагора в геометрии и решение квадратных уравнений в алгебре.
Тема урока: “Теоремы Фалеса, Пифагора и Виета в курсе математики 8-го класса”.
Цель сегодняшнего урока: знакомство с биографиями великих ученых, именами которых названы теоремы, повторение теорем, развитие умения применять знания при решении задач.
2. Подготовка к началу игры. Представление ученых, приглашенных на ученый совет. Сообщение правил и условий игры.
Урок пройдет в форме деловой игры “Заседание ученого совета”. Перед вами на доске три портрета ученых, под портретами сидят ребята, которые сегодня будут представлять этих ученых. На первом портрете отец греческой науки Фалес Милетский. Его представляет с “учеником” Фалеса . Ему мы первому дадим слово. На втором портрете – величайший математик древности и наших дней – Пифагор Самосский. Его представляет с “учеником” Пифагора ; и, наконец, на третьем портрете – создатель буквенной символики в алгебре – Франсуа Виет. Представляет Виета с ассистентом . Эти ученые проведут открытий ученый совет.
Вы – все остальные – потомки. Ваша задача – “не ударить в грязь лицом” и показать, что вы помните и знаете их вечные теоремы, т.е. быстро решаете предложенные задачи.
Внимание!
После выступления каждого ученого вам будут предложены задачи для устного решения. За правильный ответ вы получаете награду в виде звезды. Почему, – это тайна. И эту тайну вы попробуете раскрыть. Для этого, потомки, вы должны очень внимательно выслушать учеников и ученых. По количеству звёзд – оценка за урок.
Слово предоставляется первому докладчику.
3. 1. Рассказ о первом ученом (Фалесе).
К 6 веку до нашей эры главным городом греческого государства был Милет.
В это время в Греции был расцвет науки и культуры. Почти все философы Древней Греции тщательно занимались математикой, в частности, геометрией.
Фалес – купец, политический деятель, астроном, математик, живший в Милете, первый доказал ряд геометрических теорем. Эти положения были частично известны еще вавилонянам и египтянам, но в отличие от вавилонской и египетской геометрии, имевшей преимущественно практический характер, греческая геометрия характеризуется стремлением установить, что геометрические факты справедливы в любом случае.
К сожалению, до нас не дошли работы Фалеса и другие первоисточники, относящиеся к раннему периоду развития греческой математики, когда создавались первые математические доказательства. Мы можем судить о том времени только по отдельным отрывкам, сохранившимся в более поздних сочинениях.
Как философ, Фалес учил, что явления мира не случайны, мир не хаотичен, а закономерен. Он считал, что вода есть начало всего. Из нее возникло все существующее и в нее, в конце концов, опять превращается.
Фалес сделал ряд открытий в области астрономии: установил время равноденствий и солнцестояний, определил продолжительность года, впервые наблюдал Малую медведицу. Особую славу ему принесло предсказание солнечного затмения, происшедшего в 585 г. до н. э. Вот почему он был причислен к группе “семи мудрецов древности”.
3. 2. Рассказ учителя о том, как Фалес по тени определил высоту пирамиды.
Есть исторический факт, что Фалес посетил Египет и поразил жрецов своими знаниями.
Усталый северный чужеземец пришел в страну Великого Хапи. Солнце уже садилось, когда он подошел к Великому дворцу и что-то сказал слугам. Те мгновенно распахнули перед ним двери и привели его в приемную залу. И вот он стоит в запыленном плаще, а перед ним в золотом троне сидит фараон. Рядом стоят высокомерные жрецы, хранители вечных тайн природы.
– Кто ты? – спросил верховный жрец.
– Зовут меня Фалес. Родом я из Милета.
Жрец надменно продолжал:
– Так это ты похвалялся, что сможешь измерить высоту пирамиды, не взбираясь на нее?
Жрецы содрогнулись от хохота.
– Будет хорошо, – насмешливо продолжал жрец, – если ты ошибешься не более чем на 100 локтей.
– Я смогу измерить высоту пирамиды и ошибусь на более чем на пол-локтя. Я сделаю это завтра.
Лица жрецов потемнели. Какая наглость! Этот чужеземец утверждает, что может вычислить то, чего не могут они – жрецы великого Египта!
– Хорошо, – сказал фараон около дворца стоит пирамида, мы знаем ее высоту. Завтра проверим твое искусство (приложение 1).
Жрецы и фараон, собравшиеся у подножия величайшей пирамиды, озадаченно смотрели на северного пришельца, отгадавшего по тени высоту огромного сооружения.
Фалес, – говорит предание, – избрал день и час, когда длина собственной его тени равнялась его росту; в этот момент высота пирамиды должна ровняться длине отбрасываемой тени, (приложение 2).
3. 3. Открытия Фалеса.
Фалесу приписывают открытие или доказательство теорем:
- Диаметр делит угол пополам;
- Угол, вписанный в полуокружность, прямой;
- Вертикальные углы равны;
- В равнобедренном треугольнике углы при основании равны;
- Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.
(Чертит на доске во время рассказа учителя). А сейчас – решите задачи.
3. 4. Решение задач. Вопросы по теме.
Устное решение по готовым чертежам (приложения 3, 4, 5, 6, 7, 8). За правильный ответ “ученый” Фалес раздает звезды. “Ученик” отмечает в специальной таблице, напротив фамилии учащегося, каждую новую звезду.
3. 5. Рассказ о втором ученом (Пифагоре).
В списке величайших математиков древности и наших дней на первом месте, безусловно, должен стоять Пифагор. Именно он осуществил коренное преобразование математики, превратил ее из набора полезных правил в абстрактную дедуктивную науку.
О жизни Пифагора сохранились самые отрывочные сведения. Он родился около 570 г. до н.э. на богатом греческом острове Самос. Будучи юношей, стремящимся к знаниям, Пифагор покинул родной остров. Он побывал во всех греческих и во многих чужеземных странах, учился у знаменитых ученых и восторгался чудесами Востока.
Когда Пифагор вернулся на остров Самос, там правил Поликрат. Его тирания была настолько сильна, что Пифагор переехал на Кротон, – остров на юге Италии. Там он основал знаменитый пифагорейский союз, который ставил перед собой не только научные, но и религиозно – этические и политические цели. Деятельность союза была тайной. Доступ в него был открыт не для всех. Своими открытиями нельзя было делиться с теми, кто в этот союз не входил.
В начале 6 века до н.э. после неудачного выступления на политической арене, пифагорейцы были высланы из городов юга Италии, и их союз распался. Но и после этого многие замечательные ученые античности называли себя пифагорейцами. Отделить творчество самого Пифагора от его учеников невозможно, поэтому просто говорят о математике пифагорейцев. Умирая, Пифагор завещал своим ученикам изучать музыку и арифметику.
3. 6. Рассказ учителя о Пифагоре.
Пифагор разделил числа на четные и нечетные (несчастные и счастливые), простые и составные, фигурные, совершенные, дружественные. Еще при жизни Пифагора о нем распространялись легенды. Говорили, что Пифагор умел исцелять больных. Дикие звери позволяли ему гладить их, а реки приветствовали его человеческими головами.
Идеи пифагорейского союза были очень популярны в народе. Пифагор считал землю шаром, движущимся вокруг Солнца. Когда в 16 веке церковь начала ожесточенно преследовать Коперника, его учение упорно именовалось “пифагорейским”.
3.7. Теорема Пифагора.
Мы в своей школе нашли доказательство следующего утверждения:
“В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов”
с 2 = а 2+b 2
В благодарность за это открытие я принес в жертву богам 100 быков. Моя теорема была и остается настолько популярна, что на сегодняшний день известно более 100 доказательств её. Одно из них состоит из одного слова “смотри”. Предлагаю вам решить задачи, в которых используется моя теорема.
3. 8. Решение задач по теореме Пифагора.
Решение задач по теореме Пифагора (приложения 9, 10, 11, 12, 13, 14). За правильный ответ “ученый” Пифагор раздает звезды. “Ученик” отмечает в специальной таблице, напротив фамилии учащегося, каждую новую звезду.
3. 9. Рассказ о третьем ученом (Виете).
Франсуа Виет – крупнейший математик 16 века. Родился в 1540 году во Франции в городе Фонтене-ле-Конт. По образованию юрист. Он много занимался адвокатской деятельностью, а с 1571 по 1584 г. был советником королей Генриха III и Генриха IV. Но все свое свободное время он отдавал занятиям математикой, а также астрономией. Особенно увлеченно он начал работать в области математики с 1584 г. после отстранения от должности при королевском дворе. Виет детально изучил труды, как древних, так и современных ему математиков.
Франсуа Виет по существу создал новую алгебру. Он ввел в нее буквенную символику. Основные его идеи изложены в сочинении “Введение в аналитическое искусство”, в котором предложил преобразовать алгебру в мощное математическое исчисление. Он писал:: “Искусство, которое я излагаю, ново…Все математики знали, что под их алгеброй были скрыты несравненные сокровища, но не сумели их найти: задачи, которые они считали наиболее трудными, совершенно легко решаются с помощью нашего искусства”.
После введения Виетом буквенной символики стало возможным записывать правила в виде формул. Правда у Виета показатели степеней еще обозначались словами, и это создавало определенные трудности в решении некоторых задач. Франсуа Виет подробно изложил в своих трудах теорию решения уравнений с первой по четвертую степень.
3. 10. Рассказ учителя о Ф. Виете.
Расскажу об одном интересном факте биографии Виета.
Когда Виет был на службе у короля Генриха III, он помог ему в расшифровке переписки его врагов с испанским двором. Исследуя попавшие ему в руки письма, Виет раскрыл тайну шифра, состоящего из 500 знаков. Испанцы в страхе утверждали, что на службе у французского короля находится дьявол.
3.11. Теорема Виета.
Вы все знаете, как легко решаются квадратные уравнения. Для нахождения корней используются готовые формулы.
До меня решение квадратного уравнения выполнялось по своим правилам в виде очень длинных словесных рассуждений и описаний, довольно громоздких действий. Даже само уравнение не могли записать, для этого требовалось довольно длинное и сложное словесное описание.
Я ввел термин “коэффициент”. Предложил искомые величины обозначать гласными, а данные – согласными. Благодаря моей символике можно записать квадратное уравнение в виде: ax2+bx+c =0.
Теорема: Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Для устного нахождения корней вы применяете теорему, обратную этой:
Если числа p, q, x1, x2 таковы, что х1+х2 = –р,
х1*х2 = q,
то х1, х2 – корни уравнения х2+рх+q = 0.
А сейчас – решите устно уравнения.
3.12. Решение задач по обратной теореме Виета.
Решение уравнений устно (приложение 15). За правильный ответ “ученый” Виет раздает звезды. “Ассистент” отмечает в специальной таблице, напротив фамилии учащегося, каждую новую звезду.
4. Подведение итогов урока. Заключительное слово учителя.
5. Задание на дом.
Сегодня мы с вами еще раз вспомнили великих математиков. Их теоремы – плоды всей их жизни. Решали задачи на применение теорем, тем самым, показывая, что они востребованы и по сей день. Значит, труд великих математиков был не напрасным.
Давайте подсчитаем количество звезд, заработанных вами. (Результат заносится в таблицу). Если у вас больше 2 звезд – оценка “5”. Поднимите руки, у кого “пять”.
Кто-нибудь догадался, почему жетоны в виде звезд? (Увлечение астрономией.)
Домашнее задание:
Найти биографию Герона (формула Герона), Декарта (декартова система координат).