Урок-семинар "Арифметическая прогрессия"

ТИП УРОКА: урок применения знаний на практике.

ФОРМА УРОКА: урок-семинар.

ОФОРМЛЕНИЕ И ОБОРУДОВАНИЕ УРОКА:

• На доске – зашифрованный лозунг - тема урока.
• Плакаты-таблицы.
• Раздаточный материал- листок №1, листок №2.

ЦЕЛЬ: Обобщение и систематизация знаний учащихся по данной теме, знакомство с историческим материалом, решение различных “нестандартных” задач.

ЗАДАЧИ УРОКА:

1. Научить оперировать имеющимся потенциалом знаний.
2. Развивать умения видеть и применять изученные закономерности в нестандартных ситуациях.

ПОДГОТОВИТЕЛЬНАЯ РАБОТА: За одну неделю до урока несколько учеников получили задания: решить задачу, подготовить занимательный теоретический материал.

ХОД УРОКА

1. Организационная часть.

Вступительное слово учителя: “Мы изучили тему “Арифметическая прогрессия”, познакомились с формулами, прорешали различные задачи. Сегодня мы с вами обобщим и систематизируем полученные знания, а также ребята из вашего класса предложат вам решения интересных задач, разобранных ими самостоятельно дома. Но сначала, мы повторим теорию. Вам раздали листки-заготовки №1 по проверке теории (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 1). Запишите на выданных листках ответы на вопросы, продолжите формулы.

2. Класс работает на листках-заготовках.

3. Подготовка к самостоятельной работе.

Слова учителя:

Изучена данная тема,
Пройдена теории схема,
Вы много новых формул узнали,
Задачи с прогрессией решали.
И вот в последний урок
Нас поведет
Красивый лозунг
“ПРОГРЕССИО - ВПЕРЕД” (не произносим его).

А вот какой лозунг, вы сейчас мне поможете расшифровать. На доске зашифрована формулировка лозунга:

“-45 30 -57 -380 30 210 -620 -620 5 -57 - -4 -45 210 30 210 -2”.

Решив самостоятельную работу, выполнив каждое задание, вы узнаете - каким числом зашифрована каждая буква. Задания самостоятельной работы у вас на листах №2 (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 2). По мере выполнения задания, сдаем листки на проверку.

4. Класс решает самостоятельную работу (10 минут).

После того, как листки с результатами самостоятельной работы собраны, расшифровываем лозунг, выборочно спрашивая у учеников полученные ответы.

5. Историческая справка.

Слова учителя:

Ребята, закончился ХХ век, а вот термин “прогрессия” был введен римским автором Боэцием еще в IV в. н.э. От латинского слова progressio – “движение вперед”. Первые представления об арифметической прогрессии были еще у древних народов. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания как их решать. Считалось, что в древнеегипетском папирусе Ахмеса находилась древнейшая задача на прогрессии о вознаграждении изобретателя шахмат, насчитывающая за собою двухтысячелетнюю давность. Но есть гораздо более старая задача о делении хлеба, которая записана в знаменитом египетском папирусе Ринда. Папирус этот, разысканный Риндом полвека назад, составлен около 2000 лет до нашей эры и является списком с другого, еще более древнего математического сочинения, относящегося, быть может, к третьему тысячелетию до нашей эры. В числе арифметических, алгебраических и геометрических задач этого документа имеется такая, которую мы приводим в вольной передаче (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 1). Прочитайте внимательно условие на листке №3. Откройте тетради, запишите число, тему урока. Приготовились слушать и записывать решение этой интереснейшей задачи, которую разобрал Ученик 1.

6. Решение задачи Учеником 1.

Решение задачи: Очевидно, количество хлеба, полученные участниками раздела, составляют возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть первый ее член x, разность y. Тогда:

• Доля первого — x,
• Доля второго — x+y,
• Доля третьего — x+2y,
• Доля четвертого — x+3y,
• Доля пятого — x+4у.

На основании условия задачи составляем следующие 2 уравнения:

После упрощений

первое уравнение получает вид:	x+2y=20,
а второе :	11x=2y.

Решив эту систему, имеем:

x=1; y=9 .

Значит, хлеб должен быть разделен на следующие части:

1; 10; 20; 29; 38.

7. Историческая справка.

Слова учителя:

Конечно же, в Древнем мире не пользовались нашими стандартными понятиями и формулами. Мы в этой задаче воспользовались для ее решения формулой вычисления суммы n-первых членов арифметической прогрессии. Впервые, эта формула была доказана древнегреческим ученым Диофантом (III в. н. э.). Правило отыскания суммы n-первых членов произвольной арифметической прогрессии встречается в “книге Абаки” Л. Фибоначчи (1202г.). Много в этой области работал знаменитый немецкий математик К.Гаусс (1777 г.-1855г.). Он еще в детстве за 1 минуту сложил все числа от 1 до 100, увидев ту же закономерность, что и мы с вами на предыдущем уроке. Но, несмотря на пятидесяти вековую древность различных задач на прогрессии, в нашем школьном обиходе прогрессии появились сравнительно недавно. В первом учебнике “Арифметика” Леонида Филипповича Магницкого, изданном двести лет назад и служившем целых полвека основным руководством для школьного обучения, прогрессии хотя и имеются, но общих формул, связывающих входящие в них величины между собою, в нем не дано. Поэтому сам составитель учебника не без затруднений справлялся с такими задачами.

Между тем, формулу суммы членов арифметической прогрессии легко вывести простым и наглядным приемом с помощью клетчатой бумаги. Это нам покажет Ученик 2 сейчас. Внимание на доску.

8. Выступление Ученика 2.

На клетчатой бумаге любая арифметическая прогрессия изображается ступенчатой фигурой (ученик рисует на доске ступенчатую фигуру или вывешивается заготовленный плакат (см. рис. 1)).

Рис. 1

Чтобы определить сумму ее членов, дополним чертеж до прямоугольника ABGE. Получим две равные фигуры ABDC и DGEC. Площадь каждой из них изображает сумму членов нашей прогрессии. Значит, двойная сумма прогрессии равна площади прямоугольника ABGE, т. е. (AC+CE) AB.

Но AC+CE изображает сумму 1-го и n-го членов прогрессии; AB - число членов прогрессии. Поэтому двойная сумма

2S=(сумма крайних членов)(число членов) или

S=.

9. Обобщение.

Слова учителя:

Итак, небольшая экскурсия в историю завершена. И мне хочется еще раз подчеркнуть вам, что задачи на прогрессию - это не абстрактные формулы. Они берутся из самой нашей жизни, связаны с ней и помогают решать некоторые практические вопросы. Сейчас такую задачу предложит вам Ученик 3. Прочитайте её условие на листке № 3 (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 1). Предположим, что мы поливаем огород…

10. Решение задачи Учеником 3.

Решение задачи: Для поливки первой грядки огородник должен пройти путь 14+16+2,5+16+2,5+14=65 м.

При поливке второй он проходит 14+2,5+16+2,5+16+2,5+2,5+14=65+5=70 м.

Каждая следующая грядка требует пути на 5м длиннее предыдущей. Имеем прогрессию: 65; 70; 75;…; 65+529.

Сумма её членов равна =4125м.

Огородник при поливке всего огорода проходит путь в 4,125 км.

11. Занимательное свойство арифметической прогрессии.

Слова учителя:

А теперь, рассмотрим еще одно свойство членов арифметической прогрессии. Оно, скорее всего, занимательное. Расскажет о нем Ученик 4.

Выступление Ученика 4.

На доске написана “стайка девяти простых чисел”

199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1889, 1879.

Она представляет собой арифметическую прогрессию. Кроме того, данная стайка чисел привлекательна способностью разместиться в девяти клетках квадрата 33 так, что образуется магический квадрат с константой, равной разности двух простых чисел: 3119-2

Знаете ли вы, что такое магический квадрат? Квадрат, состоящий из 9 клеток, в него вписывают числа, так чтобы сумма чисел по вертикали, горизонтали диагонали была одним и тем же числом- constanta.

Замечание об арифметической прогрессии само по себе очень интересно. Дело в том, что из каждых девяти последовательных членов любой арифметической прогрессии натуральных чисел можно составить магический квадрат.

В самом деле, пусть дана арифметическая прогрессия: a, a+d, a+2d, a+3d, …, a+8d, где a и d натуральные. Расположим её члены в таблицу.

Нетрудно видеть, что получился магический квадрат, константа C которого равна 3a+12d

Действительно, сумма чисел в каждой строке, в каждом столбце и по каждой диагонали квадрата равна 3a+12d.

12. Решение нестандартных задач.

Решение Учеником 5.

Вычислите выражение 1 .

100- 99+98- 97+…+ 2-1.

Группируем по 2 слагаемых по ФСУ. Получаем выражение: 199+195+191+…+7+3=5050 арифметическая прогрессия a₁=-3, a₅₀=199.

Вычислите выражение 2.

(1+ 3+5+…+199)-(2+ 4+…+200). Раскроем скобки, преобразуем выражение 1-2+3-4+…+199-200= -3-7-11-…-399=-20100 арифметическая прогрессия a₁ =-3, a₁₀₀=-399.

13. Постановка домашнего задания.

Повторение теоретического материала.

Решение уравнения. (x+x+1)+(x+2x+3)+(x+3x+5)+…+(x+20x+39)=4500,

где a₁=x+x+1, d=x+2, a_n=x+20x+39. Здесь мы видим арифметическую прогрессию, определите количество членов, преобразуйте по формуле суммы n первых членов арифметической прогрессии. Правильное решение разберем на следующем уроке.