Урок по теме "Статистические регрессионные модели. Прогнозирование с помощью этих моделей"

Разделы: Информатика

Класс: 11, профиль: физико-математический, экономический.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цели урока:

  • образовательная: ввести понятие статистических регрессионных моделей, тренда, научить строить регрессионные модели в среде ТП Excel.
  • развивающая: расширить кругозор, учить применять знания в исследовательской и творческой деятельности.
  • воспитательная: воспитывать активность в решении творческих задач, отстаивание собственного суждения, мнения.

Оборудование: мультимедийный проектор, ПК с установленной программой Excel.

Ход урока

I. Организационный момент.

Сегодня я хочу предложить вам поговорить о моделировании, вспомнить понятие информационной модели и изучить новый вид моделей: это – регрессионные статистические модели.

II. Актуализация знаний.

Давайте дадим общее определение модели.

Модель – это упрощенное подобие реального объекта.

Как можно классифицировать модели?

Посмотрим одну из классификаций:

Модели

Натурные или материальные – передают свойства и признаки объекта с целью:

а) создания чувственного образа (игрушка);

б) проведения с этой моделью каких-либо физических действий, испытаний (эталонная пара обуви).

2) Информационные – призваны воздействовать на мышление, т.е. на абстрактное восприятие. В них передается информация о существенных свойствах и признаках объекта.

3) Идеальные – складываются в сознании каждого конкретного человека. Эти модели субъективны – индивидуальное представление геометрической точки, идеального газа, бесконечности может значительно отличаться у разных людей.

Задание: Определите, какие из следующих моделей являются информационными.

(Демонстрируется слайд презентации. Приложение 1)

  • Математические формулы
  • Уравнения химических реакций
  • Манекен
  • Компьютерная программа
  • Программа телевидения
  • Авиамодель
  • Оглавление книги
  • Игрушечные часы
  • Эталон килограмма
  • Блок-схема алгоритма

Информационные модели необходимы для “наведения мостов” между внутренними представлениями разных людей, обмена знаний между ними. Использование общего языка (разговорного, математического и пр.) при построении информационной модели делает ее объективно существующей. Ее можно изучать, передавать, хранить и т.д.

Какие бывают информационные модели?

  • вербальные (словесные)
  • табличные
  • графические
  • математические (аналитические)

(Демонстрируется слайд презентации. Приложение 1).

Давайте попытаемся смоделировать путь свободно падающего тела (без начальной скорости).

Вам вспомнилась формула: S=gt2/2. Это математическая модель. Используя эту формулу, мы можем построить таблицу, в которой отобразим зависимость переменной S от t. Это будет табличная модель. Также можно построить графическую модель свободно падающего тела. (Демонстрируется слайд из презентации. Приложение 1).

Время
(с)		 1 2 3 4 5 6
Путь (м) 9,8 39,2 88,2 156,8 245 352,8

Рисунок 1.

Все это мы смогли сделать, потому что из курса физики нам известна зависимость S от t для свободно падающего тела. Но, если обратиться к истории, то станет ясно, что человек не всегда обладал знаниями об этой информационной модели.

Кем же было исследовано свободное падение тел?

Существует легенда о том, что, изучая свободное падение тел, Галилео Галилей отпускал разные шары с высокой наклонной башни в г. Пиза. Наблюдая за их падением и выполняя при этом необходимые измерения, Галилео Галилей установил законы падения тел. (Демонстрируется слайд из презентации. Приложение 1).

III. Формирование новых знаний, умений.

Данные измерений, полученные Галилеем, носили массовый характер, т.е. их было достаточно много. В дальнейшем они были обобщены и проанализированы. Таким образом собранные данные называются статистическими.

Существует специальная наука статистика.

Статистика – это наука о сборе, измерении и анализе массовых количественных данных.

Статистические данные:

  • всегда являются приближенными, усредненными, носят оценочный характер, однако, они верно отражают характер зависимости величин.
  • для достоверности результатов, полученных путем анализа статистических данных, этих данных должно быть много.

Статистика опирается на сложные математические методы и расчеты, но в арсенале ТП Excel заложены возможности использования этих методов.

Рассмотрим пример: Наиболее сильное влияние на рост заболеваемости бронхиальной астмой производит угарный газ.

Цель: выявить эту зависимость.

Действия:

Подготовительный этап: собираем данные из разных городов о средней концентрации угарного газа в атмосфере и о заболеваемости астмой (количество больных на тысячу человек).

Этап моделирования:

  1. строим таблицу.
  2. строим точечную диаграмму по данным таблицы. (Рисунок 2.)

Рисунок 2

подбираем функцию, график которой пройдет как можно ближе к экспериментальным точкам.

Строить функцию так, чтобы график точно проходил через все точки, не имеет смысла, т.к.:

  • функция примет довольно сложный вид
  • собранные нами данные носят приближенный характер

Основные требования к функции:

  • функция должна иметь простой вид
  • отклонения графика функции от экспериментальных точек должны быть минимальны.

Один из методов подбора такой функции и вычисления ее параметров был предложен в XVIII веке немецким математиком Карлом Гауссом. Он называется метод наименьших квадратов. Как и все методы математической статистики он не является простым для исполнения.

(Демонстрируется слайд из презентации. Приложение 1).

Полученную функцию, график которой приведен на рис. 3, называют регрессионной моделью.

Рисунок 3

Область определения данной функции – концентрация угарного газа в атмосфере.

График регрессионной модели называется трендом.

Trend (англ.) – общее направление, тенденция.

Чтобы можно было определить, насколько удачной будет регрессионная модель, вводится величина R2 : коэффициент достоверной аппроксимации.

0< R2 <1. R2 должен стремиться к 1 для удачно подобранной функции.

4. копируем точечную диаграмму три раза.

У нас получилось четыре заготовки с изображением точечной диаграммы зависимости уровня заболеваемости от концентрации угарного газа в атмосфере.

  • Далее выполняем следующие действия:
  • щелкнуть левой кнопкой мыши по полю диаграммы;
  • выполнить команду => Диаграмма => Добавить линию тренда;
  • в открывшемся окне на закладке “Тип” выбрать “Линейный тренд”;
  • перейти к закладке “Параметры”; установить галочки на флажках “показывать уравнения на диаграмме” и “поместить на диаграмму величину достоверной аппроксимации R^2”, щелкнуть по кнопке ОК.

Диаграмма готова. Смотри приложение 2.

Аналогично получаем другие типы трендов: экспоненциальный и квадратичный (полиномиальный тип функции с указанием степени 2)

R2 ближе всего к 1 у квадратичной модели. Значит, она самая удачная. А самая неудачная – линейная модель.

Для чего же нам нужно выявлять эти зависимости (создавать модели)?

  1. для объяснения явлений и процессов.
  2. для прогнозирования процессов.
  3. для управления процессами.
  4. мы будем прогнозировать по модели.

Прогноз бывает двух видов:

  1. восстановление значения внутри области экспериментальных данных (интерполяция)
  2. продолжение линии тренда за границы экспериментальных данных (экстраполяция)

На четвертой диаграмме прогнозируем на 2 единицы вперед.

  • на вкладке “Параметры” в области “Прогноз” в строке “вперед на” установить 2 единицы.

Далее в таблице исходных данных тоже попытается осуществить прогноз. Заводим данные о концентрации угарного газа: 5,5; 6; 6,5; 7; 7,5; 8; 8,5; 9 мг/куб.м, и для г. Калуги 3 мг/куб.м. В область значений заводим регрессионную модель (математическую функцию y=21,845x2-106,97x+150,21)

С экстраполяцией надо быть осторожными, т.к. применимость любой регрессионной модели ограничена, особенно, за пределами экспериментальной области.

Например, если С=9 мг/куб.м., то Р приблизительно равно 1000 больных.

В таких крайних случаях система находится в неравновесной, неопределенной ситуации. Точки, вблизи которых резко усиливается хаотическое развитие системы, называются точками бифуркации. Модель перестает быть адекватной ситуации. Нужны новые экспериментальные данные и, возможно, новая модель.

IV. Использование полученных знаний в других ситуациях.

Давайте обратимся еще к одному примеру: проследим рост численности населения Земли. (демонстрируется слайд презентации)

При анализе данной модели наглядно видно, что ветвь графика уходит в бесконечность между 2010 и 2025 годами. Как можно это интерпретировать? Очевидно, что здесь мы имеем дело с точкой бифуркации, т.е. система хаотична. По данной модели прогнозировать численность населения Земли нельзя. Можно говорить только о разного рода предсказаниях.

V. Подведение итога урока.

VI. Домашнее задание.

Подберите свои примеры практических задач, где можно было бы использовать полученные знания.

Список использованной литературы:

  1. И.Семакин, Е.Хеннер, Информатика 11 класс, М.: БИНОМ Лаборатория Знаний, 2002.
  2. Информатика в школе: Приложение к журналу “Информатика и образование”, №1- 2005.- М.: Образование и Информатика, 2005.
  3. Компьютерный еженедельник “Компьютера” №32-2006. Статья В. Гуриева “После завтра 2006-2100”.

Приложение 2