Предложенный урок разработан на основе системы развивающего обучения. Вашему вниманию на примере введения определения квадратного уравнения наглядно представлена реализация всех восьми основных этапов урока, направленного не только на усвоение нового материала, но и на его понимание и осознание.
После каждого вопроса или задания учителя в скобках представлены правильные ответы и решения, ожидаемые от учащихся.
Математический анализ определения понятия квадратного уравнения.
Определение.
Квадратным уравнением называют уравнение вида
ах
+вх+с=0, где х
- неизвестное, а, в, с - действительные числа, где: а
0.
Родовое понятие - уравнение.
Видовые отличия:
1) имеет вид ах
+вх+с=0
(х - неизвестное; а, в, с - действительные числа);
2) а
0.
Определение имеет конъюнктивную структуру, так как видовые отличия разделены запятой (что равносильно союзу "и").
Смысл определения: знание определения квадратного уравнения необходимо при решении некоторых сюжетных задач, при решении квадратных неравенств и их систем, к тому же многие физические зависимости выражаются квадратичной функцией, при исследовании которой нужно знание определения квадратного уравнения.
Происхождение: понятие квадратного уравнения связано с понятием квадрата числа и с понятием квадратного корня.
Ход урока
Этап актуализации знаний.
Учитель предлагает классу решить следующую задачу:
Конверт с новогодней открыткой стоит 17 рублей. Конверт дешевле открытки на 5 рублей. Найти стоимость открытки.
Решение:
Пусть х рублей - стоимость открытки, тогда (х-5) рублей - стоимость конверта. Составим и решим уравнение:
х + (х-5)=17,
2х - 5=17,
2х=22,
х=11.
Ответ: открытка стоит 11 рублей.
- Как вы решали эту задачу?
(Исходя из условия задачи, мы составили и решили уравнение)
- А что называется уравнением?
(Уравнением называется равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой)
- Как называется уравнение, которое вы составили при решении данной задачи?
(Это линейное уравнение).
Этап мотивации учащихся.
Учитель предлагает классу решить еще одну задачу:
Найдите два последовательных натуральных числа, квадрат суммы которых больше суммы их квадратов на 112.
Ребята решают указанную задачу в парах (в группах):
пусть х - одно из искомых натуральных чисел, тогда (х+1) - другое искомое натуральное число. Исходя из условий задачи, запишем уравнение
(х+(х+1))
- 112 = х
+ (х+1)
.
Преобразовав полученное выражение, ученики придут к уравнению
х
+
х - 56 = 0.
На этом этапе у детей возникает затруднение, поскольку с уравнениями подобного вида они еще не встречались.
Этап постановки учебной задачи.
- Итак, с подобными уравнениями мы еще не знакомы. Какая же перед нами возникает задача?
(Дать определение этому уравнению и в дальнейшем изучить его свойства).
Этап планирования изучения и преобразования условий поставленной задачи.
- Что значит дать определение понятия?
(Надо:
1) дать название этому объекту (или ввести новый термин),
2) указать ближайшее родовое понятие,
3) выделить его свойства,
4) составить модель понятия).
План записывается на доске.
Этап моделирования.
- Давайте ответим на поставленные вопросы. Как
вы предлагаете назвать такое выражение (х
+ х - 56 =
0)?
(Дети, очевидно смогут определить данное выражение как квадратное уравнение, поскольку они уже знакомы с понятиями уравнения и линейного уравнения. Если же этого не произойдет, то новый термин должен ввести учитель).
- Ну а на второй вопрос мы с вами уже ответили. Какое же у данного объекта (в смысле у квадратного уравнения) ближайшее родовое понятие?
(Уравнение).
- А теперь попытайтесь в парах составить модель квадратного уравнения. Иными словами: запишите квадратное уравнение в общем виде.
Возможно, ученики предложат следующие модели:
х
+ х + с = 0 (1)
х+ вх + с = 0 (2)
ах+ вх + с = 0 (3)
. . .
Этап преобразования модели.
Все модели, полученные учениками, выписываются на доску.
- А теперь давайте обсудим результаты вашей работы. Обратимся к (1) модели. Пусть тот, кто составил эту модель, объяснит нам ход своих рассуждений.
(Ученик, скорее всего, сошлется на задачу,
которую им предложил учитель на этапе мотивации:
эта задача свелась к уравнению вида х
+ х - 56 =
0).
Тогда учитель запишет на доске: 5х
- 4х - 56 =
0.
- Что это такое?
(Это квадратное уравнение).
- Подходит ли к нему предложенная модель?
(Нет).
Таким образом, ученики приходят к правильной
модели (3): ах
+ вх + с = 0.
- Ответьте на вопрос: чем характеризуется любое уравнение?
(В любом уравнении есть неизвестное число, обозначенное буквой).
- Что в нашей модели играет роль неизвестного?
(Икс).
- А что такое а, в и с?
(Это числа).
- Может ли быть такое: а=0?
(Нет, так как уравнение при а=0 не будет квадратным).
- Подведем итог. Сформулируйте определение квадратного уравнения.
(Квадратным уравнением называется уравнение
вида ах + вх + с = 0 , где а, в и с - заданные числа, а
0, х -
неизвестное)
На доске и у учеников в тетрадях появляются следующие записи:
1. ах + вх + с = 0 |
||
| УРАВНЕНИЕ | (х - неизвестное) | - КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ. |
2. а 0 |
- Теперь давайте запишем тему урока.
Учитель на доске, а ученики в тетрадях записывают тему урока "Понятие квадратного уравнения".
Этап отработки.
№1. Какие из следующих уравнений являются квадратными:
а) 17 - 4х + 5х
= 0,
б) 17х + 24 = 0,
в) 3х
г) х - х
д) 26 - 13х= 0.
№2. Сможете ли вы записать квадратное уравнение, если его коэффициенты таковы:
а) а=2, в=3, с=4,
б) а=1, в=-5, с=0,
в) а=3, в=0, с=-9,
г) а=0, в=5, с=4,
д) а=1, в=0, с=0.
Рефлексивно-оценочный этап.
Учитель подводит итоги урока, выслушав ответы учащихся на следующие вопросы.
- Повторите определение квадратного уравнения.
- Зачем мы ввели понятие квадратного уравнения?
- Что бы вы хотели еще узнать о квадратном уравнении?