Изучение темы “Интегральное исчисление для функций одной переменной”.
Программа курса “Математический анализ” (6ч в неделю) включает в себя важный раздел “Интегральное исчисление для функций одной переменной”. В этом разделе желательно рассмотреть следующие вопросы.
1. Неопределенный интеграл.
Первообразная функция. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
2. Определенный интеграл.
Определение определенного интеграла. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона – Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям.
3. Приложения определенного интеграла.
Вычисление площади с помощью интеграла в декартовых координатах. Вычисление объема с помощью интеграла. Использование интеграла в физических задачах.
Рассмотрим возможные упражнения для самостоятельной работы учащихся.
Тема: Первообразная. Неопределённый интеграл.
№1. Найдите две первообразные для функции на указанном промежутке:
а)
б)
№2. Является ли функция первообразной для функции
на
промежутке
№3. Для функции найдите первообразную, график
которой пересекает ось
в точке с абсциссой 4.
№4. Найдите ту первообразную функции график
которой касается прямой
№5. Найдите те первообразные функции
графики которых имеют с графиком функции
ровно
две общие точки.
№6. Найдите функцию, если угловой коэффициент
касательной к её графику в точке с абсциссой определяется
по формуле
а график проходит через точку
№7. Точка движется прямолинейно с ускорением
Найдите закон движения точки, если в момент
её
скорость равна 10
а координата равна 8м.
№8. Пользуясь основной таблицей интегралов, вычислите следующие интегралы:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
№9. Пользуясь свойствами неопределённого интеграла, вычислите следующие интегралы:
а)
б)
в)
г)
д)
№10. Вычислите интегралы, используя следующее
правило интегрирования:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
№11. Вычислите интегралы, выделив “целую часть” подынтегральной дроби:
а)
б)
;
в)
;
г)
д)
Тема: Замена переменной в неопределённом интеграле.
№1. Вычислите интегралы, пользуясь введением функций под знак дифференциала:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
№2. Вычислите интегралы, используя для функций
вида
подстановку
а)
б)
в)
г)
№3. Вычислите интегралы, используя понятие дифференциала функции:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
№4. Вычислите интегралы, используя формулы тригонометрии:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
Тема: Интегрирование по частям.
№1. Вычислите интегралы, принимая за
алгебраическую функцию:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
№2. Вычислите интегралы:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
к)
л)
.
Тема: Метод неопределённых коэффициентов при вычислении интегралов.
№1. №2.
№3.
№4. №5.
Тема: Определённый интеграл.
№1. Вычислите интеграл:
а)
б)
в)
г)
; д)
;
е) ;
ж)
№2. Дана функция Вычислите
№3. Пользуясь геометрической интерпретацией интеграла, вычислите:
а)
б)
№4. При каких верно равенство
№5.При каких верно неравенство
№6. Решите уравнение если
Тема: Приложение определённого интеграла.
№1. Найдите площадь криволинейной трапеции,
ограниченной графиком функции осью
абсцисс и прямыми
№2. Найдите площадь фигуры, ограниченной
графиком функции и прямыми
№3. Найдите площадь фигуры, ограниченной
графиками функций
№4. Найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями
№5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной
линиями и
№6. Найдите площадь фигуры, ограниченной
графиком функции и касательной к этому графику в его
точке с абсциссой 2.
№7. Найдите объём тела, образованного вращением
вокруг сегмента параболы
отсечённого прямой
№8. Найдите объём тела, образованного вращением
вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной
цепной линией
№9. Найдите длину цепной линии
№10. Вычислите площадь фигуры, ограниченной
параболами
№11. Найдите объём тела, образованного
вращением вокруг оси плоской фигуры,
ограниченной окружностью
и параболой
№12. Найдите площадь поверхности шара радиуса
Рассмотрим решение некоторых заданий темы “Интегрирование по частям”. Приложение1.
Литература.
- Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа. Т.1, 2. - М.: “Просвещение”, 1972.
- Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский В.Н. Сборник задач по математическому анализу. - М.: “Просвещение”, 1973.
- Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: “Наука”, 1972.
- Мордкович А.Г., Мухин А.Е. Сборник задач по введению в анализ и дифференциальному исчислению функций одной переменной. - М.: “Просвещение”, 1985.
- Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 1, 2. – М.: “Наука”, 1968.