Изучение темы “Интегральное исчисление для функций одной переменной”.
Программа курса “Математический анализ” (6ч в неделю) включает в себя важный раздел “Интегральное исчисление для функций одной переменной”. В этом разделе желательно рассмотреть следующие вопросы.
1. Неопределенный интеграл.
Первообразная функция. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
2. Определенный интеграл.
Определение определенного интеграла. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона – Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям.
3. Приложения определенного интеграла.
Вычисление площади с помощью интеграла в декартовых координатах. Вычисление объема с помощью интеграла. Использование интеграла в физических задачах.
Рассмотрим возможные упражнения для самостоятельной работы учащихся.
Тема: Первообразная. Неопределённый интеграл.
№1. Найдите две первообразные для функции на указанном промежутке:
а) 
б) 
№2. Является ли функция 
первообразной для функции
на
промежутке 
№3. Для функции 
найдите первообразную, график
которой пересекает ось 
в точке с абсциссой 4.
№4. Найдите ту первообразную функции 
график
которой касается прямой 
№5. Найдите те первообразные функции 
графики которых имеют с графиком функции 
ровно
две общие точки.
№6. Найдите функцию, если угловой коэффициент
касательной к её графику в точке с абсциссой 
определяется
по формуле 
а график проходит через точку 
№7. Точка движется прямолинейно с ускорением 
Найдите закон движения точки, если в момент 
её
скорость равна 10 
а координата равна 8м.
№8. Пользуясь основной таблицей интегралов, вычислите следующие интегралы:
а)
б)
в) 
г) 
д) 
е) 
ж) 
№9. Пользуясь свойствами неопределённого интеграла, вычислите следующие интегралы:
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
№10. Вычислите интегралы, используя следующее
правило интегрирования: 
а) 
б) 
в)
г) 
д) 
е) 
№11. Вычислите интегралы, выделив “целую часть” подынтегральной дроби:
а) 
б) 
;
в) 
;
г) 
д)
Тема: Замена переменной в неопределённом интеграле.
№1. Вычислите интегралы, пользуясь введением функций под знак дифференциала:
а) 
б) 
в)
г) 
д) 
е)
№2. Вычислите интегралы, используя для функций
вида 
подстановку 
а) 
б) 
в)
г) 
№3. Вычислите интегралы, используя понятие дифференциала функции:
а) 
б) 
в) 
г)
д) 
е) 
№4. Вычислите интегралы, используя формулы тригонометрии:
а) 
б) 
в)
г) 
д) 
е) 
ж) 
з) 
Тема: Интегрирование по частям.
№1. Вычислите интегралы, принимая за 
алгебраическую функцию:
а) 
б) 
в)
г) 
д) 
е) 
№2. Вычислите интегралы:
а) 
б) 
в)
г) 
д) 
е) 
ж) 
з)
и) 
к) 
л) 
.
Тема: Метод неопределённых коэффициентов при вычислении интегралов.
№1. 
№2. 
№3. 
№4. 
№5. 
Тема: Определённый интеграл.
№1. Вычислите интеграл:
а) 
б)
в)
г) 
; д) 
;
е) 
;
ж) 
№2. Дана функция 
Вычислите 
№3. Пользуясь геометрической интерпретацией интеграла, вычислите:
а) 
б) 
№4. При каких 
верно равенство 
№5.При каких верно неравенство 
№6. Решите уравнение 
если 
Тема: Приложение определённого интеграла.
№1. Найдите площадь криволинейной трапеции,
ограниченной графиком функции 
осью
абсцисс и прямыми 
№2. Найдите площадь фигуры, ограниченной
графиком функции 
и прямыми 
№3. Найдите площадь фигуры, ограниченной
графиками функций 
№4. Найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями 
№5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной
линиями 
и 
№6. Найдите площадь фигуры, ограниченной
графиком функции 
и касательной к этому графику в его
точке с абсциссой 2.
№7. Найдите объём тела, образованного вращением
вокруг сегмента параболы 
отсечённого прямой 
№8. Найдите объём тела, образованного вращением
вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной
цепной линией 
№9. Найдите длину цепной линии 
№10. Вычислите площадь фигуры, ограниченной
параболами 
№11. Найдите объём тела, образованного
вращением вокруг оси плоской фигуры,
ограниченной окружностью 
и параболой 
№12. Найдите площадь поверхности шара радиуса 
Рассмотрим решение некоторых заданий темы “Интегрирование по частям”. Приложение1.
Литература.
- Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа. Т.1, 2. - М.: “Просвещение”, 1972.
- Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский В.Н. Сборник задач по математическому анализу. - М.: “Просвещение”, 1973.
- Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: “Наука”, 1972.
- Мордкович А.Г., Мухин А.Е. Сборник задач по введению в анализ и дифференциальному исчислению функций одной переменной. - М.: “Просвещение”, 1985.
- Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 1, 2. – М.: “Наука”, 1968.