«Всем правит случай.
Знать бы еще, кто правит случаем»
Станислав Ежи Лец
Цели:
- Рассмотреть связь между экспериментальными данными и вероятностями событий, между классическим и статистическим определением вероятностей.
- Отрабатывать навыки обработки статистических данных, построения таблиц распределения частот выборки; навыки работы по алгоритму.
- Организовать экспериментальную деятельность учащихся.
- Расширить математический кругозор учащихся.
Урок проводится в компьютерном классе.
Мы умеем вычислять вероятность события по классическому определению вероятности, а также научились обрабатывать данные, полученные в ходе исследований, экспериментов.
На уроке мы рассмотрим связь между экспериментальными данными и, вероятностью, найденной с помощью формулы классической вероятности.
Как вы думаете, подтверждается ли вероятность, найденная по формуле, опытным путем?
Это и предстоит нам выяснить.
Блиц опрос по определениям (закончите определение):
1. Достоверное событие
Его вероятность равна………
2. Случайное событие
Его вероятность изменяется…..
3. Невозможное событие
Его вероятность равна …….
4. Вероятность
Для вычисления вероятности используют классическое и статистическое определения вероятностей.
5. Классическое определение вероятности.
6. Статистическое определение вероятности.
Сравним вероятность, найденную по формуле, со статистической вероятностью выпадения орла при подбрасывании монеты.
Решим задачу:
Определить вероятность выпадения орла при подбрасывании монеты.
Решение (учащийся решает на обороте доски, остальные на зачетных листах, с последующей проверкой)
(Образец зачетного листа в приложении 4)
1. При подбрасывании монетки возможны только два случая – «орел» или «решка», эти случаи равновозможные между собой.
2. Число всех возможных исходов данного опыта равно 2.
3. Количество благоприятных исходов, в данном случае выпадение «орла», равно 1
4. Вероятность события А равно 1\2 = 0.5.
При подготовке к уроку каждый из Вас выполнил 50 подбрасываний рублевой монетки и подсчитал число и частоту в процентах выпадения «Орла». Данные были собраны в таблицу:
Фронтальная беседа с учащимися с использованием презентации (презентация, выполненная в программе Power Point, приложение 1)
| № | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| k | 29 | 24 | 31 | 26 | 29 | 20 | 26 | 20 | 29 | 21 | 25 | 22 | 26 | 26 | 30 | 26 | 25 | 22 | 27 | 24 |
| % | 58 | 48 | 62 | 52 | 58 | 40 | 52 | 40 | 58 | 42 | 50 | 44 | 52 | 52 | 60 | 52 | 50 | 44 | 54 | 48 |
где k – число выпадений орла, % - частота в процентах выпадения орла.
Как изменяется число и процентная частота выпадения орла?
Анализ полученных результатов проводят ученики по схеме:
-Как меняются полученные результаты?
-Как изменяется процентная частота выпадения орла?
(Мы видим, что встретились довольно разбросанные результаты: от 20 до 30 Процентная частота выпадения орла меняется от 40% до 60 %.)
Объединим полученные результаты в более крупные группы:
| № | 1-2 | 3-4 | 5-6 | 7-8 | 9-10 | 11-12 | 13-14 | 15-16 | 17-18 | 19-20 |
| k | 53 | 57 | 49 | 46 | 46 | 47 | 52 | 56 | 47 | 51 |
| % | 53 | 57 | 49 | 46 | 46 | 47 | 52 | 56 | 47 | 51 |
Как изменяется число и процентная частота выпадения орла?
Анализируют полученные результаты учащиеся.
(Число выпадения орла изменяется в опытах от 46 до 57. Процентная частота выпадения орла изменяется от 46% до 57 %.)
Продолжим укрупнения:
| № | 1-4 | 5-8 | 9-12 | 13-16 | 17-20 |
| k | 110 | 95 | 93 | 108 | 98 |
| % | 55 | 47,5 | 46,5 | 54 | 49 |
К какому числу приближается частота появления орла?
(Мы видим, что при увеличении количества бросаний монетки частота появления «орла» приближается к половине от общего числа бросаний.)
Всего в проведенных 20 *50=1000 бросаниях монетки «орел» появился в 504 случаях. Процентная частота появления «орла» равна 50,4% и отклонение от половины, составляет 0,4%
При проведении опыта были проблемы: монеты падали на ребро, терялись из поля зрения и т.д. Было потрачено достаточно большое количество времени на проведение опыта и обработку полученных результатов. В век компьютерных технологий, эти вопросы решаются более качественно и с меньшей потерей времени.
Используя электронное учебное пособие «Вероятность и статистика» по книге Е.А. Бунимовича, В.А. Булычева (Издательский дом Дрофа, 2002 г) можно провести эксперименты по подбрасыванию монет, с картами, с игральными костями и т.д., решить задачи по различным темам теории вероятностей.
Используя ЭУП «Вероятность и статистика», предлагается повторить на компьютере (инструкция в раздаточном материале) опыт по подбрасыванию монеты 1000 раз.
(Учащиеся работают в парах за компьютером.)
Итак, какую частоту выпадения орла получили вы?
(Фронтальный опрос нескольких учащихся.)
Этот вопрос в разное время интересовал ученых (презентация, выполненная в Power Point, приложение 1), так французский ученый Ж.. Бюффон (XYIII в.) бросал монету 4040 раз, и «орел» выпал 2048 раз; частота выпадения «орла» равна 0,50693…
Английский математик К. Пирсон (конец ХIХ в.) бросал монету 24000 раз, и «орел» выпал 12012 раз; частота выпадения «орла» равна 0,5005. (Презентация, приложение 1)
Во всех проведенных экспериментах мы получили частоту выпадения орла близкую к числу 0.5. Это число 0.5 и является значением статистической вероятности события.
Вывод: Мы видим, что данные, полученные по формуле классической вероятности, были подтверждены экспериментально.
Другой великий французский ученый Даламбер вошел в историю теории вероятности со своей знаменитой ошибкой. (Презентация, приложение 1)
Ошибка Даламбера: Какова вероятность, что подброшенные вверх две правильные монеты упадут на одну и ту же сторону?
Решение, предложенное Даламбером: Опыт имеет три равновозможных исхода:
1) обе монеты упали на «орла»
2) обе монеты упали на «решку»
3) одна из монет упала на «орла», другая на «решку».
Из них благоприятными для нашего события будут 2 исхода, поэтому искомая вероятность равна 2/3
-Давайте проверим полученный результат с помощью опыта:
Используя ЭУП «Вероятность и статистика» на компьютере, проведите эксперимент по подбрасыванию 2 монет.
Количество подбрасываний 500. (Инструкция в раздаточном материале)
Проведенный эксперимент не подтвердил результат, полученный Даламбером, почему?
-Давайте правильно решим задачу на зачетных листах (самостоятельно).
Решение:
Общее количество исходов 4
Число благоприятных исходов 2
Вероятность наступления события, что подброшенные верх две правильные монеты упадут на одну и ту же сторону, равна 2\4=1\2.
-В чем же заключалась ошибка Даламбера?
(Ответ: Даламбер объединил два разных исхода в один.)
Статистические исследования проводят по разным направлениям в зависимости от заказа общества. Так, например, для расположения букв на клавиатуре, или установления авторства произведения проводят исследование частоты появления той или иной буквы.
Мы проведем исследование частоты появления буквы О в литературных текстах.
Как вы думаете, какая буква русского языка наиболее часто используется в тексте?
-А какая наименее часто?
-Проверим ваши предположения:
Проведем статистическое исследование рассказа хакасского писателя Николая Доможакова «В далеком ауле». Данные внесем в таблицу и с помощью проектора спроецируем таблицу на экран.
(Учащиеся работают в мини группах, у каждой группы свой отрывок (Приложение 3), получив результат, подходят к компьютеру и заносят его в заранее заготовленную таблицу, которая проецируется на экран. Приложение 2)
В предложенном отрывке просчитайте частоту появления буквы О.
Данные внесите в таблицу, а затем в компьютер.
В каких пределах изменяется число появления буквы О в тексте?
В каких пределах изменяется частота выпадения буквы О в тексте?
| № строки | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Объем выборки | 250 | 248 | 243 | 223 | 218 | 236 | 254 | 303 | 227 | 249 |
| кратность О | 32 | 20 | 28 | 22 | 21 | 25 | 28 | 32 | 24 | 25 |
| частота О |
Мы видим, что встретились довольно разбросанные результаты. Как изменяется частота появления буквы «О»?
Объединим полученные результаты в более крупные группы:
| № строки | 1-2 | 3-4 | 5-6 | 7-8 | 9-10 | 1-10 |
| Объем выборки | 498 | 466 | 454 | 557 | 476 | 2451 |
| кратность О | 52 | 50 | 46 | 60 | 49 | 257 |
| частота О |
Всего 2451 букв, буква О появляется в тексте 257 раз, тогда частота появления буквы О в тексте равна 0.1108.
Статистические исследования большого количества литературных текстов показали, что частота появления той или иной буквы русского языка (или пробелы) стремятся к определенным значениям. Эти значения собраны в таблицы частот русского языка. (Приложение 1)
Таблица частот русского языка.
| А | 0.062 | З | 0.016 | О | 0.090 | Х | 0.009 | Ь | 0.013 |
| Б | 0.014 | И | 0.062 | П | 0.023 | Ц | 0.004 | Э | 0.003 |
| В | 0.038 | Й | 0.010 | Р | 0.040 | Ч | 0.012 | Ю | 0.006 |
| Г | 0.013 | К | 0.028 | С | 0.045 | Ш | 0.006 | Я | 0.018 |
| Д | 0.025 | Л | 0.035 | Т | 0.053 | Щ | 0.003 | ||
| Е | 0.072 | М | 0.026 | У | 0.021 | Ъ | 0.001 | ||
| Ж | 0.007 | Н | 0.053 | Ф | 0.002 | Ы | 0.016 |
Полученные данные расходятся с данными таблицы частот русского языка, так как проведено малое количество испытаний.
Также существуют таблицы частот русского языка отдельных писателей. Проведя сравнительный анализ можно установить авторство произведения.
Сообщение ученика: До сегодняшнего дня не утихают споры об авторстве «Тихого Дона». Многие считают, что в 23 года такую глубокую и воистину великую книгу М.А.Шолохов написать просто не мог. Выдвигались разные аргументы и разные аргументы и разные кандидаты в авторы. Особенно жаркими были споры в момент присуждения ему Нобелевской премии по литературе (1965 г.). Статистический анализ текстов и сличений, подтвердили все же гипотезу о нем как об истинном авторе «Тихого Дона».
Вывод: В данном случае вероятность появления той или иной буквы русского языка можно вычислить только с помощью эксперимента.
Рассмотрим следующее событие (вероятность того, что родится девочка.)
Решим задачу: Определить вероятность того, что родится девочка (считается рождение девочек и мальчиков равновозможными).
Решение (Ученики решают задачу самостоятельно на зачетных листах с последующей проверкой):
Исходы рождения девочек и мальчиков равновозможные.
общее число исходов 2
Число благоприятных исходов 1.
Вероятность равна 0.5
А теперь проведем небольшое статистическое исследование на примере нашей школы:
Используя статистические данные по годам рождения учащихся школы № 30 г Абакана, определим вероятность рождения девочек. Данные были собраны в таблицу:
(Учащиеся работают в мини группах, каждая группа вычисляет частоту рождения девочек, определенных годов рождения, получив результат, подходят к компьютеру и заносят его в заранее заготовленную таблицу, которая проецируется на экран, приложение 2)
| Года рождения | 1988 | 1989 | 1990 | 1991 | 1992 | 1993 | 1994 | 1995 | 1996 | 1997 | 1998 | 1999 |
| Всего учащихся | 1 | 10 | 46 | 65 | 56 | 57 | 48 | 41 | 53 | 50 | 38 | 36 |
| девочек | 0 | 6 | 26 | 33 | 26 | 22 | 23 | 22 | 23 | 22 | 19 | 13 |
| частота (девочки) |
Анализ полученных данных.
Объединим полученные результаты в более крупные группы.
| 1988-1991 | 1992-1995 | 1996-1999 | 1988-1999 | |
| Всего учащихся | 122 | 202 | 177 | 501 |
| девочек | 65 | 93 | 77 | 235 |
| частота (девочки) | 0.4691 |
Проанализировав полученные частоты, можно сделать вывод:
Всего в школе обучается 501 учащийся, в том числе девочек 235
Частота рождения девочек равна 0.4691, что отличается от 0.5 на 0.0309
Вывод: Статистические исследования подтвердили вероятность рождения девочек, вычисленную по формуле классической вероятности. Но в жизни мальчиков рождается больше. Это вызвано условиями жизни.
Дома: $ 21 № 627 или (при наличии электронного учебного пособия) № 628.
Подведение итогов: Сдать рабочие листы, оценки за урок будут выставлены с учетом самооценки и устных ответов.
Самооценка учащихся:
3 балла – все понял, могу этот материал объяснить другому;
2 балла – я сам все понял, но объяснить другому не берусь;
1 балл – для полного понимания мне нужно повторить тему;
0 баллов - я ничего не понял.
Давайте ответим на вопрос, который был задан в начале урока:
-Как вы думаете, подтверждается ли вероятность, найденная по формуле вычисления классической вероятности, опытным путем?