Построение графиков квадратичной функции, содержащих знак модуля

Разделы: Математика, Внеклассная работа

Цели:

  • Найти способ раскрытия модуля, при построении графиков функции;
  • Развить умения и навыки построения графиков квадратичной функции;
  • Вызвать интерес у учащихся к самостоятельному и научному поиску.

Для достижения данной цели учащимся предлагается решить следующие задачи:

  1. Изучить литературу по теме “модуль” и “построения графиков квадратичной функции”;
  2. Построить данные графики математическим способом;
  3. Построить графики с помощью компьютера, используя программу EXCEL;
  4. Сравнить результаты построения и сделать к каждому типу задач выводы.
  5. Оформить результаты, как научно исследовательскую работу.

Учитель предлагает рассмотреть решение задач типа:

Задача 1. Построить график функции у =? f(х)c , где f(х)- квадратичная функция.

Задача 2. Построить график функции у =f(c хc ), где f(х)- квадратичная функция.

Задача 3. Построить график функции у =f( -c хc ), где f(х)- квадратичная функция.

Задача 4. Построить график функции у =c f(c хc )c , где f(х)- квадратичная функция.

Для решения данных задач необходимо

  • Знать определение модуля и умение его раскрывать;
  • Знать общие методы построение графика квадратичной функции;
  • Рассмотреть 2-3 примера каждой задачи.
  • Сравнить их с графиком функции у =f(х) , где f(х) - квадратичная функция.
  • Сделать соответствующие выводы.

По решению данных задач рассмотреть следующие примеры:

f(х) = c х2 -2х – 3c

f(х) = х2 -2c хc – 3

f(х) = х2 +2c хc – 3

f(х) = c х2 -2c хc – 3 c

f(х) = х2 -2х – 3

f(х) = c -х2 + 6х – 5c

f(х) = - х2 +6c хc – 5

f(х) = -х2 -6c хc – 5

f(х) = c -х2 +6c хc – 5 c

f(х) = -х2 +6х – 5

Занятие 1

Построить графики функций математическим способом.

Цель занятия:

  • Повторить теорию необходимую для построения графиков функций, содержащих знак модуля.
  • Построить заданные графики функций.

Чтобы построить график функции необходимо знать

1. что модуль числа не может быть отрицательным.

  • Для положительного числа и нуля он равен самому числу, а для отрицательного - противоположному.

2. общую схему построение графика квадратичной функции:

  • нахождение координат вершины параболы;
  • составление таблицы значений;
  • построение графика функции.

Учащиеся дают понятие модуль и как построить график квадратичной функции (общую схему).

  • Модулем числа называют расстояние от точки, изображающей это число на координатной прямой, до начала отсчета. Возьмем два противоположных числа а и –а, точки изображающие их на координатной прямой, расположены на одинаковом расстоянии от начала отсчета. Для такого расстояния придумано специальное название – модуль числа а. Обозначают так:| а| . В самом деле расстояние от точки А(5) до нуля равно 5, а расстояние от точки В(-3) до нуля равно 3. Модули противоположных чисел равны. Раз модуль – это расстояние, он никогда не бывает отрицательным. Поэтому для положительного числа и нуля он равен самому числу, а для отрицательного - противоположному.
  • Для построения графика квадратичной функции вершина параболы находится по формулам:

Х= -В¤ 2а; у =ах2+вх +с, затем составляется таблица и строится график.

I. Рассмотрим построение графиков функции вида у = c f(х)c на примерах:

а)f(х) = c х2 -2х – 3c , б) f(х) = c -х2 + 6х – 5c .

А) Построим график функции f(х) = c х2 -2х – 3c .

1. Раскроем модуль:

c х2 -2х – 3c = х2 -2х – 3, если х2 -2х – 3? 0 ,

c х2 -2х – 3c = - (х2 -2х – 3), если х2 -2х – 3< 0

Построим график квадратичной функции у = х2 -2х – 3.

Координатами вершины параболы у=х2 -2х – 3 будет точка с координатами (1;4).

Составим таблицу (*)значений для графика функции у=х2 -2х – 3

Х -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
у 21 12 5 0 -3 -4 -3 0 5

С учетом того, что при х2 -2х – 3< 0 функция задана иным графиком у = - (х2 -2х – 3), таблица будет следующей:

Х -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
у 21 12 5 0 3 4 3 0 5

По данной таблице построю график функции.

Б) Построение графика функции f(х) = c -х2 + 6х – 5c . При аналогичном рассуждении, получу график функции .

Занятие 2

Построение графиков функции с помощью компьютера.

Цель занятия:

  • Изучить теорию построения графиков с помощью компьютера.
  • Построить графики заданных функций с помощью компьютера.

Используя компьютерную программу MS Excel. Эта программа позволила мне еще изучить изменения графиков в зависимости от значения тех или иных параметров. Процесс разработки моделей и их исследование на компьютере можно разделить на несколько основных этапов.

  • Описательная информационная модель (выделяем с точки зрения целей проводимого исследования, параметры объекта, а несущественными параметрами пренебрегаем);
  • Формализованная модель (описание информационной модели в программе MS Excel с помощью формул);
  • Компьютерная модель (построение компьютерной модели с использованием электронных таблиц MS Excel);
  • Компьютерный эксперимент (построение графиков функций);
  • Анализ полученных результатов и корректировка исследуемой модели (в случае несоответствия результатов, полученных при исследовании информационной модели, измеряемым параметрам реальных объектов можно сделать вывод, что на предыдущих этапах построения модели были допущены ошибки).

Исследуем графики функций y = f(x) и y=¦f(x) ¦, где f(x) = x 2-2x-3 на промежутке [-2; 4]. Представим данные функции в табличной форме

а) данные в представлены виде чисел

б) данные представлены в виде чисел и формул

Используя мастер диаграмм, по полученным данным строим точечную диаграмму со значениями, соединенными сглаживающими линиями без маркеров. Полученный результат не удовлетворяет результатам нашего предварительного исследования. Это хорошо видно на диаграмме.

 Для уменьшения погрешности исследований при построении графиков функций, значения аргумента изменяю на 0,1 (шаг), в формулах для автоматизации расчетов использую относительную, абсолютную и смешенные адресации ячеек. (Приложение 1). Скорректированные параметры позволяют более точно выполнить построения графиков функций в программе MS Excel и подтвердить правильность моих исследований математическим путем - “на бумаге”.

(Приложение 2)

График функции f(х) = c -х2 + 6х – 5c исследую аналогичным образом. (Приложение 3).

Занятие 3

Построение графиков

(практическое занятие)

Цель занятия:

  • Отработка навыков построения графиков квадратичной функции двумя способами.

Решить задачи типа 2,3,4. на предложенных примерах (аналогично занятиям 1и 2)

Приведу некоторые решения:

а)f(х) =х2 -2c хc – 3,

б)f(х) =-х2 + 6c х c – 5.

1. Если х? 0, то c хc =х, тогда получим f(х) =х2 -2х – 3,

если х< 0, то c хc = - х, тогда получим

2. Построю графики функций f(х) =х2 -2х – 3, f(х) =х2 +2х – 3 в одной системе координат. Точки с координатами (1;-4) и (-1;-4) координаты вершин парабол соответственно.

Составлю таблицу значений (**) для построение графика функции

f(х) =х2 +2х– 3.

Х -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
у 5 0 -3 -4 -3 0 5 12 21

Воспользовавшись таблицей (*) и (**) Искомый график функции будет часть параболы f(х) =х2 -2х – 3 при х> 0 и часть параболы f(х) =х2 +2х – 3 при х< 0.

(Приложение 4)

б) Построение графика функции f(х) =-х2 + 6c хc – 5. При аналогичном рассуждении, построю график функции и проверю правильность построения используя компьютер. (Приложение 5).

Решение третий тип задач , на примерах функций:

а) f(х) = х2 +2c хc – 3;

б) f(х) = -х2 -6c хc – 5.

Чтобы построить график функции f(х) = х2 +2c хc – 3 опять использую:

1. Раскрытие знака модуль.

Если х>0,то получим f(х) =х2 +2х – 3,

Если х< 0,то получим f(х) =х2 -2х – 3.

2. Построю график функции, воспользовавщися таблицами (*) и (**) и с учетом, что

f(х) =х2 +2х – 3, при х>0, а f (х) =х2 -2х – 3. при х< 0. Получим график функции. Исследую построение графика в компьютерной программе. (приложение 4).

Рассмотрю построение графика функции f(х) = -х2 -6c хc – 5 аналогично. (Приложение 5).

Для решение последней задачи я использовала также два примера.

А)f(х) =? х2 -2c хc – 3? , б) (х) = -? х2 + 6c х c – 5? .

Чтобы построить данные графики функции уже использую известные мне преобразования, построю графики функций f(х) =х2 -2c хc – 3 и f(х) =? х2 -2c хc – 3? . В результате получаю следующий график функции. (Приложение 6).

При построении графика f(х) =-? х2 + 6c х c – 5? также использую преобразования и построю графики функций f(х) = - х2 +6c хc – 5 и f(х) =-? х2 +6c хc – 5? . (Приложение 7).

Занятия 4.

Итоговое занятие.

Цель занятия:

  • Рассмотреть полученные графики функций каждого типа задач на рассмотренных примерах и сделать соответствующие выводы.

1. Результаты построенных графиков функций первого типа позволили сделать следующий вывод:

График функции у = c f(х)c совпадает с графиком функции у = f(х) на тех промежутках, где f(х)>0, а на промежутках где f(х)< 0, график функции

у = c f(х)c получается из графика функции у = f(х) с помощью симметрии относительно оси Ох.

2. Глядя, на построенные графики второго типа замечаем:

Для построения графика функции у =f(c хc ), где f(х)- квадратичная функция надо построить функцию у = f(х), затем оставить только его часть, лежащую справа от оси Оу, и отобразить эту часть симметрично той же оси.

3. Рассматривая графики функций третьего вида получаем следующий вывод:

Для построения графика функции у =f (- c хc ), где f(х)- квадратичная функция надо построить функцию у = f(х), затем оставить только его часть, лежащую справа (слева) от оси Оу, и отобразить эту часть симметрично той же оси.

4. Для построения графика функции у =c f(c хc )c , где f(х)- квадратичная функция надо построить график функции у = f(х). Тогда, используя известные преобразования, построим у =f(c хc ) и у = c f(х)c .

Выводы:

При решении данных задач мне удалось оказать помощь в построении графиков функций, содержащих знак модуля, а главное убедить, что математика – это содержательное, увлекательное и доступное поле деятельности, дающее ученику богатую пищу ума, связывающее его с общечеловеческой культурой, формирующее важнейшие черты его личности. РАССМАТРИВАЕМЫЕ ПРИЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ МОЖНО ПРИМЕНИТЬ НЕ ТОЛЬКО К КВАДРАТИЧНЫМ ФУНКЦИЯМ, НО И К ЛИНЕЙНЫМ, ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМ, ПОКАЗАТЕЛЬНЫМ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ.

Список литературы

  1. “Математика”. Учебник 6 класс Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов. – Изд.4 –е.- М. Издательство “Русское слово”, 1997г.
  2. “Алгебра”. Учебник 9 класс. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк . М. Просвещение, 2004г.
  3. “Математика” Еженедельная учебно-методическая газета. Издательский дом “Первое сентября”. №48, 2003г.
  4. “Математика” Еженедельная учебно-методическая газета. Издательский дом “Первое сентября”. №7, 1998г.
  5. Тесты и экзаменационные задания по математике. Учебное пособие. Е.С.Баранова, Н.В. Васильева. – Издательский дом “Питер”, 2005 г.
  6. “Абсолютная величина”. Гайдуков И.И.. – М.: Просвещение, 1968.
  7. “Функции и построение графиков”. Гурский И.П..- М.: Просвещение, 1968.
  8. “Задачи повышенной трудности в курсе алгебры для 7-9 классов”. Кострикина Н.П.. М.: Просвещение, 1991.