Урок систематизирующего повторения по теме "Квадратные уравнения"

Тема: “Квадратные уравнения”

Тип: урок обобщения и систематизации знаний

Вид: урок-практикум

Задачи:

• обобщить и систематизировать умения и навыки учащихся решения квадратных уравнений;
• продолжить формирование умений и навыков решения квадратных уравнений различными нестандартными способами;
• продолжить формировать умения и навыки обоснованных ответов, анализа и самоконтроля;
• подготовить учащихся к предстоящей контрольной работе;

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

II. Работа с таблицей

На центральной части доски предварительная запись к уроку в виде таблицы (подчеркнуты линией те записи, которые не должны быть на доске с начала урока).

В ходе беседы учителя с классом ответы учащихся фиксируются в таблице.

– В каком случае уравнение вида I называется квадратным? (В случае, когда а =/= 0)

– Какой вид примет это уравнение, если в = 0, с = 0; в = 0, с =/= 0; с = 0? Как называются эти уравнения?

– Имеют ли корни уравнения I₁, I₂, I₃? И сколько?

– Приведите примеры уравнений таких типов.

(Записать на доске)

– От чего зависит наличие действительных корней уравнений? Сколько корней могут иметь квадратные уравнения?

– Какие формулы для нахождения корней вы знаете?

Трое учащихся записывают на доске эти формулы.

– Можно ли решить неполное квадратное уравнение с помощью этих формул? Приведите пример.

– К какому типу относится уравнение 2x² + x – 3 = 0? Решите его.

– Запишите на доске краткую формулировку Теоремы Виета и обратной теоремы, а затем дайте их словесные формулировки.

III. Самостоятельная работа

Решать задания не надо, а следует только указать теорему, формулу, правило, на которых основывается решение.

1. Cоставить квадратное уравнение, имеющее корни x₁ = 2, x₂ = 4

2. Найти сумму и произведение корней квадратного уравнения:

а) x² –3x + 6 = 0

б) x² – 5x + 6 = 0

3. Найти подбором корни уравнения x² – 8x – 20 = 0

4. Решить уравнения:

a) x² – 6x + 8 = 0
б) 2x² – 3x + 1 = 0
в) 4x² + 25 = 0
г) x² – 5x = 0

IV. Решение комплексных задач

– Как называются эти уравнения?

– Как привести их к квадратным?

– В чем особенность решения второго уравнения?

Решить:

а) x⁴ – 3x² – 4 = 0;
б)

(вставить свойства уравнений, формулу корней, определение корня)

V. Решение нестандартной задачи

Найти наиболее рациональным способом корни уравнения 1978x² – 1984x + 6 = 0

1 способ. Так как, а + b + c = 0, следовательно, x = 1 – корень

Если (по теореме обратной теореме Виета)

2 способ.

1978x² – 1984x + 6 = 0

VI. Творческое домашнее задание

а) придумать задачу, которую можно решить с помощью уравнения x² – x – 6 = 0;

б) придумать задачу, решаемую с помощью квадратного уравнения с корнями 3 и – 2 для которой лишь 3 – является решением.

VII. Итог урока

Таблица

Тема: Решение тригонометрических уравнений

Тип: урок обобщения и систематизации знаний.

Вид: урок-практикум.

Задачи:

• обобщить и систематизировать умения и навык учащихся решения тригонометрических уравнений;
• продолжить формирование умений и навыков решения тригонометрических уравнений различными (нестандартными) способами; применять разнообразные тригонометрические формулы;
• продолжить формировать умения и навыки обоснованных ответов; анализа и самоконтроля; работы с книгой и справочной литературой;
• проконтролировать степень усвоения основных знаний, умений и навыков изученных ранее.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

– В центре нашего внимания на уроке будет “Рабочая карта урока”. Она есть у каждого у вас. Сюда вы будете вносить свою оценку за каждый этап урока. Одну из оценок поставит вам сосед по парте, а одну – учитель, если сочтет необходимым.
В конце урока подведет итог своей работы и выставит себе средний балл на уроке, то есть за усвоение темы “Решение тригонометрических уравнений”.

II. Диктант

– Следующий этап нашего урока – диктант. Думать придется много, писать мало. При ответе на любой вопрос будете писать одно из слов: “да” или “нет”.

1. Является ли убывающей функция y = Cos x?
2. Является ли четной функция y = Sin x?
3. Верно ли, что Cos²x + Sin²x = 1?
4. Верно ли, что arcsin (– ) = –  ?
5. Абсцисса точки, лежащей на единичной окружности, называется синусом?
6. Верно ли, что косинус 6,5 больше нуля?
7. Верно ли, что область значения функции тангенс есть отрезок [– 1; 1]?
8. Синус 60° равен ?
9. Отношение синуса к косинусу – это тангенс?

Ребята проверяют диктант вместе с учителем, объясняя каждое высказывание и выставляя себе оценку в рабочую карту урока).

III. Из истории тригонометрии

– Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик XVIII столетия Леонард Эйлер – швейцарец по происхождению, долгие годы работавший в России и являющийся членом Петербургской академии наук. Он ввел известные определения тригонометрических функций, сформулировал и доказал известные вам формулы приведения, выделил классы четных и нечетных функций. Жизнь Л. Эйлера очень интересна. Я советую вам познакомиться с ней по книге Яковлева “Леонард Эйлер”.

IV. Решение тригонометрических уравнений

А. Эйнштейн говорил так: “Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно”.
Вот мы и займемся уравнениями.

Ребята повторяют устные формулы корней простейших тригонометрических уравнений и частные случай.

– Для решения более сложных уравнений требуется знание формул тригонометрии. Следующий этап нашего урока – взаимопроверка. Проверьте друг друга на знание формул.

На столе у ребят листочки с незаконченными записями формул. Они дописывают формулы и передают работы для проверки товарищу по парте. Выставляют оценки за знание формул сами себе (с/о), ставят ее и оценку товарища в рабочую карту.

А)

– Сегодня мы на примере одного уравнения рассмотрим различные способы решения тригонометрических уравнений. Каждая из групп предложит свой.

Sin x + Cos x = 1

1 способ. Введение вспомогательного угла.

Разделим обе части уравнения на

Sin x + Cos x = 1 | :

или ,

Sin

Ответ:

2 способ. Введение выражений для Sin x Cos x через tg по формулам:

Следует учесть, что , т.е n

Sin x + Cos x =1

или

3 способ. Сведения к однородному уравнению (дать определение однородного уравнения).

Выразим Sin x и Cos x и 1 через функции половинного аргумента.

Sin x + Cos x =1

(при условии, что n)

или или

4 способ. Преобразование суммы в произведение.

Выразим Cos x через

Sin x + Cos x = 1

5 способ. Введение в квадрат обеих частей уравнения: Sin x + Cos x = 1

(Sin x + Cos x)2 = 1 Sin2x + 2 SinxCosx + Cos2x = 1 2Sinx Cosx + 1 = 1 2 Sinx Cosx = 0| : 2 Sinx = 0 или Cosx = 0 x = n, n x = с последующим отбором корней

или Sin2x = 0 2x = n x =

Здесь требует отбор решений
Из серии:
– будет решение
– постороннее решение
– решение
– постороннее
Ответ:

6 способ. Замена Cos x выражением

Sin x + Cos x =1

Sinx

Возведем правую и левую части в квадрат:

1 – Sin²x = (1 – Sin²x)²

(1 – Sinx) (1+ Sinx) – (1 – Sinx)² = 0

(1 – Sinx) (1+ Sinx – 1 + Sinx) = 0

2 (1 – Sinx) х Sinx = 0

Sinx = 1 или Sinx = 0

x = x =

Из серии k решением является только x=2k,

Ответ:

Б)

– А теперь каждая группа предлагает серию уравнений, которые решаются их способом.

Каждый ученик должен решить по одному уравнению из каждой группы (всего – 5).

– На доске рассмотрим решение уравнений, которые вы считаете наиболее оригинальными или наиболее сложными.

V. Самостоятельная работа

VI. Домашнее задание

1. Повторить основные тригонометрические тождества.
2. Повторить формулы корней тригонометрических уравнений.
3. Каждой их групп подобрать и решить серию уравнений своим способом.

VII. Итог урока

Рабочая карта урока

С/О – самооценка;
О/Т – оценка товарища;
О/У – оценка учителя.

Закончи формулы:

Cos²x + Sin²x =
Sin2x =
Cos (x – y) =
Cosx + Cosy =
Sin (
tg (x + y) =

Самостоятельная работа

I вариант

Решить уравнения:

1) 6Sin²x + SinxCosx – Cos²x = 0

2) Cos Cosx = 0

3) Sinx + Sin3x = 4Cos²x

4) Cos2x + 9Sinx + 4 = 0

5) Cos9x – Cos7x + Cos3x – Cosx = 0