Урок геометрии по теме "Пятый постулат Евклида". 9-й класс

Цели.

Образовательная:

• познакомить с другими нелинейными геометриями,
• познакомить с применением геометрии в современном мире

Развивающая:

• расширение кругозора о понятиях геометрии
• развитие логического мышления.

Воспитательная:

• воспитание самостоятельности,
• формирование активности,
• формирование познавательного интереса к предмету.

Оборудование: проектор, компьютер, экран, карточки для заполнения.

Метод: словесно-наглядный

Ход урока

Организационный момент.

Устные упражнения:

опрос аксиом и теорем, которые понадобятся на уроке

проверить домашнее задание.

Объяснение нового материала строится с использованием презентации, сделанной в программе Microsoft Power Point. По ходу объяснения ученики заполняют карточки. Все рисунки необходимые для лучшего восприятия материала можно предоставить как в презентации, так и на карточках учащихся. В конце урока карточки собираются для проверки.

Пятый постулат

Геометрия Евклида

Первым систематическим изложением геометрии, дошедшим до нашего времени, являются “Начала” – сочинения александрийского математика Евклида. В “Началах” был развит аксиоматический подход к построению геометрии, который состоит в том, что сначала формулируются основные положения (аксиомы), а затем на их основе посредством рассуждений доказываются другие утверждения (теоремы). Изложение геометрии Евклидом долгое время служило недосягаемым образцом точности, безукоризненности и строгости. Только в начале 20 века математики смогли улучшить логические основания геометрии.

Основные постулаты Евклида:

Из каждой точки ко всякой другой точке можно провести прямую;

Каждую ограниченную прямую можно продолжить неопределённо;

Из любого центра можно описать окружность любого радиуса;

Все прямые углы равны;

Через точку не лежащую на данной прямой можно провести прямую, параллельную данной и только одну. Формулировка у Евклида: “И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньше двух прямых, то продолженные эти прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых”.

На базе этих постулатов шло успешное развитие геометрии, но в то время как другие постулаты считались совершенно очевидными, очевидность пятого постулата оспаривалась. Много веков усилия большого числа ученых были направлены на доказательство пятого постулата. Это объяснялось тем, что число аксиом стремились свести к минимуму. Ученые думали, что пятый постулат можно доказать как теорему, опираясь на остальные. Многие геометры пытались обойти его, заменяя пятый постулат другим, казавшимся более очевидным. На этом пути было сформулировано много положений, но все они были эквивалентны пятому постулату Евклида.

Например:

1. сумма углов треугольника равна 180°,
2. во всех треугольниках сумма углов одна и та же,
3. через любую точку внутри угла можно провести секущую, пересекающую обе стороны угла,
4. существуют два подобных, но не равных треугольника,
5. теорема Пифагора,
6. для всякого треугольника существует описанная окружность и др.

Геометрия Лобачевского

Все многовековые попытки доказать пятый постулат сводились к тому, что авторы пользовались предложениями, эквивалентными самому постулату. Постепенно доказательства становились все изощреннее, в них всё глубже прятались малозаметные эквиваленты пятого постулата. В конце 18 века у некоторых геометров возникла мысль о невозможности доказать пятый постулат. Допустив, что пятый постулат неверен, математики пытались прийти к логическому противоречию. Они приходили к утверждениям, противоречащим нашей геометрической интуиции, но логического противоречия не получалось. А может быть на этом пути вообще не прийти к противоречию? Не может ли быть так, что заменив пятый постулат его отрицанием, мы придём к новой неевклидовой геометрии, которая во многом не согласуется с нашими привычными наглядными представлениями, но, тем не менее не содержит никаких логических противоречий? Эту простую, но очень дерзкую мысль математики не могли выстрадать в течение двух тысячелетий после появления “Начал” Евклида.

Восемнадцатый век принес решение загадки пятого постулата. Первым, кто допустил возможность существования неевклидовой геометрии, был К.Ф. Гаусс. Это было обнаружено лишь после смерти ученого, когда стали изучать его архивы. Гениальный Гаусс, к мнениям которого все прислушивались, не рискнул опубликовать свои результаты по неевклидовой геометрии, опасаясь быть непонятым и втянутым в полемику. Известный математик Ф. Бойяи, всю жизнь работавший над теорией параллельных, считал, что решение этой проблемы выше сил человеческих, и хотел оградить сына от неудач и разочарований, но Янош Бойяи не внял предостережениям отца и независимо от Гаусса пришел к тем же идеям. К этому открытию независимо от Гаусса пришел и наш соотечественник профессор Казанского университета Н.И. Лобачевский. Он построил новую геометрию, откинув постулат Евклида, заменив его другим, прямо противоположным по смыслу: “Через точку А вне прямой а в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, проходит по крайней мере две прямые с и в не имеющие общей точки с прямой а”. Лобачевский не получил противоречия. Отсюда следует, что таких прямых может быть бесконечное количество. Доказывая много десятков теорем, не обнаруживая логических противоречий, Лобачевскому пришла в голову догадка о непротиворечивости такой геометрии, он назвал её воображаемой. В геометрии Лобачевского сохраняются все теоремы, которые в евклидовой геометрии можно доказать без использования пятого постулата. Например: вертикальные углы равны; углы при основании равнобедренного треугольника равны; из данной точки можно опустить на данную прямую только один перпендикуляр и др.

Однако теоремы, где применяется аксиома параллельности, видоизменяются:

• Теорема о сумме углов треугольника готовит первый “сюрприз”: в геометрии Лобачевского сумма углов любого треугольника меньше 180^°. Разность между 180^° и суммой углов треугольника положительна и называется дефектом (D) этого треугольника. Формула для площади треугольника S=k*D, то есть площадь связана с его дефектом. Самую большую площадь имеет треугольник с нулевыми углами, а его стороны имеют бесконечную длину <рисунок1>.

Рис. 1

• Два неравных равносторонних треугольника имеют неравные углы.
• В геометрии Лобачевского не существует подобных фигур.
• Если углы одного треугольника равны соответственно углам другого треугольника, то эти треугольники равны.
• Геометрическое место точек, находящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону есть кривая линия, которая называется эквидистантой.

Возможные расположения двух прямых на плоскости Лобачевского: две несовпадающие прямые либо пересекаются в одной точке, либо параллельны, либо являются расходящимися <рисунок2>. В заключение отметим, что Лобачевский с исчерпывающей полнотой развил все разделы своей неевклидовой геометрии.

Рис. 2

Возникает убеждённость, что эта теория, на самом деле непротиворечива, но надо было получить доказательство непротиворечивости, то есть построить модель. Построение такой модели выпало на долю математиков следующего поколения. Например, в 1868 году итальянский математик Э. Бельтрами исследовал вогнутую поверхность, называемую псевдосферой и доказал, что на этой поверхности действует геометрия Лобачевского. Также были предложены другие модели Ф. Клейном, А. Пуанкаре и др. <рисунок3>.

Рис. 3

Геометрия Римана

Через некоторое время идеи Лобачевского были приняты математиками, и следующим этапом развития геометрии стала эллиптическая геометрия Римана. Риман исходил из того, что через точку, не лежащую на данной прямой, вообще нельзя провести прямую, не пересекающую данную. В геометрии Римана:

две прямые всегда пересекаются, параллельных прямых совсем нет;

сумма углов прямолинейного треугольника больше 180^°;

прямая имеет конечную длину, плоскость – конечную площадь и др.

Частным случаем эллиптической геометрии Римана является сферическая геометрия Римана или геометрия не сфере <рисунок4>.

Рис. 4

Физическое применение нелинейных геометрий.

Геометрии Евклида, Лобачевского и Римана являются в свою очередь частными случаями общей геометрии Римана для многомерных искривлённых пространств.

Современники Лобачевского, потом и Римана отказывались принимать новую геометрию. Но в начале 20 века, как гром среди ясного неба Эйнштейн создаёт теорию относительности, частным случаем которой является теория тяготения Ньютона. Оказалось, что взаимосвязь пространства и времени, описываемая в теории относительности, имеет непосредственное отношение к геометрии Лобачевского. Например, в расчетах современных синхрофазотронов используются формулы геометрии Лобачевского.

Следствием теории относительности явился в частности тот факт, что наше как мы думали трёхмерное евклидово пространство на самом деле таковым не является. А живём мы в четырёхмерном искривлённом пространстве-времени, которое описывается общей геометрией Римана. Тяготение на самом деле результат искривления пространства вблизи массивных тел. Следствием этого является замедление времени вблизи тяжелых тел, кратчайшее расстояние между точками не прямая, а некоторая кривая и др.

Известен такой случай: во время полного солнечного затмения ученые смогли зафиксировать искривление луча света от далекой звезды, лежащей на одной прямой Земля – Луна – Солнце, хотя видеть эту звезду были не должны по классической физике Ньютона и геометрии Евклида.

Установлено достоверно замедление времени при скоростях, близких к скорости света. Параметры орбиты Меркурия, самой близкой к Солнцу планеты не укладывались в теорию тяготения Ньютона, а теория относительности смогла это объяснить искривлением пространства вблизи Солнца.

Кривизна пространства проявляется в больших масштабах и вблизи массивных космических тел, а в повседневной жизни на нашей планете мы можем с успехом пользоваться геометрией Евклида и механикой Ньютона с большой точностью, так как нелинейные поправки на кривизну пространства ничтожно малы.

Заключение.

Ученые Земли уже полвека пытаются разрешить загадку, в каком мире мы живем? Какой геометрией он описывается? От этого знания зависит судьба всей вселенной. Сейчас вселенная расширяется, но если масса вещества всей вселенной превысит определенный порог, то расширение сменится сжатием, то есть пространство будет искривлено таким образом, что луч света, однажды покинув одну точку, вернется обратно, а это значит, мы живем в мире эллиптической геометрии Римана. Если массы не хватит, то вселенная будет расширяться неограниченно, а значит, мы живем в мире гиперболической геометрии Лобачевского <рисунок5>.

Рис. 5

Пример возможной карточки для заполнения.

Задание на дом.

Подготовить доклад об одном из ученых: Н.И. Лобачевский, Б. Риман, Я. Бойяи.

Литература:

[1]. Л. С. Атанасян учебник “Геометрия 7-9”,

[2]. Б.В. Кутузов “Геометрия Лобачевского и элементы оснований геометрии”,

[3]. Энциклопедический словарь математика.