Методика проведения гидродинамической аналогии на учебных занятиях по физике
По мнению М. Планка, в основе творческого мышления лежит отождествление (тождество есть частный случай подобия) идей или явлений, которые считались совершенно несопоставимыми.
Проблемную ситуацию часто сравнивают с пропастью между известным и искомым, поскольку отсутствует основание, на котором можно поставить надежные опоры для построения моста между ними. В таких случаях одним из способов «построения моста» является «подвешивание» его на гирляндах ассоциаций и метафор. Иными словами, решение проблемы осуществляется в результате переноса знания в новую область, использования обходных (ассоциативных) слов и метафорических выражений.
Приведем пример.
Найдем аналогию для явления «электрический ток»
Первый шаг – определение синонимов явления. Синонимами явления «ток» являются «движение», «течение», «перемещение», «поток» и т.д. Составляем из них гирлянду синонимов: «ток – движение – течение – перемещение – поток».
Второй шаг – составление перечня признаков найденных синонимов. Необходимо определить возможно большее число признаков, однако в течение ограниченного времени, например в течение 2-3 минут. Успех поисков в значительной мере зависит от широты охвата признаков, выбранных случайно. Поэтому целесообразно перечислять как основные, так и второстепенные, малозначимые признаки: «сильный», «быстрый»,
Гидродинамическая аналогия между электрическим током и течением: «горячий», «людской», «непрерывный», «водный», и т.д.
Третий шаг – генерирование идей путем поочередного присоединения к синонимам случайно подобранных признаков. Можно получить следующие конструкции: а) «горячее движение», «горячее течение», «горячее перемещение», «горячий поток»; б) «водное движение», «водное течение», «водное перемещение», «водный поток» и т. д.
Четвертый шаг – оценка и выбор рациональных вариантов идей. Среди множества нерациональных, тривиальных и даже нелепых идей, как правило, всегда найдутся продуктивные с физической точки зрения. Отмечена любопытная закономерность: число рациональных вариантов обратно пропорционально их оригинальности.
Пятый шаг – проведение аналогии в соответствии с той технологической картой, которая была приведена выше.
Гидродинамическая аналогия между электрическим током и течением жидкости
Сходство свойств
Жидкость |
Электронный газ в металле |
1. Молекулы жидкости колеблются около положения равновесия и время от времени совершают перескоки с места на место. 2. Причиной упорядоченного движения молекул жидкости является гравитационное поле. |
1. Свободные электроны находятся в непрерывном и беспорядочном движении. 2. Причиной упорядоченного движения свободных электронов является электрическое поле |
Сходство отношений
Жидкость |
Электронный газ в металле |
|
1. Величина действия
воды прямо пропорциональна массе жидкости,
проходящей через поперечное сечение трубы за
единицу времени (расход жидкости 2. Величина работы, совершаемой
гравитационным полем по перемещению жидкости
единичной массы, прямо пропорциональна разности
уровней жидкости на этом участке ( 3. Величина сопротивления течению жидкости зависит от качества трубы и рода жидкости, прямо пропорциональна длине трубы и обратно пропорциональна площади поперечного сечения трубы.
|
1. Величина действия
электрического тока прямо пропорциональна
величине заряда, проходящего через поперечное
сечение проводника за единицу времени ( 2. Величина работы совершаемой
электрическим полем по перемещению единичного
заряда прямо пропорциональна разности
потенциалов ( 3. Величина сопротивления движению свободных электронов зависит от рода проводника, прямо пропорциональна длине проводника и обратно пропорциональна площади поперечного сечения проводника. R=rl/s |
|
).
).
)
).После фиксации сходства необходимо указать различия между потоком жидкости и электрическим током.
Различия в свойствах
Жидкость |
Электронный газ в металле |
1.Между молекулами жидкости действуют как силы притяжения, так и силы отталкивания. 2.Молекулы жидкости в течение времени равном в среднем 10 -11с колеблются около положения равновесия и лишь после этого совершают перескок в другую точку жидкости, где все повторяется. За 1с совершается 10 11перескоков. |
1. Между электронами действуют только силы отталкивания. От разлетания их удерживает притяжение к ионам крисста-лической решетки. 2. Электроны непрерывно движутся. |
Как мы видим, различия между свойствами молекул жидкости и электронного газа не столь существенны, чтобы мы могли аналогией между ними пренебречь.
Вывод: а) расход текущей жидкости k аналогичен силе электрического тока I; б) перепад уровней текущей жидкости ?h аналогичен напряжению электрической цепи U; в) сопротивление течению жидкости R0 аналогично сопротивлению электрической цепи R, по которой течет электрический ток.
Аналогия №1
Сила тока I на участке цепи (по закону Ома) прямо пропорциональна напряжению U на этом участке и обратно пропорциональна его сопротивлению R.
I=U/R
Следовательно, расход жидкости K на участке трубы прямо пропорционален перепаду уровней H жидкости на этом участке и обратно пропорционален сопротивлению движению жидкости R0.
K=H/R0
Аналогия №2
1. При последовательном соединении труб разного диаметра (Рис. №1) масса жидкости, протекающей через любое поперечное сечение за единицу времени, одинакова: k1=k2=k3=…
Следовательно, сила тока в цепи при последовательном соединении (Рис. №2) во всех участках цепи одинакова: I1=I2=I3=…
2. При последовательном соединении труб разного диаметра работа гравитационного поля по перемещению жидкости единичной массы прямо пропорциональна сумме перепадов высот (Рис. №3) на каждом участке: H=h1+h2+h3+…
Следовательно, напряжение всей цепи при последовательном соединении равно сумме напряжений (Рис.№4) на отдельных участках этой цепи: U=U1+U2+U3+…
3. При последовательном соединении труб разного диаметра полное сопротивление, испытываемое жидкостью равно сумме сопротивлений на отдельных участках: R0=R1+R2+R3+…
Следовательно, электрическое сопротивление всей цепи равно сумме сопротивлений на отдельных участках цепи: R=R1+R2+R3+…
Широко известны гидродинамические аналогии электрической цепи, которые позволяют пояснить понятие ЭДС, объяснить роль источника тока в цепи, интерпретировать законы параллельного соединения проводников и т.д. Но нельзя забывать, что аналогия - это, в первую очередь, сходство несходного.
Например, из того, что масса жидкости, проходящей в любом сечении трубопровода одинакова, следует, что скорость течения в трубе меньшего диаметра выше, чем в трубе большего диаметра. Как вы, наверное, уже догадались, скорость упорядоченного движения электронов в проводнике меньшей площади поперечного сечения также возрастает по сравнению с участком цепи, где площадь поперечного сечения больше.
Но причины увеличения скорости совершено разные.
Скорость течения жидкости при переходе из широкого участка трубы в узкий возрастает, из за того, что давление жидкости в широком участке трубы больше, чем в узком, так как жидкость там несколько сильнее сжата.
Электроны, всегда присутствующие в проводнике, начинают разбегаться в разные стороны при приближении к ним одноименно заряженного электрона, образуя в этом месте избыток положительного заряда. Образовавшийся положительный заряд в месте сужения трубы несколько больше и потому притягивает к себе движущийся электрон с большей силой и тем самым разгоняет его.
Очевидно, что метод аналогии применим и для решения задач. Наиболее целесообразно и эффективно использование его в том случае, если формальных знаний и методов в арсенале учащихся для достижения результата недостаточно.
Рассмотрим такую задачу: «Необходимо определить сопротивление R проволочных каркасов. Сопротивление каждого звена r».
Проведем гидродинамическую аналогию свойств: а) звено каркаса подобно руслу канала; б) точки соединения звеньев каркаса подобны местам соединения русел канала.
Проведем гидродинамическую аналогию отношений: а) расход воды K подобен силе тока I; б) перепад уровня воды H подобен напряжению U; в) сопротивление движению воды R0 подобно электрическому сопротивлению R.
Установив подобие между течением жидкости (воды) по руслу канала и электрическим током в цепи, приступаем непосредственно к анализу условия предложенной задачи. Проведенная аналогия придает нашим рассуждениям ту степень наглядности, которая отсутствует в абстрактных рассуждениях, сообщая им определенный смысл, понятный учащимся даже на первой ступени обучения физике. Следует помнить, что данная наглядность особого рода: не иллюстративная (чертежи, схемы, предметные модели), а теоретическая. Она придает нашим рассуждениям стройность и простоту, даже при оперировании понятиями, оторванными от своего материального носителя (сила тока, напряжение и т.д.) и потому усваиваемым учащимися чаще всего формально.
Вода, втекающая из русла реки в канал (точка А), делится на 2 одинаковых потока (АВ и АД), потому что из условия задачи нам известно, что звенья каркаса имеют одинаковое сопротивление, то есть одинаковы с электрической точки зрения (при одинаковом напряжении через них течет одинаковый ток). В точке В канал делится снова на 2 абсолютно одинаковых русла ВД и ВС, так же, как и в точке Д (русла ДВ и ДС). Русла канала ВС и ДС соединяются в точке С, являющейся истоком новой реки, а русла ВД и ДВ совпадают, то есть являются одним руслом (Рис. №13).
Звенья каркаса АВ и АД имеют одинаковое сопротивление r, и по ним течет одинаковой силы ток I. Следовательно, напряжение U= Ir на участках цепи АВ и АД одинаково. Соответственно перепад уровней воды в руслах АВ и АД один и тот же. Так как каналы начинаются на одной высоте h1, то концы русел находятся так же на одной высоте h2. Так как через них за одно и то же время протекает жидкость одинаковой массы, то уровень воды в них одинаковый. Давление в сообщающихся сосудах, заполненных однородной жидкостью на одном и том же уровне, одинаково. Поэтому канал ВД, соединяющий точки В и Д, находящиеся на одной высоте, хоть и будет заполнен водой, но водой неподвижной, застоявшейся. Последний образ важен не только из-за своей наглядности, но и с точки зрения методологической целесообразности, о которой речь пойдет ниже.
Вывод очевиден – электрический ток через звено ВД каркаса течь не будет (Рис №14). Поэтому электрическое сопротивление этого звена будет равно нулю, так как оно никакого действия на протекание тока по каркасу не оказывает, Его можно из цепи удалить (Рис. №15) и это никак не скажется на электрических свойствах данной цепи.
После этой операции нахождение электрического сопротивления данного каркаса уже не представляет трудности. Эквивалентная электрическая схема изображена на рисунке №16. Мы имеем два параллельных участка, каждый имеет сопротивление 2r (при последовательном соединении полное сопротивление цепи равно сумме сопротивлений отдельных элементов этой цепи). Следовательно, полное электрическое сопротивление каркаса равно r (чтобы найти полное сопротивление электрической цепи, состоящей из одинаковых параллельных участков, нужно сопротивление одного участка разделить на их количество, то есть на 2).
Для углубления понимания физической картины изучаемого процесса и самого метода аналогии полезно задать после решения этой задачи такой вопрос: «Ударит ли вас электрическим током при случайном или умышленном касании указанного участка цепи, если электрический ток через звено ВД каркаса не течет (смотри Рис. №14)?» Отрицательный ответ является указанием на серьезное недопонимание метода аналогии или, что ещё хуже, на формальное его усвоение.
Разберемся, в чем же тут дело. Тело человека является проводником или, если говорить на языке гидродинамической аналогии, руслом канала или реки. Как мы уже в свое время заметили канал (звено каркаса) ВД заполнен непроточной водой. Наше прикосновение к участку ВД - это то же самое, как если бы дамбу канала разрушило взрывом. Вода, заполняющая канал, устремилась бы в прорыв, сметая все на своем пути! То есть, нас ударит электрическим током.
Излишняя эмоциональность изложения является необходимым условием улавливания сути метода аналогии – придание наглядности абстрактным теоретическим рассуждениям. Исходя из особого характера наглядности, предлагаемой методом аналогии, эмоциональный фон позволяет на основе впечатлений сформировать более глубокое представление о сущности протекающего явления.
Следующая цепь (Рис. №6) обычно не вызывает затруднений в отличие от 3 каркаса (Рис. №7). Поэтому перейдем сразу к нему. Если ход рассуждений ведется формально, то проблема, стоящая перед учеником, имеет такой вид: «Как соединены участки цепи ВО и ОД, ЛО и ОК? Последовательно или параллельно? А если не последовательно и не параллельно, то как?» Искать ответ в самой схеме (Рис. №7), различным образом трансформируя её, бесперспективно.
В центре внимания должна лежать сущность явления – протекание электрического тока по каркасу. Первым делом необходимо разобраться, по каким звеньям течет ток, а по каким нет. А если окажется, что по данному участку цепи электрический ток всё же течет, то нужно выяснить, в каком направлении.
Хорошим подспорьем в поиске ответов на эти вопросы является метод аналогии. Уподобим данную цепь сети каналов, по которым течет вода. Наиболее вероятные направления течения воды: АВСДЕ, АЛМКЕ, АВОДЕ, АЛОКЕ, АВОКЕ, АЛОДЕ. Они имеют одно и то же начало (исток) и конец (устье). Все они состоят из четырех одинаковых каналов. С формальной точки зрения они абсолютно равновероятны. Конечно, можно предложить для рассмотрения и другие, хоть и менее вероятные (шестиканальные русла), направления течения воды: АВСДОКЕ, АЛМКОДЕ, и т.д.
Направления АВСДЕ и АЛМКЕ бесспорны. Нам остается понять, куда всё же течет вода в канале ДО от точки Д к О или от точки О к Д (соответственно в канале ОК от точки О к К или от точки К к О).
Вода в точке О делится на 2 одинаковых русла АВ и АЛ (следует из симметрии схемы), каждое из которых снова дробится на 2 одинаковых, но менее полноводных потока (по той же причине). Предполагаемые направления указаны на рис. №17. Так как по участкам цепи АВ и АЛ течет одинаковый силы ток I (следует из аналогии) и их электрические сопротивления r тоже одинаковы (из условия задачи), то напряжения U на этих участках равны между собой. Следовательно, перепад уровней воды на соответствующих каналах тоже одинаков, т.е. пункты В и Л находятся на одном уровне. Продолжая рассуждать в том же ключе мы выясним, что пункты С, О и М находятся на одном уровне, но ниже, чем пункты Б и Л. А пункты Д и К расположены ещё ниже, чем С, О и М. Вода в гравитационном поле Земли течет с верхнего уровня на нижний, поэтому в канале ДО вода течет от точки О к Д, а в канале ОК от точки О к К (Рис. №18).
Осталось выяснить, возможно ли течение воды по каналам ВОК и ЛОД. Вода практически несжимаема, то есть упруга. Когда два потока воды сталкиваются в пункте соединения каналов О, то в момент удара они сожмутся (в них возникнут силы упругости), а потом оттолкнутся. Два потока ВО и ЛО в точке О не пересекаются и не смешиваются. Вода течет по каналам ВОД и ЛОК так, как будто они не соединяются в точке О (Рис. №19).
Заменив потоки воды соответствующими электрическими токами, мы можем теперь перейти к формализации электрической цепи. С этой целью, заменим звенья цепи условными обозначениями резисторов, имеющих то же по модулю значение сопротивления, и трансформируем электрическую цепь к удобному для прочтения виду (Рис. №20). Не трудно подсчитать, что данная цепь имеет сопротивление 1,5 r.
Для научного прогресса аналогия является не только чрезвычайно ценным, но и неизбежным инструментом. О роли аналогий достаточно убедительно говорит Д. Пойа: «Аналогия, по-видимому, имеет долю во всех открытиях, но в некоторых она имеет львиную долю». Понятно, насколько важно приобрести навыки в поисках аналогии в самых разнообразных ситуациях. И чем неожиданней и отдаленней области знания, между которыми обнаружено сходство, тем важней их роль в становлении теоретического мышления учащихся.
С помощью гидродинамической аналогии можно найти сопротивления и более сложных электрических цепей. Примеры таких заданий приведены ниже.
Задача №1
Определите сопротивления бесконечных электрических цепей, изображенных на рисунках №21 – 23.
Задача №2
Определите сопротивление бесконечных электрических цепей, изображенных на рисунках №24 – 25. Сопротивление каждого следующего звена цепочки возрастает в одно и то же количество раз.
Задача №3
Определите сопротивления бесконечной электрической цепи, изображенной на рисунке №26 в случаях: а) все резисторы имеют одинаковые сопротивления; б) сопротивление каждого следующего после разветвления резистора уменьшается в k раз.
Задача №4
Найти сопротивление R между точками А и В каркаса, изготовленного из тонкой однородной проволоки. Число последовательно вложенных фигур считать стремящимся к бесконечности. Сопротивление стороны большей фигуры равно r. Рассмотреть случаи, когда этими фигурами являются: а) равносторонний треугольник (Рис. №27); б) квадрат (Рис. №28).
