Мне приходится делить своё время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее, потому что политика существует только до данного момента, а уравнения будут существовать вечно.
(А. Эйнштейн, немецкий ученый)
Цель урока:
- Обобщить знания учащихся по теме “Квадратные уравнения”;
- Подготовить учащихся к контрольной работе;
- Расширение математического кругозора.
Организация урока:
- Учитель разбивает класс на две команды.
- Каждая команда выбирает капитана.
- В состав жюри входят учителя математики, старшеклассники, 1-2 родителя.
- За верный ответ и правильное решение уравнения или задачи команда получает один балл.
Оборудование урока:
- Кодоскоп.
- Магнитофон.
- Карточки – задания для самостоятельных работ.
- Таблицы – картинки.
Форма проведения урока: Математический КВН.
Ход урока:
I. Вступление.
1. Вступление учителя:
“Математика в своей сущности достаточно тайнственна и романтична и обладает особой красотой, но не каждому, к сожалению, суждено видеть эту красоту.
Проведем сегодняшний урок в форме математического КВН. И надо постараться провести его так, чтобы как математик Харди, который однажды произнес, и его слова остались бессмертными: “В мире нет места для некрасивой математики”.
2. Приветствия команд.
3. Представление жюри.
II. Разминка.
Вопросы командам для разминки задаются поочередно.
- Какое уравнение называется квадратным?
- Можно ли назвать квадратными уравнения:
ax2+c=0;
ax2+x=0;
ax2=0? - Что такое дискриминант?
- Напишите формулы решения полных квадратных уравнений. Целесообразно ли по этим формулам решать неполные квадратные уравнения?
- Сколько корней может иметь квадратное уравнение?
- Напишите формулу корней квадратного уравнения, в котором второй коэффициент является четным числом.
- Сформулируйте теорему Виета.
- Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета.
- Составьте квадратное уравнение по его корням x1= -3; x2= -10.
- Составьте квадратное уравнение по его корням x1= -7; x2= -4.
III. Проверка домашнего задания.
“Путешествие в прошлое математики”
Вступление учителя.
Задача 11.
“Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение – 96.”
Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100.
Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + x; другое же меньше, т.е. 10 - x. Разность между ними 2x. Отсюда уравнение
(10 + x)(10 - x)=96
Или же
100 – x2= 96
x2 - 4= 0
Отсюда
x = 2.
Одно из искомых чисел равно 12, другое 8.
Решения x = - 2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.
Если мы решим задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения
y*(20 - y) = 96
y2 – 20y + 96 = 0
3.Выступление:
“Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате “Ариабхаттиам”, составленном в 449 году индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский математик, Брахмагунта (VII век), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:
ax2 + bc = c, a>0
В этом уравнений коэффициенты, кроме a, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагунты по существу совпадает с нашим.
Задача 13
“Обезьянок резвая стая
Всласть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась.
А двенадцать по лианам…
Стали прыгать, повисая…
Сколько ж было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?”
Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных корней. Соответствующее задаче уравнение
(x/8)2 + 12 = x.
Бхаскара пишет под видом
x2 – 64x = -768.
И, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 322, получая затем:
x2 – 64x + 322 = -768 + 1024,
(x - 32)2 = 256,
x – 32 = +/- 16,
x1 = 16, x2 = 48.
IV. Самостоятельная работа № 1.
Силу ума придают упражнения, а не покой.
(А. Поп, англ. поэт)
Каждый учащийся получает карточку, в которой 6 заданий.
Приведем задания одной карточки:
Карточка №1.
Решить уравнения:
- –2x2 = 0
- x2 – x/3 = 0
- x2 – 8 = 0
- 3x2 + 25 = 0
- (2x – 1)(7x + 1) = 0
- x2 – 10x – 24 = 0
V. Решение старинных задач “Математические жемчужины”.
Что есть лучшего? Сравнив прошедшее, Свести его с настоящим.
(Козьма Прутков)
Эти задачи пришли к нам из далекого-далекого прошлого.
Для первой команды необходимо решить задачу “Жизнь Диофанта”.
Для второй команды предполагается решить задачу о красавице Лилавати.
Жизнь Диофанта.
История сохранила нам мало черт биографии замечательного древнего математика Диофанта. Все, что известно о нем, подчеркнуто из надписи на его гробнице – надписи, составленной в форме математической задачи.
Вот эта надпись.
| На родном языке | На языке алгебры |
| Путешественник! Здесь прах погребен Диофанта. И числа поведать могут, о чудо, сколь долог был век его жизни. | x |
| Часть шестую его представляло прекрасное детство. | x/6 |
| Двенадцатая часть протекла еще жизни – покрылся пухом тогда подбородок. | x/12 |
| Седьмую в бездетном браке провел Диофант. | x/7 |
| Прошло пятилетие; он был осчасливен рождением прекрасного первенца сына. | 5 |
| Коему рок половину лишь жизни прекрасной и светлой дал на земле по сравнению с отцом. | x/2 |
| И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял, переживши года четыре с тех пор, как сына лишился. | x = x/6 + x/12 + x/7 + x/2 + 5 + 4 |
| Скажи, сколько лет жизни достигнув, смерть восприял Диофант? | |
Учащиеся, заполнив правый столбец таблицы, решая уравнения, находят, что x = 84, узнают следующие черты биографии Диофанта: он женился в 21 год, стал отцом на 38 году, потерял сына на 80-м году и умер в 84 года.
| На родном языке | На языке алгебры |
| Во время свидания Лилавати с влюбленным у неё порвалась нитка жемчуга. | x |
| Одна шестая жемчужин упала. | x/6 |
| Пятая часть осталась на нити. | x/5 |
| Третью часть спасла Лилавати. | x/3 |
| Десятую часть взял влюбленный. | x/10 |
| И, кроме того, осталось еще 6 жемчужин. | x = x/6 + x/5 + x/3 + x/10 + 6 |
| Сколько всего было жемчужин на нити у Лилавати? | |
3. Задача о красавице Лилавати.
Решив уравнение (правую часть заполняют учащиеся), находим, что x = 30, то есть 30 жемчужин было на нити у Лилавати.
VI. Решение кодированных уравнений.
Шифровать можно не только буквы цифрами, но и цифры буквами.
Решив уравнения и с помощью шифра, учащиеся могут узнать имя французского математика, который называл себя Аполлонием Гальским.
| Уравнения для первой команды: | Уравнения для второй команды: |
| 1) x2 – 6x + 9 = 0 | 1) x2 – 9x + 18 = 0 |
| 2) x2 –7x = 0 | 2) x2 –14x + 49= 0 |
| 3) – x2+ 12x – 36 = 0 | 3) – 2x2 = 0 |
VII. Рассказ о Виете.
Виет – творец математической формулы.
(Цейтен Г.Г.)
1. Учащиеся первой команды разыгрывают сцену из жизни Виета “Признание Виета всеми математиками мира”.
Учащиеся второй команды разыгрывают сцену из жизни Виета “Сцена разгадки шифра во время франко-испанской войны”.
VIII. Конкурс теоретиков.
Никто не знает, каковы его силы, пока он их не использует.
(Гёте)
Так как каждое настоящее искусство имеет свою теорию, то для учащихся предлагается вывести формулу корней квадратного уравнения (для первой команды) и доказать теорему Виета (для второй команды).
IX. Самостоятельная работа №2.
Великие возможности приходят ко всем, но многие даже не знают, что встретились с ними.
(Даннино У.)
Каждый учащийся получает карточку, в которой 5 заданий, вот, например, задания одной карточки.
Карточка №1.
Запишите квадратные уравнения, корнями которых являлись бы пары чисел:
- 5 и 7
- 2,5 и -4
- –4/5 и 5/4
- 1 – 31/2 и 1 + 31/2
- 3/8 – 51/2/8 и 3/8 – 51/2/8
X. Конкурс капитанов.
Что скажут о тебе другие, коли ты сам о себе ничего сказать не можешь.
(Козьма Прутков)
Кто больше решит уравнений за 5 минут?
Первая команда Вторая команда
- x2 + 3x – 4 = 0 1) x2 – x – 6 = 0
- x2 – 1/16 = 0 2) 9x2 – 1 = 0
- x2 – 4,5x = 0 3) x2 + 3,5x = 0
- x2 – 3x + 7 = 0 4) x2 – 5x + 8 = 0
- 6x2 – 5x + 1 = 0 5) 6x2 + x – 1 = 0
XI. Исследовательская работа “Трудная задача”.
1. Картина Богданова-Бельского “Трудная задача” известна многим, но мало кто из видевших эту картину вникал в содержание той “трудной задачи”, которая на ней изображена. Состоит она в том, чтобы устным счетом быстро найти результат вычисления:
(102 + 112 + 122 + 132 + 142)/365.
Задача в самом деле, нелегкая. С нею, однако, хорошо справлялись ученики того учителя, который с сохранением портретного сходства изображен на картине, именно С.А. Рачинского, профессора естественных наук, покинувшего университетскую кафедру, чтобы сделаться рядовым учителем сельской школы. Талантливый педагог культивировал в своей школе устный счет, основанный на виртуозном использовании свойств чисел.
Числа 10, 11, 12, 13, 14 обладают любопытной особенностью:
102 + 112 + 122 = 132 + 142
Так как 100 + 121 + 144 = 365, то легко рассчитать в уме, что воспроизведенное на картине выражение равно 2.
Алгебра дает нам средство поставить вопрос об одной особенности ряда чисел более широко: единственный ли этот ряд из пяти последовательных чисел, сумма квадратов первых трех из которых равна сумме квадратов двух последних?
2. Решение: Обозначив первое из искомых чисел через x, имеем уравнение
x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2
Удобнее, однако, обозначить через x не первое, а второе из искомых чисел, тогда уравнение будет иметь более простой вид
(x - 1)2 + x2 + (x + 1)2 = (x + 2)2 + (x + 3)2
x1 = 11; x2 = -1.
Существует, значит, два ряда чисел, обладающих требуемым свойством: ряд Рачинского
10,11,12,13,14;
и ряд
-2,-1,0,1,2.
Так как
(-2)2+ (-1)2+ 02 = 12+ 22.
XII. Самостоятельная работа №3 “Решение задач с помощью квадратных уравнений”.
Смысл рыбной ловли не в том, чтобы забрасывать удочку, а в том чтобы поймать рыбу.
(Английская пословица)
Каждый учащийся получает карточку с одной задачей.
Примерное содержание задач, входящих в карточки:
- Произведение двух натуральных чисел, одно из которых больше другого, равно 187. Найдите эти числа.
- Найдите периметр прямоугольника, длина которого на 4 см больше ширины, а площадь равна 60 см2.
- Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что их сумма равна 23 см, а площадь треугольника равна 60 см2.
Для сильных учащихся предложить решить задачу Магавиры (великого индийского математика IX века):
1/16 часть стаи павлинов, умноженная на самое себя, сидит на дереве манго, 1/9 остатка, умноженная на самое себя, вместе с 14 павлинами находится на дереве тамала. Сколько всего павлинов в стае?
XIII. Слово жюри, подведение итогов.
XIV. Домашнее задание:
Составить кроссворд по теме “Квадратные уравнения”.
Решить уравнения:
- При каких значениях k один из корней уравнения 2x2 – kx +14 = 0 равен 7?
- При каких значениях t один из корней уравнения 2x2 – 27 + t = 0 в два раза больше другого?
- Для каких значений m уравнение x2 – mx + m + 8 = 0 имеет два совпадающих корня?
XV. Заключительное слово учителя.