Рассмотрим применение тригонометрических, гиперболических и обратных им функций к нахождению корней кубических уравнений. Для начала возьмем кубическое уравнение общего вида

, (1)

с комплексными коэффициентами Его легко привести к виду

(2)

где – также комплексные числа. Сделав в нем замену ,

получим уравнение вида

, (3)

в котором , являются комплексными коэффициентами, что видно из формул, их дающих. Произведя в уравнении (3) замену , где – в общем случае некоторое комплексное число, получим также уравнение третьей степени с комплексными коэффициентами:

arccos m. (4)

Домножая полученное уравнение на число , получим

. (5)

Полагая в (5) , откуда , получим

,

или что тоже самое:

. (6)

Заметим, что выбор корней из влияет лишь на свободный член этого уравнения.

Обозначим , получим уравнение вида

. (7)

Такие кубические уравнения решаются методом, основная идея которого состоит в применении тригонометрических подстановок. Учитывая известную формулу тригонометрии

,

в уравнении (7) сделаем замену

. (8)

Тогда уравнение (7) примет вид

,

все корни которого

.

Таким образом, все корни кубического уравнения (7), с учетом (8), определяются формулой

. (9)

А корни уравнения (1)

. (10)

Рассмотрим зависимость корней кубического уравнения, приведенного к виду (7) от числа m. Как уже показано, его корни определяются по формуле

или

,

где – выбранная ветвь. Различные корни получаются при при остальных k их значения повторяются за счет периодичности функции косинус. Преобразовав последнее равенство, получим

(11)

Рассмотрим сначала прообразы точки w при отображении , то есть корни уравнения

, (12)

где w – произвольное комплексное число, отличное от . Заменяя по формуле Эйлера,

и полагая для краткости

, (13)

получим для определения t уравнение

или

, (14)

откуда

. (15)

Очевидно, произведение чисел t₁ и t₂ равно 1, поэтому каждое из них отлично от нуля. Обозначая одно из них через , а другое через , получаем из (13) два уравнения для определения z:

и . (16)

Каждое из этих уравнений имеет бесконечное множество решений, выражаемых по формулам

и

или

и (17)

Мы получили два бесконечных множества точек, расположенных на паре прямых , параллельных действительной оси. На каждой из них соседние точки z', соответственно z", отстоят друг от друга на расстоянии ; при этом для каждой точки z', лежащей на прямой , имеется на другой прямой точка z", симметричная с z' относительно начала координат.

При корни и уравнения (14) становятся равными + 1. Тогда обе прямые совмещаются с действительной осью и оба множества точек z' и z" также совмещаются. Итак, уравнение (12) во всех случаях имеет решения и всегда множество решений является бесконечным. Следовательно, каждая точка w имеет бесконечное множество прообразов в плоскости z.

Из (13) получаем:

.

То есть многозначная функция выражается через логарифм и квадратный корень

.

Для того чтобы получить какую-нибудь область плоскости w, в которой возможно выделить однозначные непрерывные ветви Aarccos w, нужно соединить между собой точки разветвления этой функции жордановыми кривыми. Возьмем, например, бесконечный сегмент действительной оси, соединяющий точки – 1 и + 1 через бесконечно удаленную точку. Этот сегмент является границей некоторой области .

О функции известно, что она отображает на область G взаимно-однозначно как верхнюю, так и нижнюю полуплоскости t. В свою очередь функция отображает каждую из них на полосы плоскости z, параллельные мнимой оси y и имеющие ширину ;

а именно, верхнюю полуплоскость – на полосы :

< <

и нижнюю полуплоскость – на полосы :

< < .

Чтобы определить однозначную ветвь Arccos w, в качестве G можно взять область, граница которой состоит из конечного сегмента действительной оси, соединяющего точки – 1 и 1 и из положительной (или отрицательной) части мнимой оси.

Действительно, рассмотрим отображение полосы 0<< посредством функции , рассматривая это отображение, как совокупность последовательно выполненных одно за другим отображений:

В плоскости t получим полосу 0 < < , где . Функция переводит границы этой полосы во всю вещественную ось, кроме точки 0, а внутренность полосы – на верхнюю полуплоскость. Причем отрезок мнимой оси 0 < < плоскости перейдет в верхнюю полуокружность единичного радиуса с центром в начале координат плоскости .

Покажем это, пусть t пробегает прямую < t < +, тогда пробегает луч, выходящий из начала координат и образующий с положительной частью вещественной оси плоскости угол . Аналогично показывается, что вещественная ось плоскости t переходит в луч, выходящий из начала координат и образующий с положительной частью вещественной оси плоскости угол 0.

Пусть теперь 0 < < , тогда , т.е. находится на полуокружности единичного радиуса с центром в начале координат. Причем эта полуокружность лежит в верхней полуплоскости . Заметим, что взаимно-однозначно и конформно отображает полосу 0 < < на верхнюю полуплоскость .

Об отображении известно, что оно переводит внутренность полукруга единичного радиуса с центром в начале координат верхней полуплоскости плоскости на нижнюю полуплоскость плоскости w, а в точках верхней полуплоскости плоскости , внешних к этому полукругу, принимает значения в верхней полуплоскости w.

Точки , лежащие на верхней полуокружности единичного радиуса с центром в 0, переходят в отрезок действительной оси < < 1, где . Действительно, для ,

0 < < имеем:

(0 < < ).

Поскольку мы брали в плоскости полосу без границ, следовательно, вещественная ось плоскости не принадлежит образу этой полосы, и в плоскости мы имеем разрез, соединяющий точки – 1 и 1 через .

Если в качестве полосы в плоскости взять полосу вида < < , (), то ее образом в плоскости будет нижняя полуплоскость, но в плоскости w результат будет тот же: разрез по действительной оси, соединяющий точки – 1 и 1 через .

Требованию взаимной однозначности отображения удовлетворяет полуполоса шириной с основанием, расположенным на действительной оси.

Если < < , , то в результате отображения этой полуполосы функцией , в плоскости w будем иметь разрез, состоящий из конечного сегмента действительной оси – 1 и положительной части мнимой оси при четном.

При нечетном k разрез в плоскости w будет состоять из того же сегмента действительной оси – 1 и отрицательной части мнимой оси.

Изобразим это при k = 2.

Эти рассуждения верны, если полуполоса лежит в верхней полуплоскости z.

Если по-прежнему четное, но полуполоса лежит в нижней полуплоскости z, то мы имеем следующую картину:

Соответственно, при нечетном k и условии, что полуполоса лежит в нижней полуплоскости z, получим в плоскости w разрез по конечному сегменту действительной оси m 1 и положительной части мнимой оси 0 < .

Выбирая полосы и полуполосы в плоскости z, мы руководствовались соображениями взаимной однозначности и конформности отображения . Действительно, выбор области в плоскости z, содержащей внутри себя точки, в которых , т.е. при (), нарушил бы условия взаимной однозначности и конформности отображения .

Вернемся теперь к формулам (11) и рассмотрим зависимость корней уравнения (7) от числа m.

1. Пусть – 1 < m < 1 лежит на вещественной оси, такие m диктуют нам выбор однозначной ветви , переводящей плоскость w с разрезом по бесконечному сегменту, соединяющему точки – 1 и 1 через z, на полосу в плоскости z (0 < < ).

   Ясно, что значения будут лежать на вещественной оси плоскости между точками вида и , т.е. < < , либо < < , . Из (11) видим, что при – 1 < < 1 – вещественных, корни уравнения (7) все вещественны.

2. Пусть теперь R \. Для таких m мы должны выбрать однозначную ветвь , переводящую плоскость w с разрезом по конечному сегменту действительной оси, соединяющему точки – 1 и 1, и положительной части мнимой оси, причем эта ветвь должна переводить названную область плоскости w на полуполосу плоскости z

< < , , шириной , с основанием, лежащим на действительной оси. Полуполоса в плоскости z должна лежать в верхней полуплоскости.

Действительно, при отображении функцией вышеназванной полосы, мы имеем в плоскости круг единичного радиуса с центром в начале координат и разрезом, соединяющим точки 0 и – i. Рассмотрим образ радиуса , где z₃ < 1, положив 0 < < 1.

Тогда

,

или , < 1.

При имеем:

< 1).

Это – бесконечный полуинтервал действительной оси: 1 < . Симметричный с ним полуинтервал < – 1 является образом радиуса, соответствующего .

В свою очередь горизонтальный диаметр (разумеется без 0) единичной окружности плоскости является образом лучей плоскости с вершинами на действительной оси в точках , параллельных мнимой оси ОY.

Причем радиус единичной окружности w получается из луча с вершиной в при четном k, симметричный с ним радиус – при нечетном k. Оба таких луча найдутся в полосе, т.к. она имеет ширину . Итак, для < m < – 1 образы для данной выбранной ветви лежат на луче параллельном мнимой оси, лежащем в верхней полуплоскости z и имеющим началом точку , где– нечетное, а для 1 < m < образы при отображении, выполненном той же ветвью , лежат на луче параллельном мнимой оси, лежащем в верхней полуплоскости z и имеющим началом точку ,

четное, .

Итак, образы при отображении лежат на луче параллельном мнимой оси.

Тогда < < ), т.е. вещественный и > 1 при четном, < при нечетном.

Учитывая, что может быть представлено в виде и, следовательно, сводится к сдвигу плоскости в направлении действительной оси, отображению и, наконец, повороту всей плоскости относительно начала координат на угол, равный : , можно заключить, что второй и третий корни кубического уравнения (7) комплексно сопряжены.

cos для < y < , дает мнимую часть корней z₂ и z₃ уравнения (7).

Дествительно,

Литература:

1. А.М. Тимохин, Г.С. Шахнович “Руководство к решению задач по теории функций комплексного переменного”. Томск 1983.
2. А.И. Маркушевич “Теория аналитических функций”. Москва 1950 Ленинград.