Показательные уравнения

Цели урока:

• изучение основных методов решения показательных  уравнений; формирование навыков решения показательных  уравнений;
• развитие мыслительной деятельности, математической речи, потребности к самообразованию, творческой деятельности учащихся, умения находить наиболее рациональный способ решения;
• воспитание познавательной активности; чувства ответственности; грамотности речи, аккуратности.

Методическая цель: продемонстрировать применение мультимедиа технологий для дифференцированного разноуровневого обучения.

Оборудование: классная доска, цветные мелки; компьютерный класс; проектор, экран.

Подготовка к уроку:

Урок проводится в профильном информационно-технологическом классе, учащиеся которого хорошо знакомы с информационными технологиями. Поэтому некоторые учащихся за неделю до урока получают задания оформить по одному из методов решения показательных уравнений в виде слайдов в MS PowerPoint. Группа экспертов, включающая учителя и ребят, занимающихся в научном обществе, прорабатывала весь материал и составляла вопросы повторения, слайды из серии “Проверь себя!” и разрабатывала карточки и инструкции для слабоуспевающих.

Структура урока:

1. Организационный момент (3мин).
2. Актуализация знаний (15 мин)
3. Изучение нового материала (30 мин).
4. Закрепление материала (30 мин).
5. Домашнее задание (2 мин).
6. Подведение итогов урока (10 мин).

Вопросы повторения:

• а) Что называется уравнением?
• б) Что значит решить уравнение?
• в) Что называется корнем уравнения?
• г) Способы решения любого уравнения.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Вступление. При решении алгебраических задач, довольно часто приходится отыскивать показатель степени, в которую нужно возвести число, чтобы получить результат. Не всегда это возможно сделать устно, поэтому необходимо знать методы решения показательных уравнений, т.e. уравнений, неизвестные которых представляют собой показатели степеней. С методами решения таких уравнений мы и познакомимся на сегодняшнем семинаре.

Сообщается тема, цели и план семинара. Учащиеся записывают число и тему урока в тетради. На экран выводится тема “Показательная функция” (Презентация) <Приложение1> (слайд № 1)

II. Актуализация опорных знаний

1.Работа по карточкам повторения: (2 человека)

1. В одной системе координат построить графики функций: y = 2x, y= 5x, y = 0.	1.В одной системе координат построить графики функций: y = ()x, y=(1/3)x, y = -2х.
2. Какие значения принимает функция y = 5x - 2? Рассмотреть различные способы.	2. Найти область значений функции y = 1 - ()x .

2. Устный счет (слайд № 2)

Найти область определения выражения: а) х; б) (х – 1); в) х +6.

Сравните числа: а) () и 2^-0,2; б) 5 · 0,4 ^1,4 и 2 · 2,5^-0,5.

Вычислить: а) 16; б) 243 ^0,2; в) ( ) ; г) · 2 ^4/3 : 3 ^1/6; д) · ()^8/3 · ()^7/6.

3. Фронтальный опрос по отработке определения показательной функции: Какую функцию зададут выражения из первого задания? Какая функция называется показательной? Чем отличаются степенная и показательная функции? Где применяется показательная функция? Как называется график показательной функции? Почему a > 0? Почему a ? 0? Почему a ? 1? Как ведет себя показательная функция при a > 1?

(слайд № 3)

1. Какие из перечисленных ниже функций являются показательными:

а) y = 2x;

б) y = x2 ;

в) y =(-3)x;

г) y =()x;

д) y = x;

е) y =(x - 2)3;

ж)y =x;

з)y = 3-x.

2. Какие из перечисленных показательных функций являются возрастающими:

а) y = 5x;

б) y = (0,5)x;

в) y =()x;

г) y = 10x;

д) y =x;

е) y = (?)x;

ж) y = 49;

з) y =(14 cos()) -x.

3. Как располагаются графики показательных функций относительно друг друга? Рассмотреть случаи х > 0, х < 0.

3. Программированный контроль по отработке свойств показательной функции. Учащиеся, отвечая на вопросы, ставят “+”, если утверждение верно или “-” если оно неверно.

Верно ли, что показательная функция: а) задана на всей числовой прямой; б) является монотонной; в) имеет экстремумы; г) принимает значение, равное 0; д) принимает значение равное 1; е) является четной; ж) является нечетной; з) принимает только положительные значения.

Записать координаты точек необходимых для построения графика показательной функции.

Самопроверка (слайд № 4, № 5)

x	- 1	0	1
y		1	а

1. D (y) = R, непрерывна на R 2. E (y) = R₊ = (0; +?), ограничена снизу прямой у = 0
2. у ни четная, ни нечетная
3. у = 0 нет
4. y > 0 на R
5. у возрастает на R
6. экстремумов нет
7. выпукла вниз
8. 9. дифференцируема на R
9. у убывает на R

III. Изучение нового материала

Создание проблемной ситуации:

По графикам, построенным на доске определить абсциссы точек их пересечения:

а)y = 2x и y = 0;

б)y = ()x и y = -2.

Абсциссы точек пересечения графиков функций y = ^x и y = b являются решением простейших показательных уравнений. Вводится определение простейшего показательного уравнения как уравнения вида ^x = b, где >0 и ?1. При b?0 уравнение корней не имеет,

при b > 0 показательное уравнение имеет единственный корень. Записывается на доске.

С использованием слайда № 6 вводится определение показательных уравнений вида:

^{f (x)} = ^{g (x)} как уравнение такого вида и сводящиеся к нему.

Приводятся примеры: 2^2х-4 =64; ()^2х+5 = ()^-1; 5^х-3 = 5^3х-8.

1. Простейшие показательные уравнения.

Простейшие показательные уравнения решают либо с помощью графика, либо способом приведения к общему основанию. Рассмотрим функционально-графический метод решения простейших показательных уравнений ^x = b. При построении графика функции целесообразно использовать информационные технологии и производить при помощи табличного процессора MS EXEL.

Построение графика функции: 2^х = 2 на промежутке от -2 до 2, с шагом 0,2.

1.1 Заполнение таблицы:

• заголовок
• значения аргумента
• значения функции

1.2 Построение графика функции:

а) Построить таблицу значений функции

Заметим, что ряд аргументов представляет собой последовательность из 21 числа с одинаковым расстоянием 0,2 между ними. Это свойство можно использовать для быстрого ввода чисел этого ряда.

Введите в ячейку А3 число -2, в А4 – число -1,8. Выделите эти ячейки. У ячейки А4 ухватите маркер автозаполнения и протяните его до ячейки А21. Весь ряд заполнится нужными числами, т. е. числами от -2 до 2 с шагом 0,2.

Теперь введите формулу для функции в ячейку B3. Щелкните по ней. Введите: =2^A2

После ввода закройте ячейку клавишей Enter.

Найдите маркер автоподбора ячейки B1 и протяните его до ячейки B21.

В окончательном виде таблица значений аргумента x и соответствующих им значений функции y(x) показана на <Рисуноке1>

б) Построение графика. Щелкните по ячейке вне таблицы. Запустите Мастер диаграмм.

В окне первого шага щелкните по закладке Нестандартные, затем по строке Гладкие графики.

В окне второго шага укажите расположение рядов в столбцах. Щелкните на кнопке строки Диапазон и выделите вычисленные значения функции (ячейку заголовка не выделяйте). Снова щелкните по кнопке диапазона. Окно распахнется. Щелкните на закладке Ряд. Теперь щелкните по кнопке строки Подписи оси X: и выделите ряд значений аргумента (в столбце x).

На третьем шаге на закладке Заголовки внесите название График функции. На закладке Линии сетки поставьте галочки опций основные линии по обеим осям. На закладке Легенда снимите галочку опции Добавить легенду.

Закройте Мастер диаграмм. Отрегулируйте шрифты и положение графика на подложке.

Диаграмма примет вид, показанный на рис.1.

Учащиеся на местах, при помощи MS EXEL строят графики функций: 5^х=1 ; 5^х=5; 0,3^х=1; 0,3^х=3.

Ученик выходит к экрану, на который спроектировано решение уравнений (слайд № 7) и поясняет их решение: 5^х=1 и 5^х=5; 0,3^х=1 и 0,3^х=3.

Ученики записывают их решение в тетрадь и задают вопросы.

Кроме графического существует и аналитический метод решения простейших показательных уравнений – уравнивания показателей.

а) Уравнения вида решаются так: показатель степени приравнивают к нулю и находят корни уравнения f(x) = 0.

Поступая так, пользуются определением: a ⁰ = 1. Поэтому уравнение a ^f(x) = 1 равносильно уравнению a ^f(x) = a ⁰, а оно в свою очередь равносильно уравнению f(x) = 0, f(x) – некоторая функция.

Разбор с места: 8^{x – 5} = 1, самостоятельно 2^3-x = 1.

Решение уравнения ()x ^{– 5x + 6} = 1 показывает ученик на доске: x – 5x + 6 = 0, по теореме Виета находит корни х₁= 2, х₂= 3.

Для решения уравнения 49^x+0,5 • 7^x-2 =1 воспользуемся свойствами степеней и “соберем” в левой его части выражение вида 7 ^{f (x)} : 7^2х+1•7^х-2 = 1; 7^3х-1 = 1; 3х-1 = 0; х = . Все уравнения заранее записаны на центральной части доски и стираются по мере решения.

б) При b ? 1. Уравнения вида a ^x = b решают способом приведения к общему основанию. Следует помнить, что показательная функция монотонная и непрерывна т. е. принимает каждое свое значение только один раз при одном значении аргумента и поэтому если ^Х1 = ^Х2 , то Х₁ = Х₂.

Устно разбор уравнений на слайде № 6.

Для закрепления материала устно решаются уравнения из учебника № 1357 - № 1360.

2. Функционально – графический метод

Следующий учащийся поясняет решение графическим методом при помощи табличного процессора MS EXEL уравнения этого вида 2^-х =3^0,5х. Так как все показательные функции принимают при х = 0 значение равное 1, то их графики пересекаются в точке (0;1). <Рисунок 2>

Вывод: показательные уравнения вида a ^{f (x)} = b ^{g (x)} имеют 1 корень = 0. (слайд № 8, № 9). Графический способ стараются применять только тогда, когда алгебраический весьма затруднен. Например, необходимо решить уравнение a ^{f (x)} = g(x). При этом нужно отметить, что построение графиков многих функций – очень непростая задача, и здесь также уместно применение информационных технологий (MS EXEL).

Для закрепления материала учащиеся решают графически задание из учебника № 1371 - № 1372 (в, г), одна группа учащихся - в тетрадях, другая группа - используя электронные таблицы.

Кроме графического существует и аналитический метод решения показательных уравнений – уравнивания показателей.

2. Метод уравнивания показателей

Решая показательное уравнение необходимо привести их к простейшим.

С использованием слайда № 10 сформулировать и доказать теорему:

показательное уравнение a ^{f (x)} = a ^{g (x)} (где a >0, a ?1) равносильно уравнению f (x) = g(x). Доказательство записать на доске. Учащимся предлагается с применением теоремы решить уравнения а) на разворотах доски (уравнения записаны снизу вверх и убираются по мере решения):

()^3х-1 = ()^5х-9 и ()^{2х + х - 0,5} = . Ответы ? = 1, ? = -1, ? = .

Самостоятельно решить по вариантам № 1362 (I – a), б); II – в), г)).

а) Показательные уравнения вида a ^{f (x)} = b ^{f (x)} сводятся к виду a ^f(x) = 1. Выражение, стоящее в левой части, делиться на правую часть (или наоборот). Так как показатели степеней равны, частное степеней есть степень частного, а справа (или слева) остается единица.

Ученик разъясняет классу решение уравнения 2 ^0,5x = 3 ^0,5x (слайд № 11).

3 ^0,5x > 0, () ^0,5x = 1, 0,5х = 0, х = 0. Ответ: х = 0.

Учащимся предлагается: а) самостоятельно решить уравнение, записанное на доске: 5^x-5 = 3^x-5. Ответ: х = 5.

б) оформить на доске и тетрадях решение следующего уравнения: = . Ответ: х = - 2. Какие свойства степени применялись при решении уравнений?

б) Уравнения вида: А_1a ^mx+p1+ A₂ a ^mx+p2+ … + A_{n a} ^mx+pn = B, где А₁, А₂, …, А_n, p₁, p₂, … , p_n – числовые коэффициенты, решаются следующим образом: среди степеней с основанием a , как правило, выбирается степень с наименьшим показателем и выносится за скобки, затем вычисляется сумма, которая осталась в скобках. После этого число В, стоящее в левой части, следует разделить на эту сумму. В итоге уравнение сводится к виду a ^{f (x)} = a ^{g (x)}. Ученик поясняет решение уравнения этого типа на примере: 4^х+1 + 4^х = 320, 4^х (4 + 1) = 320, 4^х = 64, х = 3. (слайд № 11)

Затем двое учащихся решают уравнения б) на развороте доски

2• 3х+1 - 4• 3х-2 = 150	7х+2 + 4• 7х-1 = 347
3х-2 (2• 33 – 4) = 150	7х-1 (73 + 4) = 347
3х-2•50 = 150	7х-1• 347 = 347
3х-2 = 3	7х-1 = 1
х=3	х = 1

Вывод: при решении уравнений методом уравнивания показателей, необходимо привести обе части уравнения к одному основанию, применяя либо свойства степени, либо разложение на множители, либо почленное деление на выражение a ^f(x) , где a ^f(x) > 0.

3. Метод введения новой переменной

а) Уравнения вида Аa ^2х + Вa ^х + С = 0. Эти уравнения сводятся к квадратным путем замены выражения a ^х новой переменной. После решения получившегося квадратного уравнения возвращаются к старой переменной и решают простейшие показательные уравнения. Учащийся комментирует решение на приготовленном им слайде: 4^х + 2^х+1 – 24 = 0, (слайд № 11). 2^2х +2 • 2^х -24 = 0. Сделав замену 2^х на t, где t > 0, получим t² + 2t – 24 = 0. Корни полученного квадратного уравнения 4 и -6. -6 - посторонний корень. Решив уравнение 2^х = 4, имеем х=2. Один ученик решает уравнение в) на левом развороте доски: 4

От чего зависит количество корней данного уравнения? При каком условии данное уравнение не имеет решения?

О.Д.З.: х ? 2 2 = с, с>о, с² – 10с +16 = 0, с = 2 и с = 8, 2 = 2 и 2 = 8, = 1 и = 3. Решив простейшие иррациональные уравнения получим два корня: х₁ = 3 и х₂ = 11.

б) Метод введения новой переменной используется и при решении следующего уравнения:

3^х + 3^3-х = 12. (слайд № 12)

Один ученик разъясняет решенное им уравнение.

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выделить выражение

3^х: 3^х + 3³• 3^-х = 12.

Затем, обозначив 3^х за у (у>0), получим что 3^-х = .

Умножив, обе части уравнения у + - 12 = 0 на у получим:

у² – 12у +27 =0.

Вычислив корни квадратного уравнения, переходим к совокупности простейших показательных:

3^х = 3 и 3^х = 9.

Отсюда х₁ = 1 и х₂ = 2.

Следующий учащийся разбирает аналогичное уравнение в) на правой части доски: ()^1-х - () ^х = 4.96. Какую другую замену можно сделать при решении этого уравнения? Почему t >0?

Пусть () ^х = t, t > 0. • ()^-х - () ^х = 4, • - t = 4, t² + 4t - = 0, t = - 5 (пост) и t = , () ^х = , х = 2.

Подведем итоги:

Можно выделить три основных метода решения показательных уравнений (слайд № 14):

Функционально – графический (графические иллюстрации);

Уравнивания показателей (a ^t = a ^s);

Введения новой переменной.

IV. Закрепление материала

Для закрепления материала я сначала прошу ребят провести классификацию по методам решения уравнений, представленных в учебнике под № 1363- № 1370. Работа идет в форме беседы. Затем используется раздаточный материал – карточки-инструкции, Приложение 2 на которых представлены показательные уравнения. Каждый ученик получает четыре задания, по одному на метод. При этом они могут задавать вопросы консультантам, которые выступали на семинаре. Консультанты выполняют решение уравнений г) и д), записанных на доске.

Дальше классу предлагается разобрать по учебнику пример № 4, оформить его решение в тетрадях. Аналогичное уравнение решается на доске.

V. Домашнее задание

Для выполнения домашнего задания предлагаю слабоуспевающим учащимся решить уравнения г) и д) с доски и а) из № 1363- № 1370 (по одному на каждый из методов решения).

Для группы, хорошо усвоивших материал решить шесть уравнений из сборника Сканави и приготовить по одному слайду с их решением.

Уравнение из сборника Сканави:

а) 2^х-3 • 5 ^х-3 = 0,01• (10^х-1)³; б) 10 + 25