Статья
Контрольные измерительные материалы Единого Государственного Экзамена содержат три геометрические задачи. Две из них (планиметрическая и стереометрическая) включены в часть 2. Ещё одна стереометрическая задача высокого уровня сложности включена в часть 3. Все геометрические задания, которые входят в работу, относятся к “абитуриентской” части экзамена. Они проверяют владение геометрическим материалом на уровне, превышающие базовый уровень.
По данным статистической обработки результатов ЕГЭ с геометрическими задачами справляются не более 10% выпускников. Очевидно, что отсутствие обязательного экзамена по геометрии за курс основной школы сказывается на результатах экзамена за курс полной средней школы.
Чтобы выпускники были более успешными, необходимо с первых уроков в 10-м классе организовать систематические повторения курса планиметрии, решать планиметрические задачи второй части ЕГЭ, продолжая эту работу и в 11-м классе.
После изучения стереометрического материала провожу уроки-практикумы по темам “Треугольники и пирамиды”, “Треугольники и призмы”, “Четырехугольники и призмы”, “Параллелограммы и параллелепипеды” и т.д.
Цели и задачи таких уроков:
- Повторение и систематизация изученного материала по теме урока, развитие элементов геометрического мышления.
- Повышение конкурентоспособности выпускников.
- Воспитание интереса к оперированию геометрическими понятиями и образами.
Остановлюсь на одном из них:
“Параллелограммы и параллелепипеды в задачах олимпиад и ЕГЭ”
Главная задача урока – усиление практической направленности обучения.
Ход урока.
I. Класс разбивается на три группы, каждая их них получает задание:
- Задача B11 из варианта №12 ЕГЭ 2005 г.
- Задача С3 из варианта №34 ЕГЭ 2004 г.
- Задача олимпиадного содержания (ТПУ)
Готовясь к уроку, все учащиеся повторяли теоретический материал по соответствующей теме, решали задачи базового уровня.
II. Оперативная диагностика усвоения основных понятий и формул проводится в виде теста:
А1 Площадь полной поверхности куба равна 24. Найдите объём куба.
1) 216 2) 8 3) 27 4) 6
А2 Каждое ребро прямого параллелепипеда равно 4, один из углов основания 30°. Найдите объём параллелепипеда.
1) 16 2) 32
3) 32 4) 64
А3 Диагональ правильной
четырехугольной призмы равен ,
а сторона основания 1. Найдите объем призмы.
1) 6 2) 2 3) 4 4) 8
В1 Измерения прямоугольного
параллелепипеда равны 2 ,
4 , 9. Найдите ребро куба, объём которого
равен объёму данного параллелепипеда.
С помощью переносных досок и кодоскопа проверяется решение задач.
А1 |
А2 |
А3 |
В1 |
2 |
3 |
2 |
6 |
Группа, решившая все задания правильно, получает право выбрать из предложенных трёх задач более интересную и приступить к её решению. По мере исправления ошибок остальные группы подключаются к решению сложных задач. Тексты задач вместе с вариантами экзаменационных работ предоставлены обучаемым.
Каждая группа выбирает того, кто будет оформлять решение задачи на доске.
Представители групп выходят к доске с текстами задач, готовят чертёж, записывают кратко условие задачи и приступают к её решению, получив право свободного перемещения по кабинету для консультации с членами группы, каждый из которых тоже может подойти к доске и помочь товарищу, или оформить решение на переносной доске, которое во время защиты решения задачи может продемонстрировать классу. Учитель при необходимости шёпотом даёт консультацию работающим у доски.
III. Защита решения задач.
1. В11 из варианта №12 ЕГЭ 2005 г.
В ромбе АБСД синус острого угла С равен 0,6. Площадь ромба равна 135. Высота ВК пересекает диагональ АС в точке Р.
Найдите длину отрезка РК.
Рисунок №1
Решение:
- Sp = BC*CD*SinC = BCІ*0.6 = 135 (Стороны ромба равны)
BCІ = 135/0,6 = 1350/6 = 225; BC = CD = 15 
ABK: BK = AB*SinA = 15*0.6 = 9
AK = AB * CosA =
- APK подобен ?CPB по двум углам
Ответ: РК = 4.
2. С3 из варианта №34 ЕГЭ 2004 г.
Все грани призмы АВСDA1B1C1D1 – равные ромбы со стороной, равной 4. Углы BAD, BAA1 и DAA1 равны 60° каждый. Найдите расстояние от точки D до плоскости BCD1. (Или объём призмы. Право выбора остаётся за учащимися, а не выбранная задача включается в число задач домашней работы и проверяется на следующем уроке).
Решение первой задачи:
Призма эта – параллелепипед, так как все грани являются параллелограммами. Докажем, что DO – искомое расстояние.
BAD равнобедренный с углом при вершине 60°,
следовательно углы при основании тоже по 60°;
получаем, что BAD – равносторонний, BD = 4.
Аналогично рассмотрев треугольники A1AD и A1AB приходим к выводу:
DA1 = 4, A1B = 4.
BA1D1C – параллелограмм (BC || A1D1 и BC = A1D1), в котором BD1 и A1C – диагонали, следовательно они точкой пересечения делятся пополам.
CDA1 – равнобедренный (DA1 = 4; CD = 4); DO – медиана и, следовательно,
высота, т.е DO 
A1C , аналогично
в BDD1 DO BD1
По признаку перпендикулярности прямой и плоскости DO + (BCD1) и DO – искомое расстояние.
Длину отрезка DO находим как катет
прямоугольного треугольника DOB с гипотенузой DB = 4
и катетом BO. Находим BO как радиус окружности,
описанной около квадрата BA1D1C
со стороной а = 4 по формуле 
,
предварительно доказав, что параллелограмм BA1D1C является квадратом (BO=OD1=OA1=OC, как проекции равных
наклонных DB=DD1=DA1=DC = 4, и
стороны параллелограмма BA1=A1D1=D1C=BC= 4).
DOB: LDOB = 90°, DB = 4, BO = 
по теореме Пифагора DO = 
Ответ:
3. Задача олимпиадного содержания (ТПУ)
IV. После обсуждения решений, предложенных представителями групп, учитель демонстрирует правильное оформление этих задач, заранее написанное на внутренней части доски или с помощью кодоскопа. Подводится итог двухчасового занятия, выставляются (частично) оценки. Дома предлагается оформить решение всех предложенных задач и решить:
- Вторую задачу С3 варианта №34
- В9 из варианта №632 ЕГЭ 2004 года.
Найти большую диагональ параллелограмма, если
его стороны равны 7 и 5,
а площадь параллелограмма равна 35. (Тексты задач
получают все ученики класса).
После трех таких занятий проводится зачёт и контрольная работа (по решенным задачам).