“Три качества - обширные знания,
привычка мыслить и благородство чувств –
необходимы для того, чтобы человек
был образованным в полном смысле этого слова” (Г. Чернышевский)
Математика является одним из опорных предметов средней школы: она обеспечивает изучение других дисциплин: физики, химии, информатики, вычислительной техники. Развитие логического мышления учащихся при обучении математике способствует усвоению предметов и гуманитарного цикла. Практические умения и навыки математического характера необходимы для трудовой и профессиональной подготовки школьников.
Характер человека, способности, привычки, интерес формируются в процессе его деятельности. Экспериментально доказано, что многие учащиеся, которых считали не способными к математике, попадая в новые условия, когда необходимо самостоятельно действовать, мыслить, искать, под влиянием этих новых условий успешно овладевают математическими законами, правилами, теоремами. Именно такие условия обеспечивают умственное развитие школьника.
Требуя от учащихся умственных и волевых усилий, концентрации внимания, активности воображения, математика развивает нравственные черты личности: настойчивость, целеустремленность, творческую активность, самостоятельность, ответственность, трудолюбие, дисциплину и критичность мышления.
Основной задачей обучения математике в общеобразовательной школе является обеспечение прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования.
Наряду с этой задачей перед учителем стоит проблема: научить школьников рассуждать, научить мыслить. Ни один школьный предмет не может конкурировать с возможностями математики в воспитании мыслящей личности.
Достижение необходимого развивающего эффекта обучения математике возможно на базе реализации деятельностного подхода, который направлен на развитие каждого ученика, на формирование индивидуальных способностей учащихся.
Исследования психологов и педагогов показывают: чтобы научить школьников самостоятельно и творчески учиться, нужно включить их в специально организованную деятельность, сделать “хозяевами” этой деятельности. Для этого нужно выработать у школьников мотивы и цели учебной деятельности (“зачем учиться математике”), обучить способам ее осуществления (“как учиться”). Необходимо освободить ребенка от боязни наказания за несделанное, за невыученное. Ведь не секрет, что в большинстве своем именно эта причина является “движущей силой” сегодняшнего обучения. Однако, психологи всего мира единодушны в том, что неизмеримо больший стимул учения – положительное подкрепление, поощрение правильных действий ученика. Сегодня учить, делая ставку на наказание, ошибочно и малоэффективно. И только дифференцированный подход в обучении школьников является самым оптимальным и разумным. Получать удовольствие от занятий математикой школьник может лишь при условии, если дифференциация ему доступна. В противном случае один ученик будет учиться налегке, не напрягаясь, другой - пытаясь осилить непосильное. Первый из них не найдет применения имеющимся способностям и не разовьет потенциальные, второй будет чувствовать постоянное унижение, на каждом шагу ощущать собственную неполноценность, умственную убогость, что приведет к отвращению от математики.
Мы должны дать детям новые стимулы учения – те стимулы, которые лежат в самом учении. Если внешних побуждений к учению почти нет, если способов к принуждению совсем нет, если нельзя рассчитывать на всеобщий интерес к предмету, - и если мы реалисты и не хотим прятаться от действительности, - то перед нами лишь один путь: мы должны вовлекать детей в общий труд учения, вызывая у них радостное чувство успеха, движения вперед и развития.
Почти в каждом классе есть от природы одаренные дети. Но если не заботиться постоянно об их развитии , не поставлять им достаточную пищу для ума , то они не могут состояться как творческие личности. Одной из перспективных форм развития творческих способностей личности является создание в общеобразовательных школах научных обществ учащихся. Увлечение наукой в школьные годы оказывает огромное воспитывающее влияние, развивает потребность в творческой деятельности, воспитывает трудолюбие и ответственность за порученное дело.
Основная задача, которая ставится перед учениками – научиться мыслить и овладевать фундаментальными знаниями. Это не набор некоторых правил и умений решать стандартные задачи, а глубокое понимание сути изучаемого материала. В процессе исследовательской работы школьники сами ищут способы решения поставленной задачи, реализуют их, учатся обобщать полученные результаты, применять их для решения новых проблем.
В нашей школе научно-исследовательская работа по математике ведется не первый год. Изучаются темы, взятые за пределами школьной программы, пишутся рефераты, проводятся научно-практические конференции и семинары. В текущем учебном году под эту работу мы подвели нормативно-правовую базу: создано Математическое Научное Общество Учащихся (МНОУ): разработаны Устав <Приложение 1> и Программа <Приложение 2> МНОУ, выпускается малоформатная газета “Математический вестник” <Приложение 3-1, Приложение 3-2>
Еще одна форма активной познавательной деятельности заслуживает внимания - это подготовка и проведение теоретических и практических семинаров по заданной теме. Представленный ниже вариант семинара был проведен автором в текущем учебном году в 11 классе по теме “Задачи, решаемые с помощью интегралов”.
Подготовка к семинару состоит из двух частей:
- планирование изучения темы и создание условий для самостоятельной работы учащихся с учебником и дополнительной литературой;
- составление плана семинара и подготовка к нему.
1) Изучение темы рекомендуется начать с повторения и обобщения свойств всех ранее изученных функций и их графиков. При этом необходимо обратить внимание на то, как аналитически решить задания такого типа:
- установите, пересекаются ли графики функций;
- найдите точки пересечения графиков двух функций;
- установите, при каких х график первой функции лежит выше (ниже) графика второй функции
При выполнении этих упражнений можно ограничиться планом действий перехода от графического языка к алгебраическому. Домашнее задание полезно провести в виде практической работы по построению графиков и нахождению части координатной плоскости, заключенной между двумя графиками. В дальнейшем с этим домашним заданием, выполненном на отдельных листочках, будет продолжена работа на семинарском занятии.
Анализ соответствующих разделов учебников по алгебре и геометрии позволяет выявить аналогию в выводе формул для вычислений с помощью интеграла площади криволинейной трапеции и объема тела. Это означает, что при изложении темы “Интеграл” имеет смысл укрупнить учебную информацию и проводить урок-дуэт “алгебра + геометрия” в форме лекции. После этого можно предлагать учащимся задания как по алгебре, так и по геометрии.
Логическая и математическая взаимосвязь обеих формул подсказывает и оформление записей на уроке. Их целесообразно вести в две колонки и наглядно сопоставлять ход рассуждений.
Далее идет серия уроков алгебры и геометрии по изучению способов вычисления интегралов, вычисления площадей криволинейных трапеций и нахождения объемов тел.
2) Подготовка к семинару идет параллельно изучению теоретического материала. Четыре-пять наиболее подготовленных учащиеся получают индивидуальное домашнее задание: изучить соответствующие разделы учебника, найти и использовать дополнительную литературу, приготовить решения 2 – 3 задач по заданной теме.
Творческие задания по этой теме могут быть такими:
- Вывести формулу для вычисления площади фигуры, составленной из неперекрывающихся криволинейных трапеций.
- Вывести формулу для вычисления площади фигуры, полученной как разность криволинейных трапеций, которые образованы графиками функций, принимающих только положительные значения.
- Вывести формулу для вычисления площади криволинейной трапеции, расположенной на отрицательной полуплоскости.
- Приготовить сообщение о применении интеграла к вычислению объемов отдельных частей шара.
- Подобрать задачи из практики, решаемые с помощью интегралов.
- Отыскать возможности применения интегралов в курсе физики.
- Обязательное условие проведения математического семинара:
В течение семинара остальные ребята не должны быть пассивны. Им предлагаются карточки-задания с вопросами по теме каждого сообщения. Тогда они будут внимательно слушать докладчиков и искать ответ на свой вопрос. В конце семинара, перед подведением итогов, необходимо обязательно выслушать все ответы на поставленные в карточках вопросы.
Примерные вопросы для учащихся – слушателей семинара могут быть следующими:
- Кто ввел знаки производной и интеграла?
- Какие задачи решают с помощью интеграла?
- Найти на доске фигуру, для вычисления площади которой надо сложить значения соответствующего интеграла.
- Рассказать о способе отыскания площади фигуры, составленной из двух не перекрывающих друг друга криволинейных трапеций.
- Как вычислить площадь фигуры, если она ограничена графиком функции р(х), где р(х)<0?
- Какое свойство площадей надо использовать при вычислении площадей фигур, имеющих сложную конфигурацию
- Как называют формулу для нахождения площади криволинейной трапеции?
За неделю до семинара необходимо провести индивидуальные консультации, при этом посмотреть выполнение заданий, ответить на вопросы по оформлению докладов, проверить решения задач, дать настрой на деловую атмосферу, на то, как нужно держаться и вести себя в роли докладчика, быть готовым отвечать на вопросы по своему сообщению.
Непосредственно перед семинаром учителю необходимо продумать оформление класса и доски: написать план проведения семинара, темы сообщений и фамилии докладчиков, решить, где вывесить плакаты и таблицы, куда поставить трибуну для выступающих, какое место на доске оставить для записей и т. д.
План проведения семинара
- Вступительное слово учителя о теме и цели предстоящего семинарского занятия, о том, как шла работа по разработке выбранных тем.
- Выступления учащихся.
- Итог каждому выступлению подводит учитель после того, как выступающий коротко и четко запишет на доске алгоритм решения соответствующей задачи.
- Далее учитель задает контрольный вопрос: “На чьих карточках вопросы соответствуют первому докладу?”, второму и т.д. Учащиеся поочередно встают, зачитывают вопросы и отвечают на них.
- В качестве нестандартной задачи из практики, решаемой с помощью интегралов, можно предложить решить задачу “о каше” (см ниже).
- В заключение учитель еще раз перечисляет те виды задач, при решении которых применяются интегралы, подводит итоги, оценивает работу всех учащихся.
После урока-семинара, как правило, проводится разноуровневая контрольная работа, в эту работу полезно включить несложное задание по геометрии на вычисление объема тела вращения.
Задача “о каше”
“Оля насыпала в цилиндрическую кастрюлю немного пшена и спросила маму: “Сколько надо добавить воды, чтобы получилась вкусная каша?” - “Это очень просто, - ответила мама, - наклони кастрюлю так, чтобы крупа закрыла ровно половину дна. Теперь сделай метку на стенке кастрюли, до которой поднялась крупа, и до этого уровня налей воды!” - “Так ведь пшена можно насыпать побольше или поменьше, да и кастрюли бывают разные – широкие, узкие” - усомнилась дочь. “Все равно мой способ годится в любом случае, запомни это и применяй!” - гордо ответила мама”.
Докажите, что мама права: отношение объемов воды и крупы по ее рецепту для любой цилиндрической кастрюли получается одинаковым. Найдите, чему равно это отношение.
Ответ: 3
/2-1