Урок алгебры в 8-м классе по теме: "Решение квадратных уравнений"

Бокряжова Татьяна Тимофеевна

Форма проведения: научно-практическая конференция.

Цели урока:

Способствовать выработке у учащихся умения обобщать изученный материал, анализировать, сопоставлять, делать выводы.
Систематизировать знание формул корней квадратного уравнения, дискриминанта, теоремы Виета.
Рассмотреть некоторые приёмы устного решения квадратных уравнений через организацию исследовательской работы учащихся.
Развивать логическое мышление учащихся.
Повышать интерес к изучаемой теме.

Поиск эффективных методов обобщения и углубленного повторения материала ведёт к повышению качества урока.

Данному уроку предшествовала поисковая и исследовательская работа. Весь класс был разделён на группы по 3 – 4 человека, в результате образовалось 5 групп. С учётом степени математической подготовки были вручены карточки, где формулировалась тема доклада. Кроме этого четыре группы готовили по 1 – 2 заданию для учащихся всего класса согласно своей исследовательской работы. На подготовку отводилась неделя.

ХОД УРОКА

I. Вступительное слово учителя: тема урока, форма, цель, порядок проведения.

На этом же этапе учитель предлагает в тетрадях для контрольных работ начертить таблицу, используя технологию критического мышления.

Знаю
Хочу знать
Узнал

Учащимся предлагается заполнить первые две строки.

II. Выступление представителей групп с докладами.

Историческая справка. Уравнения второй степени умели решать ещё в Древнем Вавилоне во II тысячелетии до нашей эры. Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически; например, Евклид – при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, рассматриваются во многих древних математических рукописях и трактатах, таких как “Математика в девяти книгах” (II век до нашей эры). Формула корней квадратного уравнения “переоткрывалась” неоднократно. Один из первых дошедших до наших дней выводов этой формулы принадлежит индийскому математику Брахмагупте (около 598 г.) среднеазиатский учёный ал-Хорезми (IX век) в трактате “Китаб аль-джебр валь-мукабала” получил эту формулу путём выделения квадрата двучлена с помощью геометрической иллюстрации. В формуле корней квадратного уравнения присутствует знак . Более 500 лет длилась эволюция знака радикала. Современное обозначение состоит из двух частей – знак модифицированной буквы r (от radix – “корень”) и черты, заменявшей скобки.

2. Во вторую группу вошли учащиеся со слабой математической подготовкой. Тема выступления: “Решение квадратных уравнений по формуле и с использованием теоремы Виета”. Целью выступления является обобщение теоретического материала, который полностью соответствует изложению в учебнике.

3. Третья группа работала над темой “Решение неполных квадратных уравнений и полных квадратных уравнений путём выделения квадрата двучлена”.

Полное квадратное уравнение имеет вид:

b и c – любые числа.

Рассматривается следующие три случая неполных квадратных уравнений:

1) в = 0, с 0, тогда имеем уравнение

Данное решение имеет место при – >0

Если все три коэффициента не равны нулю, то уравнение можно решить путём выделения квадратного двучлена. Этим способом удобнее пользоваться, если уравнение приведённое.

Здесь возможны два случая:

1) 2)

Если у учащихся класса возникают вопросы, то докладчик даёт ответ.

4. Тема четвёртой группы “Выявление закономерностей между суммой коэффициентов a, b, c и корнями уравнения”.

Для исследования были предложены следующие уравнения:

После решения уравнений ребята пришли к заключению, что если в уравнении

выполняется условие то один из его корней равен 1, а другой по теореме Виета равен . Это свойство можно доказать.

Так как то Подставив это выражение вместо в уравнение имеем:

Отсюда по теореме Виета:

Следовательно

В уравнениях 6, 7, 8 один корень равен – 1, а другой – Это выполняется, если

Участники группы предлагают классу применить “открытые” ими свойства при устном решении уравнений:

Для закрепления этих свойств на магнитную доску помещается таблица:

5. Пятая группа посвятила своё выступление решению квадратных уравнений с параметрами. Эта тема ещё не рассматривалась на уроке, поэтому учащимся предстояло рассказать, что такое параметр, обучить некоторым приёмам решения квадратных уравнений, содержащих параметры.

а) В уравнении один из корней равен – 4. Найдите другой корень этого уравнения и коэффициент .

Решение: по теореме Виета

Так как то Подставляя вместо и x₂ получаем , значит .

Ответ: .

б) Один из корней уравнения равен 13. Найти другой корень этого уравнения и коэффициент .

Решение: по теореме Виета

Так как то

Зная и находим

Ответ:

в) При каких значениях уравнение имеет один корень? Найти корень этого уравнения.

Это уравнение можно решать двумя способами.

I способ. Выделение квадрата двучлена.

Отсюда или – 3.

Т.е. и .

Если то

()² = 0

Если то

()² = 0

Ответ: ,

II способ. Квадратное уравнение имеет один корень, если D=0. Найдём дискриминант данного уравнения и приравняем к 0.

D =

и корни соответственно: и
.

По мнению учащихся II способ решения проще и более понятен.

г) При каких значениях уравнения имеет только один корень?

Уравнение имеет один корень в двух случаях:

Если . В этом случае квадратное уравнение обращается в линейное и имеет корень .
Если , то уравнение является квадратным, тогда один корень оно имеет, если D = 0. Выполним это условие и найдём

D =1 – 4

Ответ:

III этап урока.

Подведение итогов конференции. Учащиеся заполняют таблицу, начатую в начале урока, походу выступления участников творческих групп. Желающие зачитывают свои записи, обмениваются мнениями. Учитель подводит итог научной части конференции.

IV этап. Практическая часть конференции.

Она длится 10 минут.

Участники групп обмениваются приготовленными заданиями, которые записаны на отдельных карточках. Решения записываются в тетрадях для контрольных работ и сдаются на проверку учителю.

Самостоятельная работа.

1 вариант

Решить уравнения:

1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8) При каких значениях уравнение имеет один корень?