Различные варианты объёма и характера изложения в средней школе элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей (более кратко, стохастики) неоднократно появлялись и обсуждались на протяжении последних 10-15 лет. Первые версии, входившие в проекты обязательного минимума содержания обучения математике, включали явно избыточный материал (вплоть до плотностей непрерывно распределённых случайных величин, их математического ожидания и дисперсии и т.п.). Стандарт математического образования, принятый в 2004 году, зафиксировал объём стохастического материала в форме, более пригодной для включения в рамки традиционного курса алгебры и, позже, алгебры и начал анализа.
Вся стохастическая линия состоит из трёх частей: комбинаторной, вероятностной и статистической. Авторы различных учебно-методических комплектов по математике по-разному комбинируют эти составляющие. Например, в последнее время очень популярной стала идея о том, что базовой для изложения стохастики в школе должна непременно быть статистическая линия. Может быть (хотя, совсем и не очевидно), эта позиция верна, если говорить о преподавании именно и только стохастики. Однако в России имеется сложившийся курс математики в средней школе, и основная сложность состоит в наиболее приемлемой форме интеграции новых образовательных линий в традиционные методические рамки обучения. К тому же, реальные школьные учителя в подавляющем большинстве хоть как-то знакомы с элементами комбинаторики и простейшими задачами теории вероятностей, а вот вся статистическая терминология и идеология для них совершенно нова и непривычна.
Комбинаторику и, вообще, стохастику можно рассматривать как раздел “обычной” алгебры, а не как нечто специальное и отдельное. Другими словами, задачи по комбинаторике и теории вероятностей довольно часто можно интерпретировать как задачи на повторение, закрепление и углубление знаний по уже изученным темам курса алгебры. Приведу несколько примеров, показывающих реализацию этой идеи. Примеры 1 и 2 взяты из задачника [1].
1. На координатной плоскости отмечены все точки, абсциссы и ординаты которых равны одному из следующих чисел -3, -1, 1, 2, 7 (повторения допускаются).
а) Сколько всего таких точек?
б) Сколько точек лежит левее оси ординат?
в). Сколько точек лежит выше оси абсцисс?
г) Сколько точек лежит в круге радиуса 5 с центром в начале координат?
С одной стороны, при решении этого примера закрепляются комбинаторные навыки. С другой стороны, мы просто повторяем тему “Координатная плоскость” и не забываем про геометрию.
2. Известно, что х=2a3b5c и a, b, c – числа из множества {0, 1, 2, 3} (совпадения допускаются).
а) Найдите наименьшее и наибольшее значение числа х.
б) Сколько всего таких чисел можно составить?
в) Сколько среди них будет чётных чисел?
г) Сколько среди них будет чисел, оканчивающихся нулём?
По форме эта задача комбинаторная, а по существу закрепляет ранее пройденный алгебраический материал – разложение натуральных чисел на простые сомножители. В каждом из случаев формулировку можно делать теоретико-вероятностной. Например, “Какова вероятность того, что при случайном выборе точки она окажется выше оси абсцисс?”, см. пример 1 в).
Основная задача моей работы и состоит в попытке рассмотрения элементов комбинаторики и теории вероятностей в уже сложившихся рамках программы средней школы, в виде интегрирования стохастической линии в школьный курс алгебры.
Существующий курс алгебры содержит значительную долю упражнений, содержание которых примыкает к комбинаторно-вероятностной линии, либо может быть приведено к ней путём незначительных модификаций, путём дополнения их комбинаторным содержанием.
Рассмотрим несколько примеров,
входящих в тему “Функция 
”.
3. Дана функция 
, где 
.
а) Графики скольких функций будут расположены в I и III координатных четвертях?
б) Графики скольких функций будут расположены во II и IV координатных четвертях?
в) Какую часть от всех гипербол составляют те, которые расположены в I и III координатных четвертях?
г) Какова вероятность того, что гипербола будет расположена во II и IV координатных четвертях?
4. Дана функция 
, где 
.
а) Графики скольких функций будут расположены в I, II и III координатных четвертях?
б) Графики скольких функций будут расположены в I, III и IV координатных четвертях?
в) Каков процент тех функций, график которых пересечёт ось ОХ левее оси ОУ?
г) Какова вероятность того, что график функции пересечёт ось ОХ правее оси ОУ?
5. Дана функция 
, где 
.
а) Графики скольких функций пересекут ось ОУ выше оси ОХ?
б) Графики скольких функций пересекут ось ОУ ниже оси ОХ?
в) Что более вероятно: гипербола пересечёт ось ОУ выше оси ОХ или ниже?
6. Дана функция 
, и функции 
а) Сколько функций имеют одну точку
пересечения с функцией ?
б) Сколько функций имеют две точки
пересечения с функцией ?
в) Сколько функций не имеют точек
пересечения с функцией ?
г) Каких функций больше?
Литература:
[1] А.Г.Мордкович. Алгебра-9. Часть 1. Учебник для общеобразовательных учреждений. М. Мнемозина, 2005.
[2] А.Г.Мордкович, П.В.Семёнов. События. Вероятность. Статистическая обработка данных. Дополнительные параграфы к курсу алгебры 7-9 классов общеобразовательных учреждений. М.Мнемозина, 2003.
[3] В.А.Болотов “О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной школы”, “Математика в школе” — № 9, 2003.