Урок алгебры и начал анализа по теме: "Производная сложной функции"

Едренников Евгений Николаевич

Разделы: Математика

Тема: “Производная сложной функции”.

Тип урока: – урок изучения нового материала.

Форма урока: применение информационных технологий.

Место урока в системе уроков по данному разделу: первый урок.

Цели:

научить распознавать сложные функции, уметь применять правила вычисления производных; совершенствовать предметные, в том числе вычислительные, умения и навыки; навыки работы с компьютером;
развивать готовность к информационно-учебной деятельности через применение информационных технологий.
воспитывать адаптивность к современным условиям обучения.

Оборудование: электронные файлы с печатным материалом, индивидуальные компьютеры.

Ход урока.

I. Организационный момент (0.5 мин.).

II. Постановка целей. Мотивация учащихся (1 мин.).

Обучающие цели: научиться распознавать сложные функции, знать правила дифференцирования, уметь применять формулу производной сложной функции при решении задач; совершенствовать предметные, в том числе вычислительные, умения и навыки; навыки работы с компьютером.
Развивающие цели: развивать познавательные интересы через применение информационных технологий.
Воспитательные цели: воспитывать адаптивность к современным условиям обучения.

III. Актуализация опорных знаний (5 мин.).

Дать определение производной функции.
Назовите правила вычисления производной.

3. Устная работа.

Найдите производные функций.

а) y = 2x² + xі ;

б) f(x) = 3x² – 7x + 5;

в) f(x) = ;

г) f(x) = 1/2x²;

д) f(x) = (2x – 5)(x + 3).

4. Правила вычисления производных.

Повторение формул по компьютеру со звуковым сопровождением.

(Приложение 1.)

IV. Программированный контроль (5 мин.).

Найти производную.
Вариант 1.		Вариант 2.
У = 2х + 5.		У = 2х – 5.
У = 4cos x.		у = 3sin x.
у = tg x + ctg x.		у = tg x – ctg x.
у =		у = .
У = х² +7х + 5		У = 2х² – 5х + 7
Варианты ответов.
1	2	3	4
2	-2	5	-5
4sin x	-4sin x	3cos x	-3cos x
1/cos²x + 1/sin²x	1/cos²x – 1/sin²x	1/sin²x – 1/cos²x	1
1,6х^0,6+ 2,5х^1,5	2,6х^0,6+ 1,5х^1,5	1,5х^0,5+ 4х³	2,5х^0,5+ 4х³
2х + 7	2х +5	4х + 5	4х – 5

Обменяйтесь тетрадями. Отметьте в диагностических картах верно выполненные задания знаком +, а неверно выполненные задания знаком “–”.

V. Новый материал (5 мин.).

Сложная функция.

Рассмотрим функцию, заданную формулой f(x) =

Для того, чтобы найти производную данной функции, надо сначала вычислить производную внутренней функции u = v(x) = xІ + 7x + 5, а затем вычисляют производную функции g(u) = .

Говорят, что функция f(x) – есть сложная функция, составленная из функций g и v, и пишут:

f(x) = g(v(x)).

Область определения сложной функции – множество всех тех х из области определения функции v , для которых v(x) входит в область определения функции g.

ТЕОРЕМА.

Пусть сложная функция у = f(x) = g(v(x)) такова, что функция у = v(x) определена на промежутке U , а функция u = v(x) определена на промежутке Х и множество всех её значений входит в промежуток U. Пусть функция u = v(x) имеет производную в каждой точке внутри промежутка Х , а функция y = g(u) имеет производную в каждой точке внутри промежутка U. Тогда функция y = f(x) имеет производную в каждой точке внутри промежутка Х , вычисляемую по формуле

y'_x = y'_u • u'_x.

Формулу читают так: производная y по x равна производной y по u, умноженной на производную u по x.

Формулу записывают ещё так:

f' (x) = g' (u) v' (x).

Доказательство.

В точке х Х зададим приращение аргумента, (х+х) Х. Тогда функция u = v(x) получит приращение , а функция y = g(u) получит приращение D y. Надо учесть, что, так как функция u=v(x) в точке x имеет производную, то она непрерывна в этой точке и при .