Как научить решать тригонометрические уравнения всех учеников класса?
Чтобы облегчить обучение учащихся десятого класса решению тригонометрических уравнений, по моему мнению, необходимо провести подготовительную работу при изучении темы “Тригонометрические выражения и их преобразования” в 9 классе. На уроках знакомства с единичной окружностью, не вводя понятия arcsin a, arccos a, полезно решить уравнения вида (1): sin t = a, cos t = a. Знакомство с единичной окружностью провожу в течение 7 – 10 уроков. Тему “Решение тригонометрических неравенств” изучаю после разбора всех типов тригонометрических уравнений, сводимых к уравнениям вида (1). Потом снова возвращаюсь к уравнениям, добавляя системы тригонометрических уравнений, включая такие, где по ходу решения приходится решать тригонометрические неравенства.
Само объяснение темы “Решение тригонометрических уравнений” я провожу, опираясь на психологическое понятие “положительного переноса”.
Рассмотрим алгоритм решения квадратного уравнения по формулам.
- Определяем вид уравнения (квадратное).
- Находим и записываем коэффициенты a, b, c.
- Вычисляем значение D.
- Сравниваем значение дискриминанта с нулем; делаем вывод о наличии и количестве корней уравнения.
- Если D < 0, то записываем, что корней нет. Пишем ответ.
- Если D>0,записываем формулу для нахождения корней уравнения.
- Находим значения корней по формуле. Записываем ответ.
Убедившись, что тема “Решение квадратных уравнений”, усвоена всеми учащимися класса, я при объяснении темы “Решение простейших тригонометрических уравнений”, сообщаю ученикам о том, что при решении простейших тригонометрических уравнений, так же применяется алгоритм, напоминающий алгоритм решения квадратных уравнений.
- Определяем вид уравнения (тригонометрическое, вида sin t = a, cos t = a).
- Записываем значение числа а.
- Определяем, принадлежит ли число а отрезку [-1;1]
- Делаем вывод о наличие или отсутствии корней уравнения.
- Если а
[-1;1], то записываем, что корней нет.
Пишем ответ. - В противном случае, записываем нужную формулу для нахождения корней уравнения.
- Находим значения корней по формуле. Записываем ответ.
При таком подходе решается сразу несколько задач, во-первых, при решении тригонометрических уравнений, не имеющих корней, учащиеся почти никогда не ошибаются, во-вторых, тема воспринимается учащимися, как знакомая, снимается напряжение, которое естественно для человека при решении незнакомых задач.
Формирование любого навыка достигается многократным повторением упражнений. При обучении решению простейших тригонометрических уравнений учитель сталкивается с тем, что запас уравнений вида sin t = a, cos t = a, tg t = a, решению которых необходимо научить каждого учащегося, ограничен. (Здесь подразумевается, что в таких уравнениях а – табличное значение). Часть таких уравнений решает сам учитель при объяснении новой темы, остальные задаются после первого урока на дом. Далее решаются более сложные уравнения, рассчитанные на то, что предыдущий материал усвоен всеми и прочно. Но таких результатов достичь в обычных условиях не возможно практически никогда. Что же делать? Решать те же уравнения по второму разу – это не выход, так те, которые усвоили, как решать, будут зря тратить свое время, а те, которые не усвоили, будут переписывать уже готовое на предыдущих уроках решение. Что бы добиться сознательного переноса на более сложные уравнения, я применяю следующие методы.
Продолжая изучение темы, включаю в решаемые на доске уравнения, такие, которые сводятся к уравнениям вида (1) одним шагом, например,
Sin t = sin
, cos(+t) = a и т.п.
Для самостоятельного осознанного решения, устраиваю в конце урока (за 5 – 7 минут до звонка) игру-лотерея. Правила игры такие. Для проведения игры имеется набор карточек трех цветов, каждый цвет соответствует уровню обученности по данной теме – слабый, средний, продвинутый. Ученикам сообщается, что они могут выбрать любой уровень, уравнения написаны на невидимой стороне, ученик выбирает себе уровень, не видя самого примера. Примеры решаются не в тетради, а на листках. Учитель не видит, какой пример достался каждому ученику. Все примеры разные, решаются каждым учеником самостоятельно, пользоваться справочным материалом запрещено. После того, как каждый ученик выбрал себе карточку с уравнением, на откидной невидимой ученикам части доски учитель при помощи случайного выбора записывает ответ одной из карточек. В журнал выставляются пятерки двум первым ученикам и тому ученику, чей ответ (при условии правильного решения) совпал с записанным учителем ответом, а так же тем, кто верно решил уравнение продвинутого уровня. Уравнения, соответствующие слабому уровню - это уравнения вида (1), для учеников, усвоивших тему, - более сложные. Уравнения продвинутого уровня – это тригонометрические уравнения, содержащие модуль или параметр. Эти уравнения разрешается брать на дом в качестве дополнительного домашнего задания, если ученик не уложился во время, отведенное на игру. У всех, пожелавших сдать свою работу на проверку, она тут же проверяется, оценка выставляется на листок. Можно задать дополнительное условие – тем, кто набрал определенное количество оценок “5”, одна пятерка выставляется в журнал. Игра стимулирует желание совершенствовать свои умения решать тригонометрические уравнения.
Закончилось отведенное на прохождение данной темы время, прошла контрольная работа. Когда к этой теме можно вернуться? Перечислю основные темы, где можно вернуться к решению тригонометрических уравнений: нахождение нулей производной функции, решение показательных, иррациональных, логарифмических уравнений, в устных упражнениях, при исследовании функций, нахождение нулей первообразной, уравнения касательной.
При итоговом повторении полезно рассмотреть уравнения, решаемые при помощи универсальной тригонометрической подстановки.