Факультативное занятие по теме: "Частота и вероятность случайного события"

Цели урока:

• Дать определение частоты и вероятности случайного события, познакомить с формулой вероятности события.
• Научить понимать вероятностный характер случайного события.
• Развивать умения решать комбинаторные задачи методом полного перебора вариантов.
• Способствовать удовлетворению потребностей и запросов учащихся, проявляющих интерес и способности к математике.

ХОД УРОКА

I. Разминка

– Используя компьютеры, выполните упражнение на развитие логического мышления.

II. Повторение

– Мы с вами уже говорили случайных событиях. Вы покупаете лотерейный билет - вы можете выиграть, а можете и не выиграть; автобус может подойти вовремя или опоздать; на выборах может победить один кандидат, а может и другой- всё это примеры случайных событий.

– Какое же событие называется случайным? (Случайным называется событие, которое в одних и тех же условиях может произойти, а может и не произойти.)

– Виды каких событий вы знаете?

– Равновозможные или равновероятные. (Если возможность наступления события одинакова. Одна монета, выпадает “орел” или “решка”.)

– Достоверные. (Это события, которые в обычных условиях происходят всегда, обязательно t = 0⁰ С – вода замерзнет; t =100⁰ С – вода закипает.)

– Маловероятные. (События, которые в обычных условиях могут иногда произойти. Перегорела лампочка, сломался автобус.)

– Невозможные. (События, которые в данных условиях никогда не происходят. Нельзя поймать солнечного зайчика.)

III. Основная часть

1. Объяснение нового материала

– А сегодня мы с вами поговорим о частоте и вероятности случайного события. Вы дома проводили эксперимент с подбрасыванием монеты, каждый раз записывая результат – “орел” или “решка”. Давайте суммируем все результаты и полученные данные поместим в таблицу.
Число появлений события “орел”:_________
Число экспериментов:________
Итоговые результаты вашего класса мы можем сравнить с результатами, полученными учениками одной из школ в 1994 году – 6000 испытаний, “орел” – 2953 раз.
В XVIII веке такие же эксперименты с монетой проводил французский естествоиспытатель Жорж Луи де Бюффон, 4040 подбрасываний – “орел” выпал 2048 раз. В начале XX века – английский математик Карл Пирсон провел 24000 экспериментов, при этом “орел” выпал 12012 раз.
Для каждого из рассмотренных экспериментов подсчитаем, какую часть составляет выпадение “орла” от общего числа бросаний монеты, или, как говорят, подсчитаем частоту выпадения “орла”.
Нетрудно заметить, что серии экспериментов, проведенных в разные эпохи и в разных странах, дают похожий результат: при многократном подбрасывании монеты частота появления “орла” примерно равна 0,5. Следовательно, хотя каждый результат подбрасывания монеты – случайное событие, при многократном повторении эксперимента видна отчётливая закономерность.
Число 0,5 – это вероятность случайного события выпадения “орла”. Вероятность выпадения “решки” равна 0,5.
Ребята, существует формула нахождения частоты случайного события, с которой мы сегодня познакомимся.

Р(А) = n_А/N

Р – вероятность события (первая буква французского слова probabilite-возможность, вероятность.)
Р(А) – вероятность события А.
N – число всех возможных испытаний.
n_А– число исходов, при которых наступает событие А.

– А сейчас рассмотрим пример определения вероятности того, что выпадает не менее одного “орла” при бросании:

1) одной монеты;
2) двух монет.

1. Возможны 2 исхода испытания (бросания монеты).

N = 2. “О” или “Р”.

Число исходов, при которых наступает интересующее нас событие А (выпадает не менее одного “орла”). n_А = 1

Р(А) = 1/2

2. Возможны 4 исхода испытания N = 4, n_А = 3.

ОО, ОР, РО, РР.

Р(А) = 3/4

– Оценку вероятности случайного события по его частоте сделать, используя результаты других, самых разнообразных экспериментов- с кнопками, игральным кубиком, автомобильными или телефонными номерами.
В таблице представлены результаты экспериментов, проведенных учениками летней математической школы, которые оценивали вероятность наступления случайного события “кнопка выпадает острием вниз”.

Какую закономерность вы заметили?
Вероятность выпадения кнопки острием вниз примерно равна 0,45 или 45%.
Где же используются вероятностные оценки?
Вероятностные оценки широко используются в физике, биологии, социологии, в экономике и политике, в спорте и в повседневной жизни каждого человека.
Если в прогнозе сообщают, что завтра будет дождь с вероятностью 70%, это значит, что не обязательно будет дождь, но шансы велики и стоит, выходя из дому, захватить плащ или зонтик.

2. Решение задач

– Предлагаю проверить, на сколько вы научились применять формулу при решении задач.

Задача №1

В трех закрытых ящиках лежат по два шара. В первом ящике шары красного и желтого цвета, во втором и третьем - желтого и зеленого. Из каждого ящика наугад вынимают наугад один шар и кладут на стол. Какова вероятность того, что на столе окажутся красный, желтый и зеленый шары?

1) к ж ж Число испытаний N = 8.
2) к з ж Число появлений события n_А = 2.
3) к з з
4) к ж з
5) ж ж ж
6) ж з ж
7) ж з з
8) ж ж з

Р(А) = n_А/N P(A) = 2/8

– Давайте теперь проверим ваши результаты с помощью компьютера.

Задача №2. Индивидуальная работа на местах.

Чтобы определить, как часто встречаются в лесопарке деревья разных пород, ребята провели следующие эксперименты. Каждый выбрал свою тропинку и по пути следования записывал породу каждого десятого дерева.

Результаты были занесены в таблицу:

Оцените вероятность того, что выбранное наугад в этом парке дерево будет:

а) сосной;
б) хвойным;
в) лиственным.

Указание. Ответ запишите в виде десятичной дроби с двумя знаками после запятой.

а) n_А = 315, N = 757.
Р(А) = 315/757 ~ 0,42;

б) сосна, ель. n_А= 315 + 67 = 382, N = 757.
Р(А) = 382/757 ~ 0,50;

в) дуб, береза, осина. n_А = 217 + 123 + 35 = 375, N = 757.
Р(А) = 375/757 ~ 0,50.

IV. Обобщение изученного материала

Что же нового вы узнали на нашем занятии, с чем познакомились?

V. Домашнее задание

Задача №1

По статистике в городе Новинске за год из каждой 1000 автомобилистов два попадают в аварию. Какова вероятность того, что автомобилист в этом городе весь год проездит без аварий?

Задача №2

Чтобы определить, какой цвет волос встречается в городе чаще, а какой реже, студенты за полчаса провели следующий эксперимент. Каждый выбрал свой маршрут и записывал по пути следования цвет волос каждого пятого встречного. Результаты были занесены в следующую таблицу:

Оцените вероятность того, что выбранный наугад житель этого города будет:

а) шатеном;
б) рыжим;
в) не рыжим.

Указание. Ответ запишите в виде десятичной дроби с двумя знаками после запятой.

VI. Итоги занятия