Цели:
- ввести определение показательной функции;
- сформулировать её основные свойства;
- показать построение графиков функции
Концентрация внимания:
| 1248163264 | Запомнить, воспроизвести, определить
идею составления ряда. Концентрацию внимания определить следующим образом - число воспроизведённых цифр умножить на 0,1 и полученное произведение выразить в процентах. |
Определение. Функция вида 
называется показательной
функцией.
Замечание. Исключение из числа значений основания a чисел 0; 1 и отрицательных значений a объясняется следующими обстоятельствами:
| a = 0 | Выражения вида 0x определено при x > 0 и в этом случае тождественно равно нулю. |
| a = 1 | Выражение 1x определено при всех x, имеет постоянное значение (тождественно единице). |
| a < 0 | Возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечётным знаменателем. |
Само аналитическое выражение ax в указанных случаях сохраняет смысл и может встречаться в решении задач. Например, для выражения xy точка x = 1; y = 1 входит в область допустимых значений.
Построить графики функций: 
и 
.
|
|
 |
 |
| График показательной функции | |
| y = ax , a > 1 | y = ax , 0< a < 1 |
 |
 |
Свойства показательной функции
| Свойства показательной функции | y = ax , a > 1 | y = ax , 0< a < 1 |
|
|
|
| 2. Область значений функции |
|
|
| 3.Промежутки сравнения с единицей | при x > 0, ax > 1 | при x > 0, 0< ax < 1 |
при x < 0, 0< ax
< 1 |
при x < 0, ax > 1 | |
| 4. Чётность, нечётность. | Функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида). | |
| 5.Монотонность. | монотонно возрастает на R | монотонно убывает на R |
| 6. Экстремумы. | Показательная функция экстремумов не имеет. | |
| 7.Асимптота | Ось Ox является горизонтальной асимптотой. | |
8. При любых действительных
значениях xи y; |
 |
|
Когда заполняется таблица, то параллельно с заполнением решаются задания.
Задание № 1. (Для нахождения области определения функции).
Какие значения аргумента являются допустимыми для функций:
Задание № 2. (Для нахождения области значений функции).
На рисунке изображен график функции. Укажите область определения и область значений функции:
 |
 |
 |
 |
Задание № 3. (Для указания промежутков сравнения с единицей).
Каждую из следующих степеней сравните с единицей:
Задание № 4. (Для исследования функции на монотонность).
Сравнить по величине действительные числа m и n если:
Задание № 5. (Для исследования функции на монотонность).
Сделайте заключение относительно основания a, если:
В одной координатной плоскости построены графики функций:
y(x) = 10x; f(x) = 6x; z(x) - 4x
Как располагаются графики показательных функций относительно друг друга при x > 0, x = 0, x < 0?
Вывод:
| при x < 0 | чем больше значение основания степени, тем ближе к оси Ox располагается график показательной функции; |
| при x = 0 | графики показательных функций пересекаются в одной точке (0;1); |
| при x > 0 | чем больше значение основания степени, тем дальше от осиOx располагается график показательной функции. |
В одной координатной плоскости построены графики функций:
y(x) = (0,1)x; f(x) = (0,5)x; z(x) = (0,8)x.
Как располагаются графики показательных функций относительно друг друга при x > 0, x = 0, x < 0?
Вывод:
| при x < 0 | чем меньше значение основания степени, тем дальше от оси Ox располагается график показательной функции; |
| при x = 0 | графики показательных функций пересекаются в одной точке (0;1); |
| при x > 0 | чем меньше значение основания степени, тем ближе к осиOx располагается график показательной функции. |
Число 
одна из важнейших постоянных в математике. По
определению, оно равно пределу
последовательности  при
неограниченном возрастании n.
Обозначение e ввёл Леонард Эйлер
в 1736 г. Он вычислил первые 23 знака этого числа в
десятичной записи, а само число назвали в честь
Непера «неперовым числом».Число e играет особую роль в математическом анализе. Показательная функция с основанием e, называется экспонентой и обозначается y = ex. Первые знаки числа e запомнить несложно: два, запятая, семь, год рождения Льва Толстого - два раза, сорок пять, девяносто, сорок пять. |
 |
Домашнее задание:
Колмогоров п. 35; № 445-447; 451; 453.
Повторить алгоритм построения графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля.