Содержание презентации: (Приложение)
- цилиндр
- конус и усеченный конус
- шар и сфера
Рассказ о телах вращения я начну с самого простого из них – цилиндра.
Цилиндр – это тело, которое образуется при вращении прямоугольника вокруг прямой, содержащей его сторону.
Круги, образованные вращением сторон прямоугольника, перпендикулярных оси вращения, называются основаниями цилиндра (верхним и нижним). Так как противоположные стороны прямоугольника равны, то основаниями цилиндра являются равные круги.
Поверхность, образованная вращением стороны прямоугольника, параллельной оси вращения, называется боковой поверхностью цилиндра.
Высотой цилиндра называется перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки одного основания цилиндра к плоскости другого. Длину этого перпендикуляра называют высотой цилиндра. Отрезок, соединяющий точки окружностей оснований и перпендикулярный к их плоскостям, называется образующей цилиндра вращения. Отрезок оси вращения, заключенный внутри цилиндра, называется осью цилиндра.
Образующие цилиндра вращения перпендикулярны плоскостям его оснований, а в основании цилиндра круг, поэтому такой цилиндр называется прямым круговым цилиндром.
Цилиндр, образующие которого не перпендикулярны плоскостям его оснований, называется наклонным цилиндром.
А теперь я остановлюсь на основных формулах цилиндра:
1) Площадь боковой поверхности цилиндра равна
произведению длины окружности основания на
высоту. Sбок=2
RH
2) Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площадей боковой поверхности и двух его оснований.
Sполн=Sбок+2Sосн=2RH + 2R2 =2R(R+H)
3) Объем круглого прямого цилиндра равен
произведению площади основания на его высоту. V=R2H
Теперь перейдем к следующему телу вращения – конусу.
Прямой круговой конус – это тело, которое образуется при вращении прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащий его катет.
Отрезок оси вращения, заключенный внутри конуса, называется осью конуса.
Круг, образованный при вращении второго катета, называется основанием конуса. Длина этого катета называется радиусом основания конуса или радиусом конуса. Вершина острого угла вращающегося треугольника, лежащая на оси вращения, называется вершиной конуса.
Высотой конуса называется отрезок, проведенный из вершины конуса перпендикулярно его основанию. Длину этого перпендикуляра также называют высотой конуса. Высота конуса имеет своим основанием центр круга — основания конуса — и совпадает с осью конуса.
Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности его основания, называются образующими конуса. Все образующие конуса равны между собой.
Основные формулы конуса:
1) Объем конуса равен трети произведения площади основания на высоту.
V=1/3R2H
2) Боковая поверхность круглого конуса равна
произведению половины длины окружности
основания на образующую. Sбок=RL
3) Площадь полной поверхности конуса равна
сумме площадей боковой поверхности и его
основания. Sполн=Sбок+Sосн=RL+ R2=?R(L+R)
Усеченный конус – часть конуса, ограниченная его основанием и сечением, параллельным плоскости основания.
Основание данного конуса и круг, полученный в
сечении этого конуса плоскостью 
,
называются соответственно нижним и верхним
основаниями усеченного конуса. Высотой
усеченного конуса называется перпендикуляр,
проведенный из какой-либо точки одного основания
к плоскости другого. Длину этого
перпендикуляра также называют высотой
усеченного конуса.
Отрезки образующих конуса, заключенные между основаниями усеченного конуса, называются образующими усеченного конуса. Так как все образующие данного конуса равны и равны все образующие отсеченного конуса, то равны все образующие усеченного конуса.
1) Объем поверхности усеченного конуса вычисляют по формуле:
Объём равен одной трети произведения пи на высоту усеченного конуса и сумму квадратов радиусов оснований и их произведения.
2) Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую.
3) Площадь полной поверхности усеченного конуса равна сумме площадей боковой поверхности и оснований усеченного конуса.
Шар и сфера.
Фигура, полученная в результате вращения полукруга вокруг диаметра, называется шаром. Поверхность, образуемая при этом полуокружностью, называется сферой.
Шаром называется множество всех точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, не больше данного R.
Сферой называется множество всех точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, равном данному R.
Радиусом шара называют всякий отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности. Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром шара. Концы любого диаметра шара называются диаметрально противоположными точками шара. Отрезок, соединяющий две любые точки шаровой поверхности и не являющийся диаметром шара, называют хордой шара (сферы).
Одним из своих наивысших достижений Архимед считал доказательство того, что объём шара в полтора раза меньше объёма описанного около него цилиндра:
Vш=4/3R2
поскольку объём описанного цилиндра равен SH = R2
• 2R = 2R2.
Недаром шар, вписанный в цилиндр, был высечен на
надгробии Архимеда в Сиракузах. Это
доказательство, как и вывод формулы объёма
пирамиды с помощью “чёртовой лестницы”, а также
вычисление объёмов многих других тел, основаны
на представлении тела в виде “стопки” тонких
параллельных слоев. Объём каждого слоя примерно
равен произведению площади его основания на
толщину, так что, в сущности, нужно вычислить
сумму площадей параллельных сечений, точнее,
предельного значения произведения этой суммы на
толщину слоя, когда последняя стремится к нулю.
Математики прошлого проявляли немалую
находчивость и остроумие в подобных вычислениях.
КАК АРХИМЕД НАХОДИЛ ОБЪЁМ ШАРА
Рассмотрим прямоугольник размером 2R х 4R, круг, касающийся его длинных сторон в их серединах A и B, и треугольник, вписанный в него (рис. 1). При вращении вокруг оси АВ эти фигуры образуют цилиндр, шар и конус. Пересечём их плоскостью, проходящей параллельно основаниям цилиндра на расстоянии х от А. Обозначим площади сечений — будем называть их соответственными — через Sц, Sш и Sк. Тогда
x • Sц = 2R • (Sш + Sк). (*)
Действительно Sц = 4R2; Sш = СЕ2, где СЕ2 = ЕО2
- ОС2 = R2-(х – R)2 = 2Rх - х2; Sк = СD2
= х2,
и равенство (*) проверяется прямой подстановкой.
Если бы в его левой части вместо х стоял
постоянный множитель, т. е. зависимость между
тремя сечениями оставалась одной и той же для
любой плоскости, то такое же равенство было бы
верно и для объёмов Vц,Vш и Vк. Архимед нашёл
чрезвычайно остроумный путь— объединил
равенства (*) при разных х в одно соотношение для
объёмов. Он посмотрел на уравнение (*) как на
“правило рычага”: х и 2R он принял за плечи, а
плоскости сечений — за массы. Его идею
иллюстрирует рис. 2. На одно плечо рычажных
весов, как на ось, надет цилиндр так, что точка А
совпадает с точкой опоры; на другое плечо на
расстоянии 2R от точки опоры подвешены конус и
шар. Соответственные сечения цилиндра, конуса и
шара уравновешивают друг друга, а значит, и весы в
целом находятся в равновесии. Равновесие не
нарушится, если сосредоточить всю массу цилиндра
в его центре, расположенном на расстоянии R от
опоры. Записываем правило рычага для всей
системы, учитывая, что массы пропорциональны
объёмам:
RVц = 2R(Vш+Vк).
Следовательно,
Vш =Vц/2 – Vк,
откуда легко вывести известную формулу объёма
шара: Vш=4/3R2
Архимед нашёл и другой способ вычисления объёма шара — по существу, очень близкий к интегрированию.
1) Объем шара равен объему пирамиды, основание
которой имеет ту же площадь, что и поверхность
шара, а высота есть радиус шара: Vш=4/3R2
2) Площадь сферы (или поверхность шара) равна
учетверенной площади большого круга: Sсферы=4R2
А теперь составим уравнение сферы с центром А (a; b; c) и радиусом R в декартовой прямоугольной системе координат Oxyz.
Пусть M(x; y; z) – любая точка этой сферы. Тогда MA=R или MA2=R2 . Учитывая, что MA2=(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2, получаем искомое уравнение сферы
(x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2.
Тор – фигура вращения.
Тор образуется при вращении окружности вокруг не пересекающей её прямой, лежащей в плоскости окружности.
Если “заполнить” тор, то получится тело вращения, называемое полноторием.
1) Объем, ограниченный тором, равен произведению
длины окружности на площадь поперечного сечения:
V=2R · r?=22Rr2;
2) Площадь поверхности равна удвоенному
произведению длины окружности на длину
поперечного сечения: Sповерх=42Rr
Интегральное исчисление, созданное Ньютоном и Лейбницем, превратило вычисление объемов в стандартную операцию. Она записывается следующей формулой:
где V – объем тела, расположенного между плоскостями z=a и z=b, а S(z) – площадь его сечения плоскостью, проходящей через точку z оси Oz перпендикулярно этой оси.