Основные методы решения уравнений высших степеней - замена переменной и разложение на множители, а также нетрадиционные методы, которые являются наиболее сложными для учащихся.
Определения:
Уравнения вида 
где 
называются биквадратными.
Уравнения вида 
называются возвратными, если
его коэффициенты, одинаково удалённые от начала
и конца равны между собой.
Уравнения вида 
где называются симметричными
уравнениями третьей степени.
Уравнения вида 
где называются симметричными
уравнениями четвёртой степени.
Уравнение вида 
называются однородным
уравнением степени k относительно u и v,
если 
- однородный многочлен степени k, то есть
степень каждого его члена равна одному и тому же
числу k.
Однородные уравнения относительно u и v
обладают тем свойством, что если разделить всё
уравнение на наивысшую степень одной из
переменных, например, u (если u=0 не
является корнем уравнения), то оно становится
уравнением с одной переменной 
Теорема. Если целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами имеет целые корни, то оно являются делителями свободного члена уравнения.
Теорема. Если уравнение с целыми
коэффициентами имеет рациональный корень 
где 
-
несократимая дробь, то p – делитель
свободного члена, а q – делитель старшего
члена.
1. Разложение на множители.
Решение уравнений тесно связано с разложением левой части на множители. Полезно вспомнить различные приёмы разложения многочленов на множители:
Вынесение общего множителя за скобки.
Применение формул сокращённого умножения.
Способ группировки.
Применение теоремы Безу.
Из “Сборника задач 8-9” М. Л Галицкого можно предложить задания № 9. 1-9. 3.
2. Замена переменной.
Метод введения новой переменной заключается в
том, что для решения уравнения 
вводят
новую переменную (подстановку) 
и
выражают 
через y, получая новое уравнение 
После этого получают совокупность уравнений, из которых находят корни исходного уравнения.
Решим уравнение:
Пусть 
, тогда
Ответ: -6; -2; -4
3. Биквадратные уравнения.
Для решения уравнение вида 
где 
надо
сделать подстановку 
найти корни 
и 
квадратного уравнения 
и решить уравнения 
и 
Решим уравнение:
Пусть 
тогда 
Ответ: -1; 1.
4. Возвратные уравнения.
Уравнения вида 
можно решить, введя новую
переменную
Решим уравнение:
Так как x=0 не является корнем уравнения, то разделим обе части уравнения на x2. Получим:
Пусть 
тогда
Ответ: 
Из “Сборника задач 8-9” М. Л Галицкого можно предложить задания № 9. 25.
5. Симметричные уравнения
В уравнении вида 
где 
разделим обе части уравнения на x2,
так как x=0 не является корнем уравнения,
и сделаем замену 
Решим уравнение:
Это уравнение является симметричным уравнением четвёртой степени. Так как x=0 не является корнем уравнения, то разделив обе части на x2 получим:
Пусть 
тогда:
Ответ: 1; 
Из “Сборника задач 8-9” М. Л Галицкого можно предложить задания № 9. 24.
6. Однородные уравнения.
Однородные уравнения обладают тем свойством, что если разделить все члены уравнения на наивысшую степень одной из переменных, то оно превращается в уравнение с одной переменной.
Решим уравнение:
Пусть
тогда получим:
Затем, 
Ответ: 1.
Из “Сборника задач 8-9” М. Л Галицкого можно предложить задания № 9. 26; № 9. 27.
7. Метод неопределённых коэффициентов.
Довольно часто трудно увидеть требуемую группировку или формулу. Тогда можно сделать попытку реализовать метод разложения - метод неопределённых коэффициентов.
Рассмотрим уравнение четвёртой степени.
Многочлен четвёртой степени можно разложить на
множители так: 
Решим уравнение 
Учитывая сделанные выше рассуждения составим систему:
Так как произведение двух целых чисел равно 5, то b=1, d=-5 или b=-1, d= -5. Решением системы является a=-1, b=-1, c=2, d=-5. Тогда данное уравнение можно записать так:
Ответ: 
Для успешного изучения материала можно включить следующие уравнения:
Материал этой статьи поможет при подготовке к урокам по данной теме в математических классах или работы математического кружка.