Основные методы решения уравнений высших степеней - замена переменной и разложение на множители, а также нетрадиционные методы, которые являются наиболее сложными для учащихся.

Определения:

Уравнения вида где называются биквадратными.

Уравнения вида называются возвратными, если его коэффициенты, одинаково удалённые от начала и конца равны между собой.

Уравнения вида где называются симметричными уравнениями третьей степени.

Уравнения вида где называются симметричными уравнениями четвёртой степени.

Уравнение вида называются однородным уравнением степени k относительно u и v, если - однородный многочлен степени k, то есть степень каждого его члена равна одному и тому же числу k.

Однородные уравнения относительно u и v обладают тем свойством, что если разделить всё уравнение на наивысшую степень одной из переменных, например, u (если u=0 не является корнем уравнения), то оно становится уравнением с одной переменной

Теорема. Если целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами имеет целые корни, то оно являются делителями свободного члена уравнения.

Теорема. Если уравнение с целыми коэффициентами имеет рациональный корень где - несократимая дробь, то p – делитель свободного члена, а q – делитель старшего члена.

1. Разложение на множители.

Решение уравнений тесно связано с разложением левой части на множители. Полезно вспомнить различные приёмы разложения многочленов на множители:

Вынесение общего множителя за скобки.

Применение формул сокращённого умножения.

Способ группировки.

Применение теоремы Безу.

Из “Сборника задач 8-9” М. Л Галицкого можно предложить задания № 9. 1-9. 3.

2. Замена переменной.

Метод введения новой переменной заключается в том, что для решения уравнения вводят новую переменную (подстановку) и выражают через y, получая новое уравнение

После этого получают совокупность уравнений, из которых находят корни исходного уравнения.

Решим уравнение:

Пусть , тогда

Ответ: -6; -2; -4

3. Биквадратные уравнения.

Для решения уравнение вида где надо сделать подстановку найти корни и квадратного уравнения и решить уравнения и

Решим уравнение:

Пусть тогда

Ответ: -1; 1.

4. Возвратные уравнения.

Уравнения вида можно решить, введя новую переменную

Решим уравнение:

Так как x=0 не является корнем уравнения, то разделим обе части уравнения на x². Получим:

Пусть тогда

Ответ:

Из “Сборника задач 8-9” М. Л Галицкого можно предложить задания № 9. 25.

5. Симметричные уравнения

В уравнении вида где разделим обе части уравнения на x², так как x=0 не является корнем уравнения, и сделаем замену

Решим уравнение:

Это уравнение является симметричным уравнением четвёртой степени. Так как x=0 не является корнем уравнения, то разделив обе части на x² получим:

Пусть тогда:

Ответ: 1;

Из “Сборника задач 8-9” М. Л Галицкого можно предложить задания № 9. 24.

6. Однородные уравнения.

Однородные уравнения обладают тем свойством, что если разделить все члены уравнения на наивысшую степень одной из переменных, то оно превращается в уравнение с одной переменной.

Решим уравнение:

Пусть тогда получим:

Затем,

Ответ: 1.

Из “Сборника задач 8-9” М. Л Галицкого можно предложить задания № 9. 26; № 9. 27.

7. Метод неопределённых коэффициентов.

Довольно часто трудно увидеть требуемую группировку или формулу. Тогда можно сделать попытку реализовать метод разложения - метод неопределённых коэффициентов.

Рассмотрим уравнение четвёртой степени. Многочлен четвёртой степени можно разложить на множители так:

Решим уравнение

Учитывая сделанные выше рассуждения составим систему:

Так как произведение двух целых чисел равно 5, то b=1, d=-5 или b=-1, d= -5. Решением системы является a=-1, b=-1, c=2, d=-5. Тогда данное уравнение можно записать так:

Ответ:

Для успешного изучения материала можно включить следующие уравнения:

Материал этой статьи поможет при подготовке к урокам по данной теме в математических классах или работы математического кружка.